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浙教版新版八上第三单元 新知超前
一元一次不等式——知识小结（原卷版）
一、不等式的概念
1. ______：用______连接的式子。
2. ______："不大于/不超过"→______；"不小于/不低于/至少"→______；"超过/大于"→______。
3. ______：使不等式成立的未知数的值的全体。数轴表示：______不包含，______包含。
二、不等式的基本性质
1. ______：a＜b且b＜c→______。
2. ______：同加/减一个数，不等号方向______。若a＞b→______。
3. ______：乘除______方向不变；乘除______方向______！这是最易错点。
三、一元一次不等式及其解法
1. ______：两边是______，含______，最高次数______。
2. ______：①______→②去括号→③移项→④合并→⑤______。除以负数必须______！
3. ______：打折利润/行程/竞赛得分/方案设计→列不等式→解→检验取整。
四、一元一次不等式组
1. ______：几个一元一次不等式合在一起，解集是各解集的______。
2. ______：分别解→数轴表示→找公共部分。
3. ______（m＜n）：同大取大/同小取小/______/大大小小______。
4. ______：分配问题/方案设计→列不等式组→解→检验取整。
考点一 不等式的概念
例1．设 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．有下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点二 不等式的基本性质
例2．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（ ）
A．－x＞－y B．a2x＞a2y
C．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y
变式1．下列四个不等式：①；②；③；④．其中能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则________．
考点三 一元一次不等式及其解法
例3．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A．或 B． C．或 D．
变式1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 一元一次不等式的应用
例4．一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
变式2．某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ）
A． B．
C． D．
考点五 一元一次不等式组
例5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式1．不等式组的解集是_______．
变式2．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______．
一、选择题
1．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图所示的是某公路的限重标识牌，赵师傅驾驶一辆自重为吨的中型货车驶入这条公路，设该货车装载了x吨货物，在不违反《中华人民共和国道路交通安全法》的前提下，x应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元一次不等式去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，若，则x的取值可以是（ ）
A．56 B．51 C．45 D．40
6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果关于x的不等式只有3个正整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则________4（填“” “”“＝”“”或“”）．
10．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）根据数量关系列不等式：的倍小于_______．
11．（24-25七年级下·重庆万州·期末）的2倍与的和小于5.用不等式表示为______．
12．（24-25八年级下·山西运城·期中）将不等式化为“”或“”的形式为________．
13．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是______．
三、解答题
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集：
(1)；
(2)．
15．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段检测）解不等式组：，并求出它的非负整数解．
16．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案：
方案一：每本可享受八折优惠．
方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折．
学校预计共需购买n本读物．请根据要求回答下列问题：
(1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用；
(2)若两种方案费用相同，购买本数________；
(3)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？
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浙教版新版八上第三单元 新知超前
一元一次不等式——知识小结（解析版）
一、不等式的概念
1. 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子。
2. 关键词对应："不大于/不超过"→≤；"不小于/不低于/至少"→≥；"超过/大于"→＞。
3. 不等式的解集：使不等式成立的未知数的值的全体。数轴表示：空心圆不包含，实心圆包含。
二、不等式的基本性质
1. 传递性：a＜b且b＜c→a＜c。
2. 加减性质：同加/减一个数，不等号方向不变。若a＞b→a±c＞b±c。
3. 乘除性质：乘除正数方向不变；乘除负数方向改变！这是最易错点。
三、一元一次不等式及其解法
1. 定义：两边是整式，含一个未知数，最高次数1次。
2. 解法五步：①去分母→②去括号→③移项→④合并→⑤系数化为1。除以负数必须反向！
3. 应用：打折利润/行程/竞赛得分/方案设计→列不等式→解→检验取整。
四、一元一次不等式组
1. 定义：几个一元一次不等式合在一起，解集是各解集的公共部分。
2. 解法：分别解→数轴表示→找公共部分。
3. 口诀（m＜n）：同大取大/同小取小/大小小大中间找/大大小小无处找（无解）。
4. 应用：分配问题/方案设计→列不等式组→解→检验取整。
考点一 不等式的概念
例1．设 ，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：，
，故A选项正确，选项错误．
故选：A．
变式1．在下列数学表达式中∶⑤．不等式的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由不等号，，，，连接的式子叫不等式．本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：不等式有：①；②；④；⑤；
∴共有4个．
故选：C．
变式2．有下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查不等式的概念：用不等号连接的式子，理解不等式的概念是解题的关键．
根据不等式的概念判定即可．
【详解】解：不等式有：①；③；④；⑤，共4个
故选：C．
考点二 不等式的基本性质
例2．已知x＞y，xy＜0，a为任意有理数，下列式子一定正确的是（ ）
A．－x＞－y B．a2x＞a2y
C．－x＋a＜－y＋a D．x＞－y
【答案】C
【解析】略
变式1．下列四个不等式：①；②；③；④．其中能推出的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，结合不等式的性质进行作答即可．
【详解】解：，当时，，故①不符合题意；
，当时，，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
综上所述，其中能推出的有2个．
故选：B．
变式2．比较大小，用“”或“”填空；若，且，则________．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
根据不等式的性质分析出即可解答．
【详解】解：由得，
可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变，
∴，
即，
故答案为：．
考点三 一元一次不等式及其解法
例3．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可．
【详解】解：由数轴可得，，
故选：B．
变式1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法进行求解是解决本题的关键．
先解一元一次不等式，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出答案．
【详解】解：解不等式，
解得．
所以不等式的解集在数轴上表示为：
故选：C．
变式2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解一元一次不等式组，再在数轴上表示即可．
【详解】解：，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示是：
故选：C．
考点四 一元一次不等式的应用
例4．一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，求车速满足的条件．若设车速为，根据题意，可列不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为，得，即可作答．
【详解】解：∵一辆匀速行驶的汽车在距离A地，要在之前驶过A地，设车速为，
∴从到的时间为分钟，即小时，
故选：A
变式1．某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】B
【分析】设最多可打x折，根据题意，得，求整数解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，打折问题，正确理解，列出不等式解答是关键．
【详解】解：设最多可打x折，
根据题意，得，
解得．
故最多打7折，
故选B．
变式2．某次数学竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答均扣5分．若得分不低于150分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，列一元一次不等式，找出题目的不等关系是解题的关键．根据题意，获奖条件是得分不低于150分，即总得分 ，总得分由答对得分减去扣分计算，据此列不等式即可．
【详解】设答对x道题，则答错或不答题数为道。
总得分 ，
∵ 得分不低于150分，
故选：A．
考点五 一元一次不等式组
例5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，首先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集确定规律找出不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
所以，不等式组的解集为：．
故选：B．
变式1．不等式组的解集是_______．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
故答案为：．
变式2．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
．
故答案为：．
一、选择题
1．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，先解出不等式，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解：解不等式，
得：，
把不等式的解集在数轴上表示为：
故选：B．
2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）如图所示的是某公路的限重标识牌，赵师傅驾驶一辆自重为吨的中型货车驶入这条公路，设该货车装载了x吨货物，在不违反《中华人民共和国道路交通安全法》的前提下，x应满足的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，列出不等式是解题的关键．
根据赵师傅驾驶一辆自重为吨的中型货车驶入这条公路，设该货车装载了x吨货物，可列出一元一次不等式，即可解答．
【详解】解：∵赵师傅驾驶一辆自重为吨的中型货车驶入这条公路，设该货车装载了x吨货物，
∴，
故选：D．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断．
【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是．
故答案为：D．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元一次不等式去分母后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次不等式去分母的操作，解题思路是找到两个分母的最小公倍数，将不等式两边同时乘以最小公倍数去掉分母，过程中注意不等号方向不变．
【详解】解： ，
去分母，得
．
5．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，若，则x的取值可以是（ ）
A．56 B．51 C．45 D．40
【答案】B
【分析】根据新定义，列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】根据题意得：，解得：，
故选B．
6．（24-25七年级下·全国·随堂练习）一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设水流的速度是，利用路程速度时间，结合从B地匀速返回A地用了不超过，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：设水流的速度是，
根据题意得：，
解得：，
∴x的最大值为，
即最大流速为．
故选：B．
7．（23-24七年级下·广东江门·期末）已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键．解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得．
【详解】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组有4个整数解，则整数解为，
，
解得：．
故选：A．
8．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果关于x的不等式只有3个正整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于a的不等式是解题的关键．求出不等式的解集，根据不等式只有3个正整数解即可求得a的取值范围．
【详解】解：解不等式，得，
∵关于x的不等式只有3个正整数解，
∴3个正整数解为1、2、3，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
9．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则________4（填“” “”“＝”“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质，根据移项即可得到．
【详解】解：由，
移项可得，即，
故答案为：．
10．（25-26八年级上·浙江舟山·期末）根据数量关系列不等式：的倍小于_______．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是列一元一次不等式，解题关键是正确理解题意．
根据题意，表示出的倍，即可求解．
【详解】解：“的倍小于”，可表示为．
故答案为：．
11．（24-25七年级下·重庆万州·期末）的2倍与的和小于5.用不等式表示为______．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意列出不等式是关键；
【详解】解：不等式表示为：
故答案为：.
12．（24-25八年级下·山西运城·期中）将不等式化为“”或“”的形式为________．
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变这一性质来求解．
利用不等式的基本性质，将不等式两边同时除以3，从而将其化为的形式．
【详解】对于不等式，根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
在不等式两边同时除以3，即，计算可得．
故答案为：．
13．（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求解方程得出的表达式，再根据解是负数这一条件列不等式，进而求出的取值范围．本题主要考查一元一次方程的求解与一元一次不等式的应用，熟练掌握方程的解法和根据条件列不等式求解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，
因为方程的解是负数，即，
所以，
，
，
故答案为：．
三、解答题
14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】（1）解：
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
；
（2）解：
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
15．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段检测）解不等式组：，并求出它的非负整数解．
【答案】，0，1
【分析】本题考查解一元一次不等式组的解集，非负整数的定义．根据题意先解出一元一次不等式组，再找出其中的非负整数即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
的非负整数解是：0，1．
16．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物．书籍原价每本30元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案：
方案一：每本可享受八折优惠．
方案二：60本以内原价（含60本），超过部分每本六折．
学校预计共需购买n本读物．请根据要求回答下列问题：
(1)请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用；
(2)若两种方案费用相同，购买本数________；
(3)假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？
【答案】(1)方案一：元；方案二：元
(2)
(3)当，选择方案二；当，选择方案一；当，选择方案一或方案二；
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两种优惠方案，进行列式，即可作答．
（2）根据两种方案费用相同，得，进行解方程，即可作答．
（3）理解题意，进行分类讨论，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，方案一：购买n本读物的费用元；
方案二：购买n本读物的费用元；
（2）解：由（1）得方案一：元；方案二：元，
由题意得，
解得，
故答案为：120．
（3）解：依题意，当时，得出，
即当，选择方案二；
当，且时，得出，
即当，选择方案一；
当，解得，
即当，选择方案一或方案二；
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