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山东日照市 2025-2026 学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知等差数列 an 的首项 a1 =1 ,公差 d = 2 ,则 a5 =
A．5 B．7 C．9 D．11
1
2．已知数列 an 满足 an+1 =1- ， a1 = 2，则 a6 =a （ ）n
A． -1 B 1． 2 C．2 D．0
3．函数 f x 定义在区间 a,b ，则 “ f x > 0在 a,b 上恒成立” 是 “ f x 在区间 a,b 单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要也不充分条件
4．设函数 f (x) 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
5．记数列 an 的前n项和 S S
1 1 1 L 1n 满足 n = + + + + n N
*
，则 a =（ ）
n +1 n + 2 n 3 2n + n
1 1 1 1 1 1
A． B． C． - D． +
n +1 2n 2n -1 2n 2n -1 2n
6 x - x 2．已知函数 f x = sin x + e - e ，则不等式 f x + x + f 2 + 2x > 0 的解集为（）
A． -2, -1 B． 1,2 C． -2,2 D． - , -2 -1, +
7．设等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若 S7 > S9 > S8，则满足 SnSn+1 < 0的正整数n的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
m R
lnx ln2
8．若$ 使得不等式 - m÷ ln2 - x - m÷ 0对任意 x 0, a 恒成立，则实数a的最大值为（x 4 ）è è
A．1 B． e C．4 D． 2e
二、多选题
9．已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若 a2 = 2， S2 = 6，则（ ）
A． an = -2n + 6 B． a4 和 a7 的等比中项为 4
C． Sn 取最大值时，n的值为 2 或 3 D．若 Sn > 0，n的最大值为 5
10．已知函数 f x = 2 f 1 lnx + x2 ，则（ ）
A． f 1 = -2
B．函数 f x 有两个极值点
C．方程 f x = 2x有两个不同的根
D．若函数 y = f x + 6lnx - ax 在定义域内为增函数，则a 4
11 a a = 2n-1．已知数列 n 的通项公式为 n ，n N+ ，将 ar + as + at 1 r < s < t 按从小到大的顺序排列起来构
成数列 bm ，m N+ .数列 bm 中落在区间 ai+1, ai+2 内项的个数记为数列 ci ， i N+ ，则下列结论正确的
是（ ）
A．b3 =13 B． c5 =10
n 1
C．若bk = 2180，则 k =188 D．若 Sn = 2c ，则 Sn = 2 -i=2 i n
三、填空题
12 2．设函数 f x = ln x + x ，则 f 1 + f 1 =__________.
13 2．已知函数 f x = x -1 x - a 在 x = 2 处有极小值，则 a = __________.
14．已知 an 是各项均为正整数的数列，且a1 = 3，a9 =10，对"k N
1
+ ，ak +1 = ak +1与 ak +1 = ak +2有且仅2
有一个成立，则 a1 + a2 +L+ a9 的最小值为__________.
四、解答题
15．已知数列 an 是各项均为正数的等差数列， Sn 为其前n项和， a3 = 5，且 S7 = 49．
(1)求数列 an 的通项公式；
ì an +1 2
(2)若数列b 2 ,n为偶数,n = í 数列 bn 的前2n项和为T2n ，求T2n ．
n, n为奇数,
16．已知函数 f x = a 2x - ln x ， g x = x - x2 .
(1)若函数 f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 y = 2x + b ，求a，b 的值；
(2)若函数m x = f x - g x 在 1,4 上单调递增，求a的取值范围.
2
17 x + ax - b．已知函数 f x = x 的一个极值点是 x = 2 .e
(1)当 a > -2 时，求 f x 的单调区间；
(2)设 a > 0 g x = a2， ex-2 ，若存在x ， x2 1 0,3 f x g x
2
，使得 1 - 2 < 成立，求实数a2 的取值范围.e
1 a 1
18．已知数列 an 满足 a1 = ， an+1 = n2a +1，设bn = a ，将数列 bn 的项按照如下规律分群 b1,b3 2 ，n n
b3 ,b4 ,b5 ， b6 ,b7 ,b8 ,b9 ，L .
(1)求 bn 的通项公式；
(2)设第n个群中所有项的和为 Sn ，求 Sn ；
c S
(3) 2 n在（ ）的条件下，设数列 cn 满足 c1 =1，n 2 时， = n-12 ，若"n N+ ，l b1b2b3Lb ≤ cc n n ，求实n-1 n
数l 的取值范围.
19．已知函数 f x = xe x 和 g x = x ln x，直线 y = t 与两条曲线 y = f x 和 y = g x 均相交.
(1)若直线 y = t 与两条曲线共有 2 个不同的交点，求实数 t的取值范围；
(2)求同时与曲线 y = f x 和 y = g x 相切的直线条数；
(3)若直线 y = t 与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为x1， x2 ， x3 ， x4 ，
是否存在 t，使得 x3 ， x2 ， x4 ，x1依次成等比数列？请说明理由.
1
（注： ln 2 > 0.69 ， < 0.37 ）
e
参考答案
1．C
2．A
3．A
4．B
5．C
6．D
7．D
8．C
9．AC
10．ACD
11．ABD
12．4
13．2
14．25
15．（1）设数列 an 的公差为 d ．因为 a3 = 5, S7 = 49，
ìa1 + 2d = 5 ìa1 =1
所以 í
7a
，解得 ，
1 + 21d = 49
í
d = 2
所以 an = 2n -1；
ì2n ,n为偶数,
（2）由（1）可得，bn = í
n, n为奇数,
所以T2n = b1 + b2 + ××× + b2n = b1 + b3 + ××× + b2n-1 + b2 + b4 + ××× + b2n
4 1- 4n
= é1+ 3 + 5 + ×××+ 2n -1 ù + 22 + 24 + ×××+ 22n 1+ 2n -1 n = +2 1- 4
4n+1 4
= + n2 - ．
3 3
1
16．（1）由题 f x = a 2 -

÷，f 1 = a 2 -1 = a，因为 f x 在 1, f 1 处的切线为 y = 2x + b ，所以a = 2，
è x
代入 f x 得切点为 1,4 ，切点在切线上，则 4 = 2 + b b = 2 .
（2）由题m x = a 2x - ln x - x + x2 = x2 + 2a -1 x - a ln x，求导得m x = 2x + 2a -1 a- ，
x
2
由m x 在 1,4 上单调递增，得m x 0 2x + 2a -1 x - a 0 2x -1 x + a 0 在 1,4 上恒成立，
当 x 1,4 时， 2x -1 > 0，因此 a -x在 1,4 上恒成立，又-4 -x -1，则a -1
17 1 Q f x x
2 + ax - b
．（ ） = x （ x R），e
2x + a ex - x2 + ax - b ex -x
2 + 2 - a x + a + b
f x = = ，
ex 2 ex
x2 + ax - b
因为函数 f x = x 的一个极值点是 x = 2 ，e
\ f (2) = 0，即 - 4 +2(2 - a) +a +b = 0 ，则有b = a，
2
则 f -x + 2 - a x + 2a - x - 2 x + ax = x R
ex
= x （ ），e
当 a > -2 时，令 f (x) = 0得 x = 2 或 x = -a，列表如下：
x (- , -a) -a (-a, 2) 2 (2,+ )
f (x) － 0 ＋ 0 －
f (x) 减 增 减
满足 x = 2 是函数 f (x) 的极值点；
综上：当 a > -2 时，函数 f (x) 在 (-a, 2) 上单调递增，在 (- , -a)和 (2,+ ) 上单调递减．
2
2 1 f x x + ax - a（ ）由（ ）知， = x ，且 a > 0 ，e
f (x) 在 (0,2)单调递增，在 (2,3) 单调递减，
又 f 0 = -a < 0 ， f 3 9 + 2a= 3 > 0，e
\ f (x)在[0,3]
4 + a
上的最大值为 f 2 = 2 ，最小值为 f (0) = -a ，e
a > 0 g x = a2ex-2又 时函数 在[0,3]单调递增，
2
\ g ( x ) 在[0,3]上的最大值为 g 3 = a2e，最小值为 g 0 a= ，
e2
因为存在x1， x2 0,3 ，使得 f x
2
1 - g x2 < 2 成立，e
即存在x1， x2 0,3
2 2
，使得-
e2
< f x1 - g x2 < 2 成立，e
ì
-a
2
- a2e <
e2
则 í ，
4 + a a
2 2
2 - > - e e2 e2
又 a > 0 ，解得 0 < a < 3，
所以实数a的取值范围为 (0,3)．
a 1 2a +1 1
18．（1 n n）由 an+1 = = = 2 +2a +1，两边取倒数得 .n an+1 an an
b 1= b 1
1
由 n ，得 n+1 - bn = 2 .又 a1 = ，故b1 = = 3a .n 3 a1
所以{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列.
故bn = 3+ 2(n -1) = 2n +1.
（2）分群规律：第1个群2项，第2个群3项，L ，第n个群有 n +1项.
n(n +1)
前 n -1群共有项数： 2 + 3 + + n = -1 .
2
所以第n群首项为bn(n+1) ，末项为b(n+1)(n+2) -1 .
2 2
b 2 n(n +1)n(n+1) = × +1 = n
2 + n +1
2 ,2
b 2 (n +1)(n + 2) 2(n+1)(n+2) = -1÷ +1 = n + 3n +1-1
2 è 2
项数为 n +1，则
(n +1) é(n2 + n +1) + (n2 + 3n +1)ù (n +1)(2n2 + 4n + 2)S = = = (n +1)3 .n 2 2
c S 3
（3） n 2 时， n = n-1
n
2 = 2 = nc ，n-1 n n
c cn c= × n-1 L c2n ×c1 = n × (n -1)L2 ×1 = n!cn-1 c
.
n-2 c1
n =1时 c1 =1也满足，故 cn = n!.
n!
由l b1b2Lb l n cn ，得 3 5 7L(2n .+1)
d n!= dn+1 (n +1)! 3 5L(2n +1) n +1令 n 3 5 L (2n .
= × = .
+1) dn 3 5L(2n +1)(2n + 3) n! 2n + 3
(n +1)2 n2 + 2n +1
又 = ， n2 + 2n +1- (2n + 3) = n2 - 2 .
2n + 3 2n + 3
d
n 2 n+1时 >1
d
d ， n =1
2
时 <1 .
n d1
{d } d 2! 2 15故 n 最小值为 2 = = .3 5 15
l 2 15
ù
所以 ，实数l 取值范围为 - ,
2 15
ú .
15 è 15
19．（1）函数 f x 和 g x 的定义域分别为 - ,+ 和 0, + ，
又 f x = x +1 ex ， g x = ln x +1，
令 f (x) = 0得 x
1
= -1，令 g (x) = 0得 x = ，
e
当 x - ,-1 时， f (x) < 0，当 x -1, + 时， f (x) > 0，
故 f x 在 - ,-1 单调递减，在 -1, + 单调递增，
x 0, 1 当 ÷时， g (x)
1
< 0 ，当 x ,+

÷时， g (x) > 0，
è e è e
g x 0, 1 1 在 ÷单调递减，在 ,+ ÷单调递增，
è e è e
当 x - 时， f x 0 ；当 x 0 时， g x 0；当 x + 时， f x + ， g x + ，
f 1 g 1 1又 - = ÷ = - ，
è e e
如图，因为直线 y = t 与两条曲线 y = f x 和 y = g x 共有 2 个不同的交点，
ì 1ü
所以 t 的取值范围为 í- [0, + ) .
e
2 y = f x y = g x x , f x x , g x y - x ex1 = x +1 ex（ ）设函数 和 在点 11 1 和 2 2 处的切线分别为 1 1 x - x1 和
y - x2 ln x2 = ln x2 +1 x - x2 ，
即 y = x1 +1 ex1 x - x2 x11 e 和 y = ln x2 +1 x - x2 ，
x +1 ex1 = ln x +1 x2 x由题意可得 11 2 ， 1 e = x2，
由于 x1 0
x x
，消去 x2 可得 x1 + 2ln x1 +1 = x +1 e 11 ，即 x1 +1 e 1 -1 - 2ln x1 = 0，
令 h x = x +1 ex -1 - 2ln x ， x 0，
1 1 1
由 ln x = 和 ln -x = 可知 ln x = ，
x x x
h x x + 2则 = xex -1 ，x
当0 < x <1时， ex -1 > 0， ln x < 0，则 h x = x +1 ex -1 - 2ln x > 0；
当 x 1时， h x x + 2= xex -1x > 0，
则 h x 在 1, + 上单调递增，此时 h x h 1 = 2 e -1 > 0，
所以当 x > 0 时， h x > 0 ，
当 x < 0 时， xex -1 < 0，当 x < -2时， h x < 0；当-2 < x < 0时， h x > 0，
故 h x 在 - ,-2 上单调递减，在 -2,0 上单调递增，
而 h -1 = 0， h -2 < h -1 = 0，
当 x - 时， h x + ，由零点存在定理，存在 x0 - ,-2 ，使得 h x0 = 0，
故 h x 存在两个零点 x0 和 -1，则与这两条曲线都相切的直线条数为 2．
x x
（3）由（1）可知 x e 11 = x 22e = x3 ln x3 = x4 ln x4 = t x
1
且 1 < -1 < x2 < 0 < x3 < < x4 <1，e
再由 x1e
x1 = x3 ln x3 = ln x
ln x3
3 ×e 可知 f x1 = f ln x3 ，而 x1, ln x3 < -1，
函数 f x 在 - ,-1 上递减，因此 x1 = ln x3，
同理可得 x2 = ln x4 ，
x2 x1
又 x3 ln x3 = x4 ln x4，于是 x1x3 = x2x4 ，从而有 =x x ，3 4
x2 x4 2
要使 x3 ， x2 ， x4 ，x =1依次成等比数列，只需保证 x x ，即 x2 = x3x4 ，3 2
利用 x1 = ln x
x x
3， x2 = ln x4 可得 x3 = e 1 ， x 24 = e ，则 x
2
2 = x3x4 = e
x1 +x2 ，
故 x1 = 2ln -x2 - x2，
x x 2ln - x -x 2 2ln -x - x于是 x e 2 = x e 1 = 2ln x x e - - 2 2 = x 2 22 1 2 2 2 x ，e 2
e2x2
即 + x2 - 2ln -x = 0x 2 ，2
令u = -x2 0,1
1
，则u + 2ln u + = 0，
ue2u
2 -2u
令F u = u + 2ln u 1+ ，则
ue2u F u
u + 2u - e 2u +1
= 2 ，u
G u = u2 + 2u - e-2u 2u +1 G u = 4ue-2u令 ，则 + 2u + 2 > 0，
则G u 在 0,1 单调递增，
又G 0 = -1< 0 G 1 3 3， = -
e2
> 0，故存在u0 0,1 使得G u0 = 0，
于是F u 在 0,u0 上单调递减，在 u0 ,1 上单调递增，
F 1 1又 ÷ = - 2ln 2
2
+ < 0.5 - 2 0.69 + 2 0.37 = -0.14 < 0，则F u0 < F
1
2 2 e ÷
< 0 ，
è è 2
4 2-
而F 1 1 1= + > 0，F 1 1= -8 + e e4 > -8 + e3
e2 ÷
> 0 ，
è e4 e4
故F u 在 0,1 1上存在两个零点u1，u2 且0 < u1 < < u2 <1，2
1 e2x2 2x2
当 x2 = -u2 -1, -

÷时，由 + x2 - 2ln -x 0
e
2 = 可知 x2 - 2ln -x2 = = e2x2 -ln - x2 ，
è 2 x2 -x2
ln - x 2x -ln - x
两边同时减去 2x 2 2 22 - ln -x2 整理得 e - ln -x2 = e - é 2x2 - ln -x2 ù ，
x x
令H x = e - x，则H x = e -1，故H x 在 - ,0 单调递减，
因为H ln -x2 = H 2x2 - ln -x2 ，
而 ln -x2 < 0
1
，由 y = 2x - ln -x 在 -1, - ÷ 单调递增可知 y x y
1
2 < -

÷ = -1+ ln 2 < 0，
è 2 è 2
即 2x2 - ln -x2 < 0，故 ln -x2 = 2x2 - ln -x2 ，则 ln -x2 = x2 ，
再由 x1 = 2ln -x2 - x2可知 x1 = x2 ，与 x1 x2 矛盾，
x
所以区间 -1,0 上满足题意的 x 22 是唯一的，即 x2 = -u1，此时 t = x2e 的值也是唯一的，
故存在唯一的 t，使得 x3 ， x2 ， x4 ，x1依次成等比数列．

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