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湖南邵阳市2025-2026学年下学期八年级期中学情质量监测数学
1．一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，
∴它的边数为.
故答案为：C．
【分析】本题根据正多边形的每个外角相等，且任意多边形的外角和等于，列式除法计算即可得出答案。
2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
故选C
【分析】
根据菱形的判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
3．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
4．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，选项不符合题意；
B、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，故原说法错误，选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、正方形、菱形和平行四边形的判定方法分析判断即可.
5．点在第三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限
解得：的取值范围是
故选：B．
【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，列出不等式组：解出不等式组即可．
6．如图，在菱形中，，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接与交于O，如图
∵四边形是菱形，
∴=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO==30°，
∴AO=AD×cos∠DAO=1×cos30°=，
∴，
故答案为：D．
【分析】做辅助线后，依据菱形的性质，得出=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO==30°，此时利用余弦公式计算出AO=，最后即可求得的长度．
7．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，即点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故答案为：C．
【分析】本题先结合平行四边形的对称性得出，点与点关于坐标原点中心对称，然后依据“关于原点中心对称的点的坐标特征”，即横纵坐标互为相反数，即可得出答案。
8．如图古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，则“升”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；平移的性质；有序数对
【解析】【解答】解：根据“云”用表示，向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，可得到“缘”用表示，把“缘”向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得到“升”，
故“升”可以表示为；
【分析】
通过平移对应坐标位置的思路，先推出“缘”对应的坐标是，之后再按照这个坐标平移的规则计算，就能得到结果.
9．在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（　　）
A． B． C．（3，0） D．（0，3）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵ 点在x轴上
∴4-a=0，解得a=4，
∴2a-5=2×4-5=3，
∴点A（3，0），
故选：C.
【分析】由坐标轴上点的特征可得出等量关系，解之即可.
10．已知正方形的边长为6，，它的两边分别交线段、于点、．则下列结论：（1）；（2）若，则，（3）的周长一定等于12，（4）平分，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，
则，
，
，
，
，
则在和中，
由
，
接下来逐一分析四个结论：
（1）
，
由，
，故（1）正确；
（2），设，
则由（1）正确知，，
在中，由勾股定理得
，
，
解得，即，故（2）正确；
（3）由（1）正确知，
故周长，故（3）正确；
（4），
，
若平分，则，但由于是动点，故不一定是，即不一定平分，故（4）错误；
综上所述，正确的结论为（1）（2）（3）共3个．
故选：C
【分析】
将绕点A顺时针旋转，使AD与正方形的AB边重合，得到，根据旋转的性质可得。接下来结合正方形的内角为以及已知条件，可推得，再结合公共边AM相等，可证得，由此即可判定结论（1）正确，最后再结合（1）得到的结论和其他三角形全等的性质，就可以逐一判断剩余的结论是否成立.
11．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第　 　象限．
【答案】四
【知识点】绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
而，
∴，
解得a=2，b=-3，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
【分析】本题根据平方和绝对值的非负性，列式得出，然后求出的值；最后根据的符号以及四个象限的特点，即可判断出点A所在的象限。
12．已知点与点关于轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：
【分析】
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13．如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为　 　.
【答案】22
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：22．
【分析】本题根据平行四边形对角线互相平分且对边相等，即可先得出，然后列式求出=12，最后列式的周长，并代入计算即可。
14．如图，在中，，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是　 　．
【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴点为的中点，
∵点是的中点，
∴为的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据题目给出的作图步骤可以得到，直线是线段的垂直平分线，因此可知点是的中点，由此可推出是的中位线，根据三角形中位线的性质可得.
15．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
∴，
∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，即将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是．
【分析】
设点旋转后的对应点为，过点作轴，标记垂足为，再过旋转得到的点作轴，标记垂足为，利用角角边，也就是AAS判定定理，就可以证明，结合全等三角形对应边相等的性质，就可以推导出需要的结论.
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
17．已知：P（4x，x-3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
【答案】(1)解：∵点P在第三象限的角平分线上，
∴4x=x-3，
解得x=-1，而此时点P坐标为(-4，-4)满足条件；
(2)解：∵点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，
∴4x+[-(x-3)]=9，
解得x=2，此时点P坐标为(8，-1)满足条件。
【知识点】线段上的两点间的距离；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）点P在第三象限的角平分线上，即P点的横纵坐标相等，且横纵坐标均为负数，因此列式4x=x-3，求解后代入检验即可；
（2）点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，即P点的横坐标为正数、纵坐标为负数，然后列式4x+[-(x-3)]=9，求解后代入检验即可。
18．已知：如图，平行四边形，E、F是直线上两点，且．求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：连接交于O点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
连接，通过证明四边形的两条对角线互相平分，来推导出四边形是平行四边形.
19．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________；
（2）画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________．
【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．

【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）要得到平移后的，只需要将原三角形的三个顶点分别向右移动1个单位、向上移动4个单位，得到平移后的顶点后，再依次连接各顶点即可；
（2）要画出原三角形关于原点中心对称的，只需要先找出原三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接对称点即可。根据中心对称的性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数，利用这个性质就可以求出对称点的坐标.
（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．
20．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）选择①，证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：两组对边平行或一组对边平行且相等，证明是平行四边形，最后再根据矩形的定义即可证明
（2）根据直角三角形的勾股定理：，代入数据求出BC的长，最后再根据矩形的面积公式，即可求解。
（1）选择①，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
21．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
22．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∵，
（SAS），
，
（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∵∠EBA+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEG=90°，即∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
，
在中，
。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，然后线段作差计算得出AE=DF，此时利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到对应边相等；
（2）由全等三角形对应角相等得出∠EBA=∠FAD，结合直角三角形锐角互余推出∠AGE=90°，由勾股定理计算出BE=5，最后在Rt△ABE中，由三角形面积公式及等积变形，列式计算即可求出AG。
23．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
（1）的长为______；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】（1）10
（2）解：由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或。
（3）解：①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为。
（4）或2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：四边形是平行四边形，
，AB∥CD，
∴，
，
故答案为：（1）10；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，AB∥CD，“两直线平行、内错角相等”得出，最后由勾股定理求出的长即可；
（2）结合题意得出，然后分点在线段上、点在线段延长线上两种情况，结合线段作差列式即可得出QB的两种长度；（3）①连接、，结合平行四边形的判定及性质，得，代入求出，不符合题意舍去；②连接、，结合平行四边形的判定及性质，得，代入求出，从而得出答案；
（4）分点关于直线对称的点恰好落在点下方和点上方两种情况，综合利用对称性、平行四边形的性质、平行线的性质等，计算出，然后分别求出的长，即可求出t的值。
24．【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”．
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为正方形．
【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”．
【答案】任务二：
（1）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
任务三：连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】任务一：
解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】任务一：我们可以逐一对照平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，分析判断出符合要求的图形，完成作答；
任务二：（1）已知AB=AC，由等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠ACB；又因为∠ DBC是直角三角形，E是BD中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可知EC=EB=BD，因此对应角∠ 1=∠2，最后借助角的和差关系，即可完成证明；
（2）首先根据三角形中位线定理，，再结合直角三角形斜边中线的性质得到，；根据“垂等四边形”的定义，该四边形满足AB=BD，因此可推出EF=EC，结合已经证得的邻边相等，就可以证明四边形是菱形；接下来再根据三角形中位线的性质可得EF= AB，最后根据“垂等四边形”的定义，它的对角线互相垂直，即，，因此可得四边形是正方形；任务三：连接，分别交于点，使两条线段分别与BD交于点M，N，先根据三角形中位线定理证明四边形BECF平行四边形，由此可推出BE∥CF，BE=CF；再结合题目给出的，即可进一步得到；接下来我们设设，则，进而即可得出结论。
1 / 1湖南邵阳市2025-2026学年下学期八年级期中学情质量监测数学
1．一个正多边形的每个外角度数都等于，则这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是正方形
C．一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
5．点在第三象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
7．如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，则“升”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，若点在x轴上．则点A的坐标为（　　）
A． B． C．（3，0） D．（0，3）
10．已知正方形的边长为6，，它的两边分别交线段、于点、．则下列结论：（1）；（2）若，则，（3）的周长一定等于12，（4）平分，正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第　 　象限．
12．已知点与点关于轴对称，则　 　．
13．如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为　 　.
14．如图，在中，，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，连接DE，则DE的长是　 　．
15．已知点的坐标为，将点绕坐标原点逆时针旋转度所得点的坐标为　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为　 　．
17．已知：P（4x，x-3）在平面直角坐标系中．
（1）若点P在第三象限的角平分线上，求x的值；
（2）若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值．
18．已知：如图，平行四边形，E、F是直线上两点，且．求证：四边形为平行四边形．
19．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是．
（1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________；
（2）画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________．
20．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：
①，②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
21．在中，、分别是、的中点，，延长到点，使得，连接．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
22．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
23．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
（1）的长为______；
（2）用含的代数式表示线段的长；
（3）连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
24．【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”．
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为正方形．
【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵任意多边形的外角和等于，且这个每个外角都等于，
∴它的边数为.
故答案为：C．
【分析】本题根据正多边形的每个外角相等，且任意多边形的外角和等于，列式除法计算即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
故选C
【分析】
根据菱形的判定定理，对每个选项逐一进行分析判断.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，存在一条竖直对称轴，但绕任意点旋转 180° 后无法与自身重合，A不是中心对称图形；B、是正八边形的内接图形，既存在多条对称轴，绕中心旋转 180° 后也能与自身完全重合，B同时满足轴对称和中心对称；
C、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但找不到一条直线能让它对折后完全重合，C不是轴对称图形；
D、是中心对称图形，绕中心旋转 180° 后可重合，但不存在能使它对折后完全重合的直线，D不是轴对称图形；
故答案为：B。
【分析】先明确轴对称图形（沿直线对折后重合）和中心对称图形（绕点旋转 180° 后重合）的定义，再对每个选项逐一验证，找出同时满足两种对称性的图形。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，选项不符合题意；
B、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，故原说法错误，选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法错误，选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法正确，选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、正方形、菱形和平行四边形的判定方法分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限
解得：的取值范围是
故选：B．
【分析】根据第三象限内点的横坐标是负数，纵坐标是负数，列出不等式组：解出不等式组即可．
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接与交于O，如图
∵四边形是菱形，
∴=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO==30°，
∴AO=AD×cos∠DAO=1×cos30°=，
∴，
故答案为：D．
【分析】做辅助线后，依据菱形的性质，得出=1，AC与BD互相垂直平分，AC=2AO，∠DAO==30°，此时利用余弦公式计算出AO=，最后即可求得的长度．
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平行四边形的对角线交点在原点，
∴，即点与点关于坐标原点中心对称，
点的坐标为，
点的坐标是，
故答案为：C．
【分析】本题先结合平行四边形的对称性得出，点与点关于坐标原点中心对称，然后依据“关于原点中心对称的点的坐标特征”，即横纵坐标互为相反数，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；平移的性质；有序数对
【解析】【解答】解：根据“云”用表示，向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，可得到“缘”用表示，把“缘”向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得到“升”，
故“升”可以表示为；
【分析】
通过平移对应坐标位置的思路，先推出“缘”对应的坐标是，之后再按照这个坐标平移的规则计算，就能得到结果.
9．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵ 点在x轴上
∴4-a=0，解得a=4，
∴2a-5=2×4-5=3，
∴点A（3，0），
故选：C.
【分析】由坐标轴上点的特征可得出等量关系，解之即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，
则，
，
，
，
，
则在和中，
由
，
接下来逐一分析四个结论：
（1）
，
由，
，故（1）正确；
（2），设，
则由（1）正确知，，
在中，由勾股定理得
，
，
解得，即，故（2）正确；
（3）由（1）正确知，
故周长，故（3）正确；
（4），
，
若平分，则，但由于是动点，故不一定是，即不一定平分，故（4）错误；
综上所述，正确的结论为（1）（2）（3）共3个．
故选：C
【分析】
将绕点A顺时针旋转，使AD与正方形的AB边重合，得到，根据旋转的性质可得。接下来结合正方形的内角为以及已知条件，可推得，再结合公共边AM相等，可证得，由此即可判定结论（1）正确，最后再结合（1）得到的结论和其他三角形全等的性质，就可以逐一判断剩余的结论是否成立.
11．【答案】四
【知识点】绝对值的非负性；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，
而，
∴，
解得a=2，b=-3，
∴点A的坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
【分析】本题根据平方和绝对值的非负性，列式得出，然后求出的值；最后根据的符号以及四个象限的特点，即可判断出点A所在的象限。
12．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于轴对称，
，，
．
故答案为：
【分析】
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
13．【答案】22
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故答案为：22．
【分析】本题根据平行四边形对角线互相平分且对边相等，即可先得出，然后列式求出=12，最后列式的周长，并代入计算即可。
14．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴点为的中点，
∵点是的中点，
∴为的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
根据题目给出的作图步骤可以得到，直线是线段的垂直平分线，因此可知点是的中点，由此可推出是的中位线，根据三角形中位线的性质可得.
15．【答案】
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：设旋转后的点为，过点作轴，垂足为，过作轴，垂足为，
∴，
∵将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵点在第二象限，
∴点的坐标为，即将点绕坐标原点逆时针旋转得到的点的坐标是．
【分析】
设点旋转后的对应点为，过点作轴，标记垂足为，再过旋转得到的点作轴，标记垂足为，利用角角边，也就是AAS判定定理，就可以证明，结合全等三角形对应边相等的性质，就可以推导出需要的结论.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∵折叠，
∴，，
∵点A的坐标为，点F的坐标为，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，即可得到是矩形，求出，，，利用折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出a的值，再在中运用勾股定理得到长解题．
17．【答案】(1)解：∵点P在第三象限的角平分线上，
∴4x=x-3，
解得x=-1，而此时点P坐标为(-4，-4)满足条件；
(2)解：∵点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，
∴4x+[-(x-3)]=9，
解得x=2，此时点P坐标为(8，-1)满足条件。
【知识点】线段上的两点间的距离；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）点P在第三象限的角平分线上，即P点的横纵坐标相等，且横纵坐标均为负数，因此列式4x=x-3，求解后代入检验即可；
（2）点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，即P点的横坐标为正数、纵坐标为负数，然后列式4x+[-(x-3)]=9，求解后代入检验即可。
18．【答案】证明：连接交于O点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
连接，通过证明四边形的两条对角线互相平分，来推导出四边形是平行四边形.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．

【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）要得到平移后的，只需要将原三角形的三个顶点分别向右移动1个单位、向上移动4个单位，得到平移后的顶点后，再依次连接各顶点即可；
（2）要画出原三角形关于原点中心对称的，只需要先找出原三个顶点关于原点的对称点，再顺次连接对称点即可。根据中心对称的性质：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数，利用这个性质就可以求出对称点的坐标.
（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为．
20．【答案】（1）选择①，证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：两组对边平行或一组对边平行且相等，证明是平行四边形，最后再根据矩形的定义即可证明
（2）根据直角三角形的勾股定理：，代入数据求出BC的长，最后再根据矩形的面积公式，即可求解。
（1）选择①，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
选择②，
证明：∵，，
∴是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∴矩形的面积为．
21．【答案】（1）证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
是等边三角形，
菱形的边长为4，高为，
菱形的面积为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得且，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则菱形的边长为4，高为，再根据菱形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AD-DE=CD-CF，即AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∵，
（SAS），
，
（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∵∠EBA+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEG=90°，即∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
，
在中，
。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，然后线段作差计算得出AE=DF，此时利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到对应边相等；
（2）由全等三角形对应角相等得出∠EBA=∠FAD，结合直角三角形锐角互余推出∠AGE=90°，由勾股定理计算出BE=5，最后在Rt△ABE中，由三角形面积公式及等积变形，列式计算即可求出AG。
23．【答案】（1）10
（2）解：由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或。
（3）解：①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为。
（4）或2
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：四边形是平行四边形，
，AB∥CD，
∴，
，
故答案为：（1）10；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
【分析】（1）由平行四边形的性质得，AB∥CD，“两直线平行、内错角相等”得出，最后由勾股定理求出的长即可；
（2）结合题意得出，然后分点在线段上、点在线段延长线上两种情况，结合线段作差列式即可得出QB的两种长度；（3）①连接、，结合平行四边形的判定及性质，得，代入求出，不符合题意舍去；②连接、，结合平行四边形的判定及性质，得，代入求出，从而得出答案；
（4）分点关于直线对称的点恰好落在点下方和点上方两种情况，综合利用对称性、平行四边形的性质、平行线的性质等，计算出，然后分别求出的长，即可求出t的值。
24．【答案】任务二：
（1）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
任务三：连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】任务一：
解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】任务一：我们可以逐一对照平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，分析判断出符合要求的图形，完成作答；
任务二：（1）已知AB=AC，由等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠ACB；又因为∠ DBC是直角三角形，E是BD中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可知EC=EB=BD，因此对应角∠ 1=∠2，最后借助角的和差关系，即可完成证明；
（2）首先根据三角形中位线定理，，再结合直角三角形斜边中线的性质得到，；根据“垂等四边形”的定义，该四边形满足AB=BD，因此可推出EF=EC，结合已经证得的邻边相等，就可以证明四边形是菱形；接下来再根据三角形中位线的性质可得EF= AB，最后根据“垂等四边形”的定义，它的对角线互相垂直，即，，因此可得四边形是正方形；任务三：连接，分别交于点，使两条线段分别与BD交于点M，N，先根据三角形中位线定理证明四边形BECF平行四边形，由此可推出BE∥CF，BE=CF；再结合题目给出的，即可进一步得到；接下来我们设设，则，进而即可得出结论。
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