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2026年湖南初中学业水平考试数学模拟试卷(三)
1．在有理数，0，，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故选：B．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大 的反而小，进行比较即可．
2．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题考查的是用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题方法就是把变形为的形式，其中，且n为负整数，解这类题的核心要点就是n的绝对值和原数小数点移动的位数相等.
3．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、两图形不全等，故本选项不符合题意；
B、两图形是轴对称关系，故本选项不符合题意；
C、两图形是旋转对称关系，故本选项不符合题意；
D、将右面的图形平移后可以得到左面的图形，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】
根据平移的性质为：将一个图形整体沿着某一条直线方向进行移动，就能够得到一个新图形，并且新图形和原图形的形状、大小是完全一致的，依据该性质就可以判断出最终答案.
4．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：红色区域的圆心角为，
蓝色区域的圆心角为，
指针落在蓝色区域的概率是，
故答案为：D．
【分析】几何概率是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，常用的计算方法是利用长度比、面积比、体积比等。本题结合几何概率的计算方法，用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A.，故该选项不正确， 不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
依据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逐一计算每个选项后，即可得到结果.
6．已知是分式方程的解，则的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x=3是分式方程的解，
∴，
∴a=-1，
∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合题意）．
故选：A．
【分析】
已知x=3是分式方程的解，根据分式方程解的定义，将x=3代入原方程，即可计算得到a=-1，最后把a=-1代入分式方程的分母检验，确认分母不为0，即可确定最终结果为a=-1.
7．下列调查中，适合进行普查的是（　　）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小调查
C．一批灯泡的使用寿命
D．环保部门对长江某段水域的污染情况的调查
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．《新闻联播》电视栏目的收视率，适合进行抽样调查，不合题意；
B．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小调查，适合进行普查，符合题意；
C．一批灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，不合题意；
D．环保部门对长江某段水域的污染情况的调查，适合进行抽样调查，不合题意；
故答案为：B．
【分析】一般来说，对于破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义和价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题结合普查和抽样调查的适用范围，逐个选项进行分析即可。
8．已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵正方形的顶点A的坐标为，
∴，
又∵正方形的边长为5，
∴可以为正方形的边，
∴该正方形顶点B的坐标可能为，
故选：C．
【分析】
连接后，通过勾股定理计算得到，结合已知条件中正方形的边长恰好为5，可以判断出点就是正方形的一个顶点，据此就可以得到题目要求的结果.
9．下列关于一次函数的图象的说法中，正确的是（　　）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．当时，
C．函数图象与轴的交点坐标为
D．函数图象向左平移3个单位长度得到函数的图象
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 一次函数为，
∴，，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项A错误；
当时，一次函数随增大而减小，且时，，选项B说法错误；
令，则，即函数图象与轴的交点坐标为，选项C说法正确；
函数图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，选项D说法错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合一次函数分析出，，从而判断出该函数经过的象限，从而判断A选项；结合一次函数增减性从而判断B选项；结合函数与y轴交点的特点，代入计算即可求出交点坐标，从而判断C选项；结合函数平移的性质，即“左加右减”，从而计算并判断D选项。
10．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，，过点O作于点E，
由题意可得：，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接，，过点O作于点E，根据题意可得，由锐角三角函数和特殊角的三角函数值可得，根据垂径定理可得，然后根据弧长公式“l=”计算即可求解．
11．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。本题根据垂线段最短的原理及应用即可得出答案。
12．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题用提公因式法提取公因式3a，变形为，然后再用平方差公式进行因式分解得到，从而得出答案。
13．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题根据新定义运算，列式，然后利用二次根式的化简与加减计算法则进行计算即可．
14．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到 烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：结合图2可知，y与x成反比例函数关系，
设y=，
∵该函数经过（4，6）点，
代入得到6=，解得k=24，
∴，
∵在实验中要求火焰的像高不得低于 ，即x≥4，
当时，，
小孔到蜡烛的距离至多是，
故答案为：．
【分析】本题先结合图中信息分析得出y与x成反比例函数关系，用待定系数法求出，然后结合条件“在实验中要求火焰的像高不得低于”，从而得出x≥4，然后当时，计算出y=6，从而得到小孔到蜡烛的距离至多是。
15．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法可知，是的平分线， 是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】结合图中作图痕迹得出，是的平分线， 是线段的垂直平分线，然后利用三角形内角和计算出，从而根据角平分线的定义计算出，结合垂直平分线的性质得出，从而“等边对等角”得出，结合三角形外角计算出，最后利用三角形内角和计算出。
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点，
，，
，
，
如图，取中点H，连接，
点为的中点，点H为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，可以得到，且。之后取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，且，最后在直角三角形中，利用勾股定理即可计算得到结果.
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别利用零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、二次根式的化简性质，以及特殊角的三角函数值，对原式中每一项逐一进行计算，最后将各项的计算结果合并，就可以得到最终答案.
18．先化简，再求值：，再从0，1，2三个中选一个适当的数作为的值代入求值．
【答案】解：
．
当或2时，原分式无意义，
．
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先对原式的分子分母进行因式分解，再约分，再进行分式的加减运算，最后再根据分式有意义的的条件选择合适的a的值代入求值即可.
19．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结．
（1）求的度数；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由直角三角形两锐角互余求得的度数，再由等边对等角得，最后再利用三角形外角的性质计算即可；
（2）过点作于点，则由垂径定理可得CM平分AD，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，再利用勾股定理求出CM，则的面积可求，再利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元．
（1）购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元．
根据题意，得，解得．
∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元；
（2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元．
根据题意，得，即．
∵，
∴随的增大而减小．
又∵，解得，
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴．
∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）先设购买一个“冰墩墩”的单价为元，购买一个“马墩墩”的单价为元，题目中给出两个条件：购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”总共花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”总共花费380元，根据这两个等量关系建立二元一次方程组，解方程组即可得到两个吉祥物的单价；
（2）再设需要购买“冰墩墩”的数量为个，总投入资金为元。题目要求总投入资金既不低于2160元，也不超过2200元，据此列出不等式组，解不等式组得到m的取值范围；之后根据总投入资金等于购买两种吉祥物的费用之和，得到w和m的函数关系式，再结合一次函数的增减性，就可以确定符合要求的购买方案.
（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元．
根据题意，得，解得．
∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元；
（2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元．
根据题意，得，即．
∵，
∴随的增大而减小．
又∵，解得，
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴．
∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元．
21．2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10．
八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 7
九年级 7.8 8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________；
（2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数；
（3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）7.8，7.5
（2）解：（名），
估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名．
（3）解：九年级成绩相对更好．理由如下：
九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：分，
∵从小到大排列后排在第10位的数是7，排在第11位的数是8，
∴分．
故答案为：（1）7.8，7.5；
【分析】（1）平均数的计算方法，即将一组数据相加，然后将计算结果除以数据的个数即可；将数据按照大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。本题根据平均数和中位数的计算方法进行计算即可；
（2）条件中，9分及以上为优秀，因此八年级9分以上的有3+3=6人，九年级9分以上人数占样本人数的15%+20%=35%，最后利用样本估计总体思想求解可得；
（3）八年级和九年级相比，平均数、中位数、众数均偏小，因此得出结论。
（1）解：分，
∵从小到大排列后排在第10位的数是7，排在第11位的数是8，
∴分．
故答案为：7.8，7.5；
（2）解：（名），
估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名．
（3）解：九年级成绩相对更好．理由如下：
九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．（答案不唯一，说法合理即可）
22．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）首先过点作，垂足为点。设，结合题目给出的线段长度关系，可以得到；再对利用三角函数的关系，推导出，两个表达式都是EC的长度，联立即可建立方程求解出未知量。
（2）在第一步求出未知量后，先计算出的长度，再进一步得到的总长度；最后根据“时间=总路程÷速度”计算出航行所需时间，再结合题目给出的实际条件，就能得到最终答案.
（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G．
请写出线段与线段的数量关系______．
（2）迁移思考
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
【答案】（1）；
（2），证明如下：
证明：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：（1）；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得，
由（1）得，
∴
∴，
∴．
【分析】（1）结合矩形的性质得出FE=AE，然后再结合折叠的性质综合可得，利用线段中点推出，此时利用HL即可证明，从而得到；
（2）由平行四边形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”得到，由折叠的性质可得，利用线段中点推出，“等边对等角”得到，再利用平角以及“同旁内角互补”，列式并推出，最后“等角对等边”即可证明；
（3）由矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，由（1）得，可推出，最后代入计算即可求出AD的长度。
24．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3．
【问题解决】
（1）求关于x的函数解析式；
（2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值．
【答案】（1）解：由图象得，经过点C，E，
点C的横坐标为1，点E的横坐标为4，
当时，，当时，，
，，
经过经过点，，
，解得，
；
（2）解：由图象得，在范围内，，
两个水池面积差，
，抛物线开口向下，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，
答：当时，面积差的最大值为．
（3）解：水池3与水池2的面积相等，
，
整理得，，
x有唯一值，
，解得，，
答：b的值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）结合图3中的信息发现，y1和y2的交点是C点和E点，且点C的横坐标为1，点E的横坐标为4，结合，代入即可得出C点和E点的坐标，最后用待定系数法将，代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解即可得出函数解析式；
（2）结合（1）的结算结果，将y2和y1作差，得到二次函数，结合二次函数性质并在范围内进行分析，即可求出最值；
（3）根据面积相等列出方程，整理后根据求出b的值即可．
1 / 12026年湖南初中学业水平考试数学模拟试卷(三)
1．在有理数，0，，中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列每组图形中，将右面的图形平移后可以得到左面的图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知是分式方程的解，则的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．
7．下列调查中，适合进行普查的是（　　）
A．《新闻联播》电视栏目的收视率
B．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小调查
C．一批灯泡的使用寿命
D．环保部门对长江某段水域的污染情况的调查
8．已知正方形的边长为5，建立如图的平面直角坐标系，使该正方形的顶点A的坐标为，则该正方形顶点B的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
9．下列关于一次函数的图象的说法中，正确的是（　　）
A．函数图象经过第二、三、四象限
B．当时，
C．函数图象与轴的交点坐标为
D．函数图象向左平移3个单位长度得到函数的图象
10．把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
11．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是　 　．
12．因式分解：　 　．
13．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算　 　．
14．某科创实验小组根据小孔成像的科学原理设置了如图1所示的小孔成像实验．当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，绘制了火焰的像高（单位：）与物距（小孔到 烛的距离）（单位：）的函数图象（如图2所示），为便于观察，在实验中要求火焰的像高不得低于，求小孔到蜡烛的距离至多是　 　．
15．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算　 　．
16．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　 　．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，再从0，1，2三个中选一个适当的数作为的值代入求值．
19．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连结．
（1）求的度数；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
20．2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元．
（1）购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？
21．2025年3月12日，长征八号遥六运载火箭以“一箭十八星”的方式，在海南商业航天发射场将千帆星座第五批组网卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为了激发学生对航天的热情和兴趣，某学校开展了航空航天知识竞赛活动．赛后，校团委从八、九年级中各随机抽取了20名学生．统计这部分学生的竞赛成绩（单位：分，竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：5，6，7，7，7，7，7，7，7，7，8，8，8，8，9，9，9，10，10，10．
八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 7
九年级 7.8 8 8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：___________，___________；
（2）估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩达到优秀的总人数；
（3）根据上述数据，你认为该校八、九年级的此次竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
22．【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
23．综合与实践
综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，先用对折的方式确定矩形的边的中点E，再沿折叠，点A落在点F处，把纸片展平，延长，与交点为G．
请写出线段与线段的数量关系______．
（2）迁移思考
如图2，把按照（1）中的操作进行折叠和作图，请判断这两条线段之间的数量关系，并仅就图2证明你的判断．
（3）拓展探索
如图1，若，按照（1）中的操作进行折叠和作图，请直接写出当时的值．
24．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）．
【建立模型】
如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3．
【问题解决】
（1）求关于x的函数解析式；
（2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故选：B．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大 的反而小，进行比较即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题考查的是用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题方法就是把变形为的形式，其中，且n为负整数，解这类题的核心要点就是n的绝对值和原数小数点移动的位数相等.
3．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A、两图形不全等，故本选项不符合题意；
B、两图形是轴对称关系，故本选项不符合题意；
C、两图形是旋转对称关系，故本选项不符合题意；
D、将右面的图形平移后可以得到左面的图形，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】
根据平移的性质为：将一个图形整体沿着某一条直线方向进行移动，就能够得到一个新图形，并且新图形和原图形的形状、大小是完全一致的，依据该性质就可以判断出最终答案.
4．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：红色区域的圆心角为，
蓝色区域的圆心角为，
指针落在蓝色区域的概率是，
故答案为：D．
【分析】几何概率是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，常用的计算方法是利用长度比、面积比、体积比等。本题结合几何概率的计算方法，用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率．
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】A.，故该选项不正确， 不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
依据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；以及同底数幂的除法运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，逐一计算每个选项后，即可得到结果.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵x=3是分式方程的解，
∴，
∴a=-1，
∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合题意）．
故选：A．
【分析】
已知x=3是分式方程的解，根据分式方程解的定义，将x=3代入原方程，即可计算得到a=-1，最后把a=-1代入分式方程的分母检验，确认分母不为0，即可确定最终结果为a=-1.
7．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．《新闻联播》电视栏目的收视率，适合进行抽样调查，不合题意；
B．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小调查，适合进行普查，符合题意；
C．一批灯泡的使用寿命，适合进行抽样调查，不合题意；
D．环保部门对长江某段水域的污染情况的调查，适合进行抽样调查，不合题意；
故答案为：B．
【分析】一般来说，对于破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义和价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．本题结合普查和抽样调查的适用范围，逐个选项进行分析即可。
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，如图，
∵正方形的顶点A的坐标为，
∴，
又∵正方形的边长为5，
∴可以为正方形的边，
∴该正方形顶点B的坐标可能为，
故选：C．
【分析】
连接后，通过勾股定理计算得到，结合已知条件中正方形的边长恰好为5，可以判断出点就是正方形的一个顶点，据此就可以得到题目要求的结果.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 一次函数为，
∴，，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选项A错误；
当时，一次函数随增大而减小，且时，，选项B说法错误；
令，则，即函数图象与轴的交点坐标为，选项C说法正确；
函数图象向左平移3个单位长度得到函数的图象，选项D说法错误；
故答案为：C．
【分析】本题结合一次函数分析出，，从而判断出该函数经过的象限，从而判断A选项；结合一次函数增减性从而判断B选项；结合函数与y轴交点的特点，代入计算即可求出交点坐标，从而判断C选项；结合函数平移的性质，即“左加右减”，从而计算并判断D选项。
10．【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，，过点O作于点E，
由题意可得：，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】连接，，过点O作于点E，根据题意可得，由锐角三角函数和特殊角的三角函数值可得，根据垂径定理可得，然后根据弧长公式“l=”计算即可求解．
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。本题根据垂线段最短的原理及应用即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题用提公因式法提取公因式3a，变形为，然后再用平方差公式进行因式分解得到，从而得出答案。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】本题根据新定义运算，列式，然后利用二次根式的化简与加减计算法则进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：结合图2可知，y与x成反比例函数关系，
设y=，
∵该函数经过（4，6）点，
代入得到6=，解得k=24，
∴，
∵在实验中要求火焰的像高不得低于 ，即x≥4，
当时，，
小孔到蜡烛的距离至多是，
故答案为：．
【分析】本题先结合图中信息分析得出y与x成反比例函数关系，用待定系数法求出，然后结合条件“在实验中要求火焰的像高不得低于”，从而得出x≥4，然后当时，计算出y=6，从而得到小孔到蜡烛的距离至多是。
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法可知，是的平分线， 是线段的垂直平分线，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
故答案为：．
【分析】结合图中作图痕迹得出，是的平分线， 是线段的垂直平分线，然后利用三角形内角和计算出，从而根据角平分线的定义计算出，结合垂直平分线的性质得出，从而“等边对等角”得出，结合三角形外角计算出，最后利用三角形内角和计算出。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在菱形中，对角线与相交于点，
，，
，
，
如图，取中点H，连接，
点为的中点，点H为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，可以得到，且。之后取的中点，连接，根据三角形中位线的性质可得，且，最后在直角三角形中，利用勾股定理即可计算得到结果.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
先分别利用零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、二次根式的化简性质，以及特殊角的三角函数值，对原式中每一项逐一进行计算，最后将各项的计算结果合并，就可以得到最终答案.
18．【答案】解：
．
当或2时，原分式无意义，
．
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先对原式的分子分母进行因式分解，再约分，再进行分式的加减运算，最后再根据分式有意义的的条件选择合适的a的值代入求值即可.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）先由直角三角形两锐角互余求得的度数，再由等边对等角得，最后再利用三角形外角的性质计算即可；
（2）过点作于点，则由垂径定理可得CM平分AD，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，再利用勾股定理求出CM，则的面积可求，再利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形与的面积之差即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元．
根据题意，得，解得．
∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元；
（2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元．
根据题意，得，即．
∵，
∴随的增大而减小．
又∵，解得，
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴．
∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）先设购买一个“冰墩墩”的单价为元，购买一个“马墩墩”的单价为元，题目中给出两个条件：购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”总共花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”总共花费380元，根据这两个等量关系建立二元一次方程组，解方程组即可得到两个吉祥物的单价；
（2）再设需要购买“冰墩墩”的数量为个，总投入资金为元。题目要求总投入资金既不低于2160元，也不超过2200元，据此列出不等式组，解不等式组得到m的取值范围；之后根据总投入资金等于购买两种吉祥物的费用之和，得到w和m的函数关系式，再结合一次函数的增减性，就可以确定符合要求的购买方案.
（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元．
根据题意，得，解得．
∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元；
（2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元．
根据题意，得，即．
∵，
∴随的增大而减小．
又∵，解得，
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴．
∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元．
21．【答案】（1）7.8，7.5
（2）解：（名），
估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名．
（3）解：九年级成绩相对更好．理由如下：
九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．
【知识点】用样本估计总体；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：分，
∵从小到大排列后排在第10位的数是7，排在第11位的数是8，
∴分．
故答案为：（1）7.8，7.5；
【分析】（1）平均数的计算方法，即将一组数据相加，然后将计算结果除以数据的个数即可；将数据按照大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，则中间那个数据就是这群数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间那2个数据的算术平均值就是这群数据的中位数。本题根据平均数和中位数的计算方法进行计算即可；
（2）条件中，9分及以上为优秀，因此八年级9分以上的有3+3=6人，九年级9分以上人数占样本人数的15%+20%=35%，最后利用样本估计总体思想求解可得；
（3）八年级和九年级相比，平均数、中位数、众数均偏小，因此得出结论。
（1）解：分，
∵从小到大排列后排在第10位的数是7，排在第11位的数是8，
∴分．
故答案为：7.8，7.5；
（2）解：（名），
估计该校八年级1000名学生和九年级600名学生中竞赛成绩为优秀的总人数是510名．
（3）解：九年级成绩相对更好．理由如下：
九年级竞赛成绩的众数、中位数大于八年级．（答案不唯一，说法合理即可）
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．

【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】
（1）首先过点作，垂足为点。设，结合题目给出的线段长度关系，可以得到；再对利用三角函数的关系，推导出，两个表达式都是EC的长度，联立即可建立方程求解出未知量。
（2）在第一步求出未知量后，先计算出的长度，再进一步得到的总长度；最后根据“时间=总路程÷速度”计算出航行所需时间，再结合题目给出的实际条件，就能得到最终答案.
（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
23．【答案】（1）；
（2），证明如下：
证明：如图所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（1）如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴
∵点E是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：（1）；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得，
由（1）得，
∴
∴，
∴．
【分析】（1）结合矩形的性质得出FE=AE，然后再结合折叠的性质综合可得，利用线段中点推出，此时利用HL即可证明，从而得到；
（2）由平行四边形的性质以及“两直线平行、同旁内角互补”得到，由折叠的性质可得，利用线段中点推出，“等边对等角”得到，再利用平角以及“同旁内角互补”，列式并推出，最后“等角对等边”即可证明；
（3）由矩形的性质得到，，，利用勾股定理求出，由折叠的性质可得，由（1）得，可推出，最后代入计算即可求出AD的长度。
24．【答案】（1）解：由图象得，经过点C，E，
点C的横坐标为1，点E的横坐标为4，
当时，，当时，，
，，
经过经过点，，
，解得，
；
（2）解：由图象得，在范围内，，
两个水池面积差，
，抛物线开口向下，
函数有最大值，
当时，函数有最大值，
答：当时，面积差的最大值为．
（3）解：水池3与水池2的面积相等，
，
整理得，，
x有唯一值，
，解得，，
答：b的值为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）结合图3中的信息发现，y1和y2的交点是C点和E点，且点C的横坐标为1，点E的横坐标为4，结合，代入即可得出C点和E点的坐标，最后用待定系数法将，代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解即可得出函数解析式；
（2）结合（1）的结算结果，将y2和y1作差，得到二次函数，结合二次函数性质并在范围内进行分析，即可求出最值；
（3）根据面积相等列出方程，整理后根据求出b的值即可．
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