资源简介

广东省揭阳市榕城区2026年中考数学二模试卷
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
2． 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，已知∠1=∠2， ∠3=60°，则∠4的度数( )
A．60° B．120° C．130° D．80°
4．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是榕城区2026年5月4日到10日的天气情况，这7天中最高气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（　　）
A．22，22 B．21，22 C．23，29 D．29，29
7．设A（-3，y1），B（-2，y2），C（2，y3）是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3>y2>y1 B．y1>y2>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y1>y3
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AC是矩形ABCD的对角线，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使点E在线段AC上，EF交CD于点G，AF交CD于点H，则tan∠FGH的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π-2
10．如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM，CN，点P，Q分别为CN，DM中点，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，则这个多边形的边数是　 　.
13．已知代数式与是同类项，则 　 　．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知⊙O的半径为4，∠BCD=120°，则BD=　 　.
15．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏.第一步：取一个自然数n1=5，计算得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；…以此类推，则a2026=　 　.
16．计算：.
17．图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
18．为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　 　，图①中m的值为　 　；本次调查获取的样本数据的平均数为　 　，中位数为　 　.
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数.
19．育才中学准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，经市场调研得知：甲种垃圾桶每组的单价比乙种垃圾桶每组的单价多元，且用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求甲、乙两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过元的资金购买甲、乙两种垃圾桶共组，则最多可以购买甲种垃圾桶多少组？
20．【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度.已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 2 3 4 n 6 …
I/A … 5
m
…
（1）填写：m=　 　，n=　 　；
（2）【探究观察】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
（3）【拓展应用】结合函数图象，直接写出不等式的解集：
21．如图，在四边形ABCD中，BD=CD，∠C=∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=，sin∠AED=，求BE的长.
22．综合与探究
问题情境，如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AD、BC上的动点，连接EF、BE、DF.将矩形纸片ABCD分别沿直线BE，DF折叠，点A的对应点为点M，点C的对应点为点N.
（1）操作探究：如图（1），若点F与点M重合，DN与EF交于点G，求证：DG=GM；
（2）探究发现：如图（2），当点M，N落在对角线BD上时，判断并证明四边形BFDE的形状；
（3）探究拓广：当点M、N落在对角线AC上时.
①在图（3）中补全图形；
②若AB=2，AD=3，求EF的长.
23．如图，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B做匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N.设点P运动的时间为t（0＜t＜2）秒.
（1）用含t的代数式表示点M，N的坐标，M点的坐标为　 　，N点的坐标为　 　.
（2）求C点的坐标.
（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数关系式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵是无限不循环小数，属于无理数，故A不符合题意；
∵是开方开不尽的数，属于无理数，故B不符合题意；
∵是开立方开不尽的数，属于无理数，故C不符合题意；
∵是分数，属于有理数，故D符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查有理数与无理数的概念辨析。先明确有理数和无理数的定义，有理数包含整数和分数，本质是可以表示为两个整数之比的数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含的代数式、开方开不尽的根式等。再依次判断每个选项，前三个选项分别属于含的数、开平方开不尽的数、开立方开不尽的数，均为无理数，只有分数属于有理数，由此选出答案。
2．【答案】B
3．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】已知 ∠1 = ∠2，且∠1与∠2是直线c、d被直线a所截形成的同位角。
根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，可以得出直线a ∥ b。
已知 ∠3 = 60°。观察图形，∠3与∠4是直线c、d被平行线a、b所截形成的同旁内角。
根据平行线的性质定理“两直线平行，同旁内角互补”，可得： ∠3 + ∠4 = 180° ，
因此，∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 60° =120° 。
故答案为：B。
【分析】 首先由已知条件“同位角相等”推出两条直线平行，然后利用平行线的性质（同旁内角互补）直接求出目标角的度数。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、不能合并，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先提取7天的最高气温：25，29，29，29，31，26，25。
将数据从小到大排序：25，25，26，29，29，29，31。
共7个数据，处于第4位的数是29，因此中位数为29。
数据中29出现了3次，出现次数最多，因此众数为29。
故答案为：D
【分析】本题考查统计量中中位数与众数的计算，需要从天气信息中提取最高气温数据再进行分析。先整理出所有最高气温的数值，将数据按从小到大的顺序排列，数据个数为奇数时，处于中间位置的数即为中位数；统计每个数值出现的次数，出现次数最多的数即为众数，由此得到两个统计量的结果。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将抛物线解析式配方得：，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线。
开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三点到对称轴的距离：
点A：，
点B：，
点C：，
∵，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用抛物线的对称性比较函数值的大小。先将一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向与对称轴，对于开口向下的抛物线，自变量离对称轴越近，函数值越大；再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离的大小关系对应得到函数值的大小关系。
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，
∴，即为直角三角形，
∴。
∵四边形ABCD是矩形，∴，
即，
∴（同角的余角相等）。
又∵（对顶角相等），
∴。
在中，，，
∴，
即。
故答案为：A
【分析】本题结合矩形的性质与图形旋转的变换，考查锐角三角函数的求解。核心是通过角的等量转化，将所求的转化为直角三角形中已知边长的。先根据旋转的性质得到，再根据直角三角形结合题意进行角的运算得到，进而根据矩形的性质得到，即，再进行等量代换得到，从而根据正切函数结合题意解直角三角形即可。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
由网格可知，，，
且，
阴影部分面积可拆分为两部分：左侧扇环面积与右侧扇形减三角形的面积
左侧扇环面积：；
右侧部分面积：；
总阴影面积：
故答案为：C
【分析】本题考查网格中扇形面积的计算，通过割补法求解不规则阴影部分的面积。先根据网格边长，利用勾股定理计算出两个扇形的半径，再结合等腰直角三角形的性质确定圆心角的度数；将阴影部分拆分为两个部分分别计算，一部分是两个扇形的面积差（扇环），另一部分是扇形面积减去直角三角形的面积，最后将两部分结果相加得到阴影总面积。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取DC的中点E，连接PE、QE，
设，由得，即正方形边长。
由，得。
正方形对角线，因此。
∵Q、E分别是DM、DC的中点，
∴QE是的中位线，
∴，，且。
∵P、E分别是CN、DC的中点，
∴PE是的中位线，
∴，，且。
∴。
过点P作，交EQ的延长线于点H，
则为等腰直角三角形，
，
。
在中，由勾股定理得：
。
因此
故答案为：C。
【分析】本题综合考查正方形的性质、三角形中位线定理与勾股定理，通过构造中位线将分散的线段关系集中到直角三角形中求解。采用赋值法简化计算，先根据比例设出CM的长度，推导出正方形边长与相关线段的长度；取DC中点构造两条中位线，利用中位线的平行与数量关系，得到线段的长度与夹角，再通过作垂线构造直角三角形，用勾股定理计算PQ的长度，最终求出线段比值。
11．【答案】x≤3且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：且，
解得：x≤3且x≠1．
故答案为：x≤3且x≠1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可得且，再求出x的取值范围即可。
12．【答案】7
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和均为，设该多边形的边数为
多边形内角和公式为，根据题意列方程：
，
整理得，
解得，即
故答案为：7
【分析】本题考查多边形内角和公式与外角和定理的应用。任意多边形外角和恒为，内角和随边数变化，公式为；根据内角和与外角和的数量关系建立关于边数的一元一次方程，解方程即可得到多边形的边数。
13．【答案】
【知识点】同类项的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同类项定义"同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项"可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入所求代数式计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作于点E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴（圆内接四边形对角互补），
∵，∴
由圆周角定理得，
∵OB=OD，OE⊥BD，
∴BE=DE（等腰三角形三线合一），
在中，，
，
∴
故答案为：
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理与垂径定理的综合应用。先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理得到圆心角的度数；作弦心距构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，利用三角函数求出半弦长，进而得到弦BD的长度。
15．【答案】26
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：根据题意依次计算前几项的值：
，；
，；
，；
，。
由此可发现规律：以26、65、122三个数为周期循环出现
计算，余数为1，
说明与的值相同，即
故答案为：26
【分析】本题考查数字规律的探究与周期循环问题的求解。先按照题目给定的运算规则，依次计算前几项的结果，观察数值的变化规律，找到循环周期；再用总项数除以周期长度，根据余数判断该项对应周期内的第几个数值，从而推导出第2026项的结果。
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简与特殊角三角函数值多个知识点。分别计算每一项：根据负数的偶次幂为正计算乘方项，依据非零数的零次幂为1计算零指数项，按照负整数指数幂的运算法则计算负指数项，根据绝对值的代数意义化简绝对值项，代入角的正切值；将各项化简后的结果按照从左到右的顺序进行加减运算，合并同类项后得到最终结果。
17．【答案】（1）解：如图①，△ABC即为所求．（答案不唯一)
（2）解：如图②，△ABC即为所求．（答案不唯一)
（3）解：如图③，△ABC即为所求．（答案不唯一)
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
18．【答案】（1）40；25；5.8；6
（2）（人），
答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名），
，即，
平均数为（次），
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次，
故答案为：40，25，5.8，6
【分析】本题考查统计图表的综合应用，涵盖样本容量、扇形统计图占比、平均数、中位数计算与用样本估计总体的知识点。
（1）将条形统计图中各成绩段的人数相加得到调查总人数；用成绩为6次的人数除以总人数再乘100%得到的值；根据加权平均数的计算方法，用各成绩乘以对应人数求和后除以总人数得到平均数；将所有成绩从小到大排列，取中间两个数的平均数作为中位数；
（2）先计算样本中引体向上6次及以上的人数占总调查人数的比例，再用全校男生总人数乘以该比例，即可估计出全校该项目良好的人数。
19．【答案】（1）解：设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种垃圾桶每组的单价为420元，乙种垃圾桶每组的单价为300元．
（2）解：设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为．
答：最多可以购买甲种垃圾桶组．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元，再根据用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，再根据购买资金不超过元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种垃圾桶每组的单价为420元，乙种垃圾桶每组的单价为300元．
（2）解：设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为．
答：最多可以购买甲种垃圾桶组．
20．【答案】（1）3；5
（2）①；
②由图象可知：函数值y随x的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等
（3）x≥4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：当时，，即；
当时，，
解得，
经检验符合题意，
∴；
（3）画一次函数函数的图象如下：
解得，，
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，
∴不等式的解集为．
【分析】本题结合物理电路背景考查反比例型函数的探究，涵盖函数值计算、函数图象绘制、函数性质归纳与利用图象解不等式的知识点。
（1）将代入电流公式即可求出的值；将代入公式，解关于的分式方程即可得到的值，注意检验解的合理性；
（2）①根据表格中的对应值，在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接，注意自变量的取值范围，即可画出函数图象；②从函数的增减性、取值范围、变化趋势等角度观察图象，总结出一条符合图象特征的性质即可；
（3）先在同一坐标系中画出一次函数的图象，求出两个函数图象交点的横坐标，再观察反比例型函数图象在一次函数图象上方时对应的自变量取值范围，即为不等式的解集。
21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∴∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD=∠CFD=∠ABC=90°，BF=CF，
∴DF∥AB，
∵∠ABD=∠AED，AB=，
∴=sin∠ABD=sin∠AED=，
∴AD=AB=×=1，
∴，
∵∠BDF=∠ABD，
∴，
∴，
∵∠BEC=∠BAD=180°-∠BED，∠C=∠BAD，
∴∠BEC=∠C，
∴，
∴BE的长是．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与解直角三角形的综合应用，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识点。
（1）先由等腰三角形等边对等角得到，结合已知进行等量代换，再利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形中两锐角互余的关系，通过角的等量代换证明，即AB垂直于BC，结合AB是直径即可判定BC为的切线；
（2）先利用同弧所对的圆周角相等，将的正弦值转化为的正弦值，在中结合AB的长度求出AD与BD的长；过D作BC的垂线，利用平行线的角的关系，在直角三角形中求出BF的长度，再结合等腰三角形三线合一得到BC的长度；最后利用圆内接四边形的外角等于内对角，结合等边对等角推导，从而得到BE的长度。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，
∴AB=BM，AE=EM，∠A=∠BME=90°，
∴∠ABC=∠BME=90°，
∴AB∥EM．
∴DC∥EM．
∴∠GMD=∠MDC．
∵矩形纸片ABCD沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴∠NDM=∠MDC．
∴∠GMD=∠NDM．
∴DG=GM
（2）四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，∠ABD=∠BDC．
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴，
∴∠EBD=∠BDF．
∴EB∥DF．
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形
（3）①所作图形如图：
②∵四边形是矩形，，，，
∴，，，．
∴．
∵矩形纸片沿折叠，点C的对应点是点N，
∴是的垂直平分线，记垂足为点O，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
同理（2）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
过E作于点G，则
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题是矩形折叠的几何综合题，考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形判定、平行四边形判定、相似三角形判定与性质等多个知识点。
（1）先由矩形的性质得到对边平行与内角为直角的结论，结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，推导线段平行关系，进而得到内错角相等；再由折叠的角平分线性质，进行角的等量代换，得到中两个底角相等，依据等角对等边即可证明；
（2）先由矩形对边平行得到内错角相等，再结合折叠的角平分线性质，推导出，依据内错角相等两直线平行，得到BE与DF平行，结合原有的DE与BF平行，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判定四边形BFDE的形状；
（3）①根据折叠的对应关系，分别作出点A、点C沿对应直线折叠后落在AC上的对应点，再连接对应线段即可补全图形；②先由折叠的对称性得到DF垂直平分CN，结合直角三角形的角的互余关系，推导角相等，证明与相似，由相似三角形的对应边成比例求出CF的长度；结合平行四边形的性质得到DE与BF的长度，进而求出AE的长度；过E作BC的垂线构造直角三角形，利用矩形的边长关系求出直角边的长度，最后用勾股定理计算出EF的长度。
23．【答案】（1）M（2t，0）；N（0，t）
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上所述，关于的函数关系式为．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；一次函数中的动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）∵点， ，
∴
∵，
∴，即
∴
动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
【分析】本题是平面直角坐标系中的动点综合题，考查平行线分线段成比例、轴对称的性质、正方形的判定与性质、相似三角形、一次函数交点求解与分段函数面积计算等知识点。
（1）先根据点P的运动速度与时间表示出OP的长度，再由PQ平行于AB，利用平行线分线段成比例的性质求出OQ的长度，得到P、Q两点的坐标；结合OC是角平分线即第一象限角平分线的特点，根据关于对称的点的坐标规律，直接写出对称点M、N的坐标；
（2）过点C分别作x轴、y轴的垂线，由角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，结合坐标轴的直角判定四边形为正方形，设正方形边长为未知数；利用平行判定三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程得到边长后即可确定C点的坐标；
（3）分情况讨论，当时，点M在线段OA上，重叠部分为，可通过两个三角形面积的和减去的面积计算重叠面积；当时，点M在OA延长线上，重叠部分为三角形，先求出直线MN与直线AB的解析式，联立方程得到交点坐标，再利用两个三角形的面积差计算重叠面积；最终综合两种情况写出分段的函数关系式。
1 / 1广东省揭阳市榕城区2026年中考数学二模试卷
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵是无限不循环小数，属于无理数，故A不符合题意；
∵是开方开不尽的数，属于无理数，故B不符合题意；
∵是开立方开不尽的数，属于无理数，故C不符合题意；
∵是分数，属于有理数，故D符合题意。
故答案为：D
【分析】本题考查有理数与无理数的概念辨析。先明确有理数和无理数的定义，有理数包含整数和分数，本质是可以表示为两个整数之比的数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含的代数式、开方开不尽的根式等。再依次判断每个选项，前三个选项分别属于含的数、开平方开不尽的数、开立方开不尽的数，均为无理数，只有分数属于有理数，由此选出答案。
2． 我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．如图，已知∠1=∠2， ∠3=60°，则∠4的度数( )
A．60° B．120° C．130° D．80°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】已知 ∠1 = ∠2，且∠1与∠2是直线c、d被直线a所截形成的同位角。
根据平行线的判定定理“同位角相等，两直线平行”，可以得出直线a ∥ b。
已知 ∠3 = 60°。观察图形，∠3与∠4是直线c、d被平行线a、b所截形成的同旁内角。
根据平行线的性质定理“两直线平行，同旁内角互补”，可得： ∠3 + ∠4 = 180° ，
因此，∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 60° =120° 。
故答案为：B。
【分析】 首先由已知条件“同位角相等”推出两条直线平行，然后利用平行线的性质（同旁内角互补）直接求出目标角的度数。
4．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、不能合并，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
6．如图是榕城区2026年5月4日到10日的天气情况，这7天中最高气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（　　）
A．22，22 B．21，22 C．23，29 D．29，29
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：先提取7天的最高气温：25，29，29，29，31，26，25。
将数据从小到大排序：25，25，26，29，29，29，31。
共7个数据，处于第4位的数是29，因此中位数为29。
数据中29出现了3次，出现次数最多，因此众数为29。
故答案为：D
【分析】本题考查统计量中中位数与众数的计算，需要从天气信息中提取最高气温数据再进行分析。先整理出所有最高气温的数值，将数据按从小到大的顺序排列，数据个数为奇数时，处于中间位置的数即为中位数；统计每个数值出现的次数，出现次数最多的数即为众数，由此得到两个统计量的结果。
7．设A（-3，y1），B（-2，y2），C（2，y3）是抛物线上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3>y2>y1 B．y1>y2>y3 C．y1>y3>y2 D．y2>y1>y3
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将抛物线解析式配方得：，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线。
开口向下的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小。
分别计算三点到对称轴的距离：
点A：，
点B：，
点C：，
∵，
∴。
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用抛物线的对称性比较函数值的大小。先将一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向与对称轴，对于开口向下的抛物线，自变量离对称轴越近，函数值越大；再分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离，通过距离的大小关系对应得到函数值的大小关系。
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AC是矩形ABCD的对角线，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使点E在线段AC上，EF交CD于点G，AF交CD于点H，则tan∠FGH的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，，
∴，即为直角三角形，
∴。
∵四边形ABCD是矩形，∴，
即，
∴（同角的余角相等）。
又∵（对顶角相等），
∴。
在中，，，
∴，
即。
故答案为：A
【分析】本题结合矩形的性质与图形旋转的变换，考查锐角三角函数的求解。核心是通过角的等量转化，将所求的转化为直角三角形中已知边长的。先根据旋转的性质得到，再根据直角三角形结合题意进行角的运算得到，进而根据矩形的性质得到，即，再进行等量代换得到，从而根据正切函数结合题意解直角三角形即可。
9．如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（　　）
A．π B．2π C． D．2π-2
【答案】C
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：
由网格可知，，，
且，
阴影部分面积可拆分为两部分：左侧扇环面积与右侧扇形减三角形的面积
左侧扇环面积：；
右侧部分面积：；
总阴影面积：
故答案为：C
【分析】本题考查网格中扇形面积的计算，通过割补法求解不规则阴影部分的面积。先根据网格边长，利用勾股定理计算出两个扇形的半径，再结合等腰直角三角形的性质确定圆心角的度数；将阴影部分拆分为两个部分分别计算，一部分是两个扇形的面积差（扇环），另一部分是扇形面积减去直角三角形的面积，最后将两部分结果相加得到阴影总面积。
10．如图，在正方形ABCD中，点M在边CB上，点N在对角线BD上，连接DM，CN，点P，Q分别为CN，DM中点，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取DC的中点E，连接PE、QE，
设，由得，即正方形边长。
由，得。
正方形对角线，因此。
∵Q、E分别是DM、DC的中点，
∴QE是的中位线，
∴，，且。
∵P、E分别是CN、DC的中点，
∴PE是的中位线，
∴，，且。
∴。
过点P作，交EQ的延长线于点H，
则为等腰直角三角形，
，
。
在中，由勾股定理得：
。
因此
故答案为：C。
【分析】本题综合考查正方形的性质、三角形中位线定理与勾股定理，通过构造中位线将分散的线段关系集中到直角三角形中求解。采用赋值法简化计算，先根据比例设出CM的长度，推导出正方形边长与相关线段的长度；取DC中点构造两条中位线，利用中位线的平行与数量关系，得到线段的长度与夹角，再通过作垂线构造直角三角形，用勾股定理计算PQ的长度，最终求出线段比值。
11．函数中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≤3且x≠1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：且，
解得：x≤3且x≠1．
故答案为：x≤3且x≠1．
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可得且，再求出x的取值范围即可。
12．一个多边形的内角和比它的外角和多540°，则这个多边形的边数是　 　.
【答案】7
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：任意多边形的外角和均为，设该多边形的边数为
多边形内角和公式为，根据题意列方程：
，
整理得，
解得，即
故答案为：7
【分析】本题考查多边形内角和公式与外角和定理的应用。任意多边形外角和恒为，内角和随边数变化，公式为；根据内角和与外角和的数量关系建立关于边数的一元一次方程，解方程即可得到多边形的边数。
13．已知代数式与是同类项，则 　 　．
【答案】
【知识点】同类项的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：，
∴．
故答案为：．
【分析】根据同类项定义"同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项"可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入所求代数式计算即可求解．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知⊙O的半径为4，∠BCD=120°，则BD=　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作于点E，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴（圆内接四边形对角互补），
∵，∴
由圆周角定理得，
∵OB=OD，OE⊥BD，
∴BE=DE（等腰三角形三线合一），
在中，，
，
∴
故答案为：
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理与垂径定理的综合应用。先利用圆内接四边形对角互补求出的度数，再由圆周角定理得到圆心角的度数；作弦心距构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，将弦长问题转化为直角三角形的边长计算，利用三角函数求出半弦长，进而得到弦BD的长度。
15．“数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏.第一步：取一个自然数n1=5，计算得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；…以此类推，则a2026=　 　.
【答案】26
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：根据题意依次计算前几项的值：
，；
，；
，；
，。
由此可发现规律：以26、65、122三个数为周期循环出现
计算，余数为1，
说明与的值相同，即
故答案为：26
【分析】本题考查数字规律的探究与周期循环问题的求解。先按照题目给定的运算规则，依次计算前几项的结果，观察数值的变化规律，找到循环周期；再用总项数除以周期长度，根据余数判断该项对应周期内的第几个数值，从而推导出第2026项的结果。
16．计算：.
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简与特殊角三角函数值多个知识点。分别计算每一项：根据负数的偶次幂为正计算乘方项，依据非零数的零次幂为1计算零指数项，按照负整数指数幂的运算法则计算负指数项，根据绝对值的代数意义化简绝对值项，代入角的正切值；将各项化简后的结果按照从左到右的顺序进行加减运算，合并同类项后得到最终结果。
17．图①、图②、图③均是4×3的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，使△ABC的顶点均在格点上．
（1）在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；
（3）在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．
【答案】（1）解：如图①，△ABC即为所求．（答案不唯一)
（2）解：如图②，△ABC即为所求．（答案不唯一)
（3）解：如图③，△ABC即为所求．（答案不唯一)
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(2)根据直角三角形的定义以及题目要求画出图形即可；
(3)作一个腰为 的等腰直角三角形即可.
18．为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的男生人数为　 　，图①中m的值为　 　；本次调查获取的样本数据的平均数为　 　，中位数为　 　.
（2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数.
【答案】（1）40；25；5.8；6
（2）（人），
答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名），
，即，
平均数为（次），
将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次，
故答案为：40，25，5.8，6
【分析】本题考查统计图表的综合应用，涵盖样本容量、扇形统计图占比、平均数、中位数计算与用样本估计总体的知识点。
（1）将条形统计图中各成绩段的人数相加得到调查总人数；用成绩为6次的人数除以总人数再乘100%得到的值；根据加权平均数的计算方法，用各成绩乘以对应人数求和后除以总人数得到平均数；将所有成绩从小到大排列，取中间两个数的平均数作为中位数；
（2）先计算样本中引体向上6次及以上的人数占总调查人数的比例，再用全校男生总人数乘以该比例，即可估计出全校该项目良好的人数。
19．育才中学准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，经市场调研得知：甲种垃圾桶每组的单价比乙种垃圾桶每组的单价多元，且用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求甲、乙两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过元的资金购买甲、乙两种垃圾桶共组，则最多可以购买甲种垃圾桶多少组？
【答案】（1）解：设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种垃圾桶每组的单价为420元，乙种垃圾桶每组的单价为300元．
（2）解：设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为．
答：最多可以购买甲种垃圾桶组．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元，再根据用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，再根据购买资金不超过元建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲种垃圾桶每组的单价为420元，乙种垃圾桶每组的单价为300元．
（2）解：设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，
依题意得：，
解得：，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为．
答：最多可以购买甲种垃圾桶组．
20．【实验操作】在如图所示的串联电路中，用一固定电压为15V的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度.已知电流I与电阻R，RL之间关系为，通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 2 3 4 n 6 …
I/A … 5
m
…
（1）填写：m=　 　，n=　 　；
（2）【探究观察】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象；②观察图象，写出该函数的一条性质；
（3）【拓展应用】结合函数图象，直接写出不等式的解集：
【答案】（1）3；5
（2）①；
②由图象可知：函数值y随x的增大而减小或函数有最大值，没有最小值等
（3）x≥4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【解答】（1）解：当时，，即；
当时，，
解得，
经检验符合题意，
∴；
（3）画一次函数函数的图象如下：
解得，，
由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，
∴不等式的解集为．
【分析】本题结合物理电路背景考查反比例型函数的探究，涵盖函数值计算、函数图象绘制、函数性质归纳与利用图象解不等式的知识点。
（1）将代入电流公式即可求出的值；将代入公式，解关于的分式方程即可得到的值，注意检验解的合理性；
（2）①根据表格中的对应值，在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接，注意自变量的取值范围，即可画出函数图象；②从函数的增减性、取值范围、变化趋势等角度观察图象，总结出一条符合图象特征的性质即可；
（3）先在同一坐标系中画出一次函数的图象，求出两个函数图象交点的横坐标，再观察反比例型函数图象在一次函数图象上方时对应的自变量取值范围，即为不等式的解集。
21．如图，在四边形ABCD中，BD=CD，∠C=∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE.
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AB=，sin∠AED=，求BE的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∴∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC为⊙O的切线．
（2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD=∠CFD=∠ABC=90°，BF=CF，
∴DF∥AB，
∵∠ABD=∠AED，AB=，
∴=sin∠ABD=sin∠AED=，
∴AD=AB=×=1，
∴，
∵∠BDF=∠ABD，
∴，
∴，
∵∠BEC=∠BAD=180°-∠BED，∠C=∠BAD，
∴∠BEC=∠C，
∴，
∴BE的长是．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】本题考查圆的切线判定与解直角三角形的综合应用，涉及等腰三角形性质、圆周角定理、圆内接四边形性质等知识点。
（1）先由等腰三角形等边对等角得到，结合已知进行等量代换，再利用直径所对的圆周角为直角，得到直角三角形中两锐角互余的关系，通过角的等量代换证明，即AB垂直于BC，结合AB是直径即可判定BC为的切线；
（2）先利用同弧所对的圆周角相等，将的正弦值转化为的正弦值，在中结合AB的长度求出AD与BD的长；过D作BC的垂线，利用平行线的角的关系，在直角三角形中求出BF的长度，再结合等腰三角形三线合一得到BC的长度；最后利用圆内接四边形的外角等于内对角，结合等边对等角推导，从而得到BE的长度。
22．综合与探究
问题情境，如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AD、BC上的动点，连接EF、BE、DF.将矩形纸片ABCD分别沿直线BE，DF折叠，点A的对应点为点M，点C的对应点为点N.
（1）操作探究：如图（1），若点F与点M重合，DN与EF交于点G，求证：DG=GM；
（2）探究发现：如图（2），当点M，N落在对角线BD上时，判断并证明四边形BFDE的形状；
（3）探究拓广：当点M、N落在对角线AC上时.
①在图（3）中补全图形；
②若AB=2，AD=3，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，
∴AB=BM，AE=EM，∠A=∠BME=90°，
∴∠ABC=∠BME=90°，
∴AB∥EM．
∴DC∥EM．
∴∠GMD=∠MDC．
∵矩形纸片ABCD沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴∠NDM=∠MDC．
∴∠GMD=∠NDM．
∴DG=GM
（2）四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，∠ABD=∠BDC．
∵矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对应点是点M，沿DF折叠，点C的对应点为点N，
∴，
∴∠EBD=∠BDF．
∴EB∥DF．
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形
（3）①所作图形如图：
②∵四边形是矩形，，，，
∴，，，．
∴．
∵矩形纸片沿折叠，点C的对应点是点N，
∴是的垂直平分线，记垂足为点O，则．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
同理（2）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∴．
过E作于点G，则
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题是矩形折叠的几何综合题，考查折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形判定、平行四边形判定、相似三角形判定与性质等多个知识点。
（1）先由矩形的性质得到对边平行与内角为直角的结论，结合折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，推导线段平行关系，进而得到内错角相等；再由折叠的角平分线性质，进行角的等量代换，得到中两个底角相等，依据等角对等边即可证明；
（2）先由矩形对边平行得到内错角相等，再结合折叠的角平分线性质，推导出，依据内错角相等两直线平行，得到BE与DF平行，结合原有的DE与BF平行，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可判定四边形BFDE的形状；
（3）①根据折叠的对应关系，分别作出点A、点C沿对应直线折叠后落在AC上的对应点，再连接对应线段即可补全图形；②先由折叠的对称性得到DF垂直平分CN，结合直角三角形的角的互余关系，推导角相等，证明与相似，由相似三角形的对应边成比例求出CF的长度；结合平行四边形的性质得到DE与BF的长度，进而求出AE的长度；过E作BC的垂线构造直角三角形，利用矩形的边长关系求出直角边的长度，最后用勾股定理计算出EF的长度。
23．如图，已知点A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B做匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作点P、Q关于直线OC的对称点M、N.设点P运动的时间为t（0＜t＜2）秒.
（1）用含t的代数式表示点M，N的坐标，M点的坐标为　 　，N点的坐标为　 　.
（2）求C点的坐标.
（3）设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数关系式.
【答案】（1）M（2t，0）；N（0，t）
（2）解：过点作轴于点，轴于点，
∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，
又∵轴于点，轴于点，
∴
∴四边形是矩形
∵
∴四边形是正方形，设正方形的边长为，
∴
轴
∴即
解得：，
∴
（3）当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为．
.
当时，如图3所示，点在的延长线上，
设与交于点，则重叠部分面积为．
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得
直线的解析式为
同理求得直线的解析式为：．
联立与，求得点的横坐标为．
．
综上所述，关于的函数关系式为．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；一次函数中的动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）∵点， ，
∴
∵，
∴，即
∴
动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，
，
．
的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线，
∴，．
【分析】本题是平面直角坐标系中的动点综合题，考查平行线分线段成比例、轴对称的性质、正方形的判定与性质、相似三角形、一次函数交点求解与分段函数面积计算等知识点。
（1）先根据点P的运动速度与时间表示出OP的长度，再由PQ平行于AB，利用平行线分线段成比例的性质求出OQ的长度，得到P、Q两点的坐标；结合OC是角平分线即第一象限角平分线的特点，根据关于对称的点的坐标规律，直接写出对称点M、N的坐标；
（2）过点C分别作x轴、y轴的垂线，由角平分线的性质得到两条垂线段长度相等，结合坐标轴的直角判定四边形为正方形，设正方形边长为未知数；利用平行判定三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程得到边长后即可确定C点的坐标；
（3）分情况讨论，当时，点M在线段OA上，重叠部分为，可通过两个三角形面积的和减去的面积计算重叠面积；当时，点M在OA延长线上，重叠部分为三角形，先求出直线MN与直线AB的解析式，联立方程得到交点坐标，再利用两个三角形的面积差计算重叠面积；最终综合两种情况写出分段的函数关系式。
1 / 1

展开更多......

收起↑