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广东省深圳市宝安区航城学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算， 1忽约等于0.0000033米，则0.0000033用科学记数法表示为 （　　）
A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣5 C．0.33×10﹣5 D．3.3×10﹣6
2．下列事件中，必然事件是（　　）
A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛
B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王
C．若a是实数，则|a|≥0
D．六边形的一个内角为120°
3．下列运算正确的是（　　）
A．x4 x3＝x7 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．x2+x2＝2x4 D．（x2）3＝x5
4．用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上（　　）
A．点G B．点D C．点E D．点F
7．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF， BG交于点A， FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°， AC平分 ∠ BAD，若设∠ADE＝x°，∠G＝y°， 则x和y之间的关系是（　　）
A．x+2y＝180 B．x﹣2y＝60 C．x﹣y＝80 D．x+y＝150
8．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”。
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是　 　 ．
10．若，则　 　．
11．如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若∠2=48°，则∠1＝ 　 　 度．
12．有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为　 　 ．
13．如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　 　 ．
14．计算：
（1）；
（2）3a3b2÷a2+b（a2b﹣3ab）．
15．先化简，再求值：[（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（2a﹣b）2﹣2ab]÷（﹣2b），其中a＝2，b＝﹣1．
16．如图，AB∥CD．
（1）利用尺规作图：过E作∠FEB，使∠FEB交直线CD于F(要求：不写作法保留作图痕迹）；
（2）试说明：∠A＝∠CFE．
17．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　 　 （精确到0.1）．
（2）估算盒子里有白球 　 　 个．
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？
18．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，ACIIDF，AC=DF，CE=BF.求证：ABIIDE·
证明：∵ ▲ （已知），
∴∠C＝∠ ▲ （两直线平行内错角相等）．
∵CE＝BF（已知），
∴CE+ ▲ ＝BF+ ▲ （等式的性质）．
即BC＝EF．
在△ABC与△DEF中，
∵， ▲
∴△ABC≌△DEF（ ）．
∴ ▲ （全等三角形对应角相等）．
∴AB∥DE（ ）．
19．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）。图（1）阴影部分面积可表示为a2-b2，图（2）中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：a2-b2=(a+b)(a-b)。
（1）【类比探究】
用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是 　 　 ．
（2）【应用】
根据 (1)所得的关系式， a+ b= 10，ab=5，则a2+b2＝　 　 ．
（3）【拓展】
若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
（4）【知识迁移】如图，某校有一块梯形空地ABCD，AC ⊥于点E，AE=DE，BE=CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，经测量种花区域的面积和为，AC=7，求种草区域的面积和。
20．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB= 5.4，AD=3. 若AC边的长度为奇数，求AC的长，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E使AD=DE，连接BE，由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC=BE.
（1）【思考发现】如图①，△EDB≌△ADC的理由是____ ；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为　 　 （写一个值即可）；
（3）【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形(求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中.
如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G，AC=BF.探究∠AFG与∠ GAF的关系，并说明理由；
（4）【深入探究】如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，F为AD的中点，连接FC并延长交BE于H， CF= 4， CH= 2， 求△BCE的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中。
对于0.0000033，左侧第一个不为0的数字是3，其前方共有6个0，因此，对应，
即。
故答案为：D
【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，核心是确定参数与指数的取值。科学记数法的标准形式要求的整数位仅有一位，据此可直接排除的A、C选项；再通过统计原数中第一个非零数字前0的总个数确定负指数的数值，0.0000033中数字3前共有6个0，对应指数为-6，即可锁定正确结果。
2．【答案】C
【知识点】事件的分类；正多边形的性质；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、打开电视体育频道时，播放的节目具有随机性，属于随机事件；
B、一副扑克牌包含多种牌面，任意抽取一张恰好是大王具有随机性，属于随机事件；
C、根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都具备非负性，恒成立，属于必然事件；
D、普通六边形的内角度数不固定，一个内角为具有随机性，属于随机事件。
故答案为：C
【分析】本题考查事件的分类，涉及必然事件、随机事件的概念辨析。解题时需结合数学性质与常识逐一判断：必然事件是对应条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。结合绝对值的非负性可直接判断C选项符合必然事件的定义，其余选项的结果均存在不确定性。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据整式运算法则逐项验证：
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A选项运算正确；
∵积的乘方需将每一项分别乘方后再相乘，
∴，B选项运算错误；
∵合并同类项时，字母与字母的指数保持不变，仅系数相加，
∴，C选项运算错误；
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴，D选项运算错误。
故答案为：A
【分析】本题考查整式的基础运算，涵盖同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方四类运算法则。解题时需逐一对应法则排查选项：同底数幂乘法是指数相加而非相乘，积的乘方要注意系数也需参与乘方，合并同类项不会改变字母的指数，幂的乘方是指数相乘，通过逐项验证即可得到正确选项。
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
5．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：银杏叶折断后，原本连接折断处两端的曲线边缘被直线段替代。根据两点之间线段最短的性质，这条直线段的长度小于原本曲线的长度，因此剩下叶片的周长更小。
故答案为：B
【分析】本题考查线段的基本性质在实际场景中的应用。折断后叶片周长减小，本质是连接折断处两端的路径由曲线变为直线段，而“两点之间，线段最短”说明连接两点的所有路径中线段长度最短，恰好对应周长变小的现象，其余选项的结论均无法解释该周长变化的原理。
6．【答案】C
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
结合网格观察可得，直线CD经过AB边的中点，直线AD经过BC边的中点，说明点D是△ABC两条中线的交点，即△ABC的重心。
故答案为：A
【分析】本题考查三角形重心的定义，解题关键是明确重心是三角形三条中线的交点。结合网格的结构特点，可先找到三角形两条边的中点，再判断过顶点与对边中点的中线经过哪个格点，两条中线的交点即为三角形的重心。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点 A 作 ，
∵，
∴。
∵，
∴，
又∵，
∴。
∵，，
∴。
∵与是对顶角，，
∴。
∵AC平分，
∴，
∴。
又∵，
代入得：，
整理得：。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义与对顶角性质的综合应用，通过作辅助平行线建立分散角之间的联系是解题核心。过点A作DE的平行线后，利用平行线的同旁内角互补、内错角相等，分别表示出与；再结合对顶角相等与角平分线的定义求出的度数，进而得到的度数；最后根据角的和差关系建立等式，化简即可得到x与y的关系式。
8．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：观察低次展开式的第三项系数规律：
的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
由此归纳可得：的第三项系数为。
当时，第三项系数为
故答案为：D
【分析】本题考查数字规律探究，结合杨辉三角的特征归纳二项展开式的系数规律。解题时先从低次展开式入手，观察第三项系数的变化特点，发现其为从1开始的连续正整数的和，且末项数值比指数小1；总结出通用规律后，将代入，利用等差数列求和公式计算即可得到结果。
9．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知，所有等可能的抽取结果共4种，即总结果数为4；
其中数字为负数的卡片是和，共2张，即符合条件的结果数为2。
根据概率公式可得：，
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，核心是掌握概率的基本计算公式。解题时先确定所有等可能的总结果数，再统计符合“抽到负数”条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到对应事件的概率。
10．【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：20．
【分析】逆用同底数幂乘法法则以及幂的乘方法则，再代入相应的值进行运算即可．
11．【答案】138
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过三角板的直角顶点A作，
∵，
∴
∵，
∴
∵三角板为直角三角板，直角为，
∴，
∴
∵，
∴
∵与互为邻补角，
∴
故答案为：138
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角板的角度特征，过直角顶点作辅助平行线拆分直角是解题的关键。作平行线后，利用平行线的内错角相等，先求出与相等的角，再结合直角求出另一个角的度数；接着再次利用平行线的内错角相等，得到的邻补角的度数，最终通过邻补角的和为计算出的度数。
12．【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为。
图甲中阴影部分为长方形，长为，宽为，因此面积为，整理得①；
图乙中，大正方形边长为，阴影部分面积为大正方形面积减去两个正方形的面积，即，
展开整理得，即②。
将②代入①得：，
解得，即正方形B的面积为6。
故答案为：6
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题核心是用边长的代数式表示出两个图中阴影部分的面积。先设两个正方形的边长，分别根据图形的面积和差关系列出两个等式，再通过代入消元的方式消去项，直接得到正方形B的面积（边长的平方）。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵E是AD的中点，
∴，，
∴，
即。
∵D是BC边上靠近C的三等分点，即，
∴同高的与的面积比等于底边长之比，即，。
设，则，，
。
已知，则，解得。
阴影部分面积和为。
故答案为：
【分析】本题考查三角形面积的比例关系，利用中线平分三角形面积、同高三角形面积比等于底边长之比是解题的关键。通过连接DF构造辅助线，先利用中点的性质，将两个阴影三角形的面积和转化为的面积；再根据三等分点得到底边的比例关系，推出三个小三角形的面积比例，结合总面积求出单份面积，最终计算出阴影部分的总面积。
14．【答案】（1）解：原式=1+4-9
=-4
（2）解：原式=3ab2+a2b2-3ab2
=a2b2
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂四类基础运算。解题时先分别计算每一项：根据负数的偶次幂为正，可得的值；根据正数的绝对值是它本身，可得的值；根据非零数的0次幂等于1，可得的值；根据负整数指数幂的运算法则，可得的值；最后按从左到右的顺序进行加减运算即可。
（2）本题考查整式的混合运算，涉及单项式除以单项式、单项式乘多项式与合并同类项。解题时先分别计算除法和乘法部分：根据单项式除以单项式的法则，系数相除、同底数幂相除，计算单项式除法项；根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，计算乘法项；再合并同类项，将同类项的系数相加、字母部分保持不变，得到最终结果。
15．【答案】解：原式=[(4a2-9b2)-(4a2-4ab+b2)-2ab]÷(-2b)
=(4a2-9b2-4a2+4ab-b2-2ab)÷(-2b)
=(2ab-10b2)÷(-2b)
=-a+5b
把a=2，b=-1代入式子
原式=-2+5×(-1)=-7
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，综合运用平方差公式、完全平方公式与多项式除以单项式法则。解题时先处理括号内的运算：利用平方差公式计算，利用完全平方公式展开，去括号时注意符号变化；接着合并括号内的同类项，将多项式化简；再根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式，得到最简结果；最后将、代入化简后的式子，计算出最终数值。
16．【答案】（1）解：作图：以点E为顶点作角FEB等于角A，射线EF交CD于点F，保留作图痕迹。
（2）解：证明：
∵∠FEB=∠A
∴EF平行AB
又∵AB平行CD
∴EF平行CD
∴∠A=∠CFE
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图——作一个角等于已知角。解题时以点E为顶点，以射线EB为其中一边，按照作一个角等于已知角的标准尺规步骤，构造出与度数相等的，使角的另一边与直线CD交于点F，保留作图痕迹即可。
（2）本题考查平行线的性质与等量代换的应用。解题时先根据，利用两直线平行、同位角相等的性质，得到与相等；再结合作图得到的的条件，通过等量代换即可推导出与相等的结论。
17．【答案】（1）0.6
（2）24
（3）解：根据题意列方程
=0.5
25=20+0.5x
0.5x=5
解得x=10
答：x的值为10。
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球（个），
故答案为：24；
【分析】（1）本题考查利用频率估计概率，核心是频率稳定性定理。解题时观察表格中随着试验次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，根据大量重复试验中频率的稳定值即为概率估计值的原理，将稳定值精确到0.1即可。
（2）本题考查概率公式的实际应用。解题时用盒子中球的总数量乘第(1)问得到的摸到白球的概率，即可估算出白球的数量。
（3）本题考查利用频率稳定值列方程求解。解题时先表示出加入个球后，球的总数量与白球的总数量；根据频率稳定在0.5可知此时摸到白球的概率约为0.5，依据概率公式列出方程，解方程即可求出的值。
18．【答案】证明：∵AC平行DF（已知）
∴∠C=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵CE=BF（已知）
∴CE+EB=BF+EB（等式的性质）
即BC=EF
在三角形ABC与三角形DEF中
AC=DF
∠C=∠F
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
∴AB平行DE（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质的综合应用，需逐步推导补全证明过程。解题第一步根据平行线的性质，由推出内错角相等，对应填写第一个条件空与第二个角的空；第二步根据等式的性质，在的两边同时加上公共线段，推导出，对应填写两个线段空；第三步结合已知的边相等、已证的角相等与边相等，依据SAS判定定理证明两个三角形全等，对应填写边的条件与判定定理；第四步根据全等三角形对应角相等的性质，得到一组内错角相等，对应填写角的等式；最后根据内错角相等两直线平行的判定定理，推出，对应填写判定依据。
19．【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab
（2）90
（3）解：设m=11-x，n=x-8
则mn=2，m+n=3
原式=m2+n2
=(m+n)2-2mn
=32-2×2
=5
（4）解：设，，
∵，
∴，
种花区域的面积和为： ，
由题意得：，即，
种草区域的面积和为： ，
∵ ，
∴，解得，
答：种草区域的面积和为12．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即，
由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为，
∴阴影部分的面积为，
∴；
（2） ．
【分析】（1）本题考查完全平方公式的几何推导，需用面积法建立等量关系。解题时第一种方法直接将阴影部分看作两个正方形的面积和，即为；第二种方法用边长为的大正方形面积，减去两个空白长方形的面积和，得到阴影部分面积；根据两种方法表示的是同一部分面积，即可建立三者的等量关系式。
（2）本题考查完全平方公式变形的代数应用。解题时直接将与代入第(1)问得到的关系式中，先计算的值，再减去，即可求出的结果。
（3）本题考查完全平方公式的换元应用，需通过整体代换简化计算。解题时设，，先计算出的值，结合已知的的值；再利用完全平方公式的变形，代入数值计算即可得到所求式子的值。
（4）本题考查完全平方公式在几何面积中的综合应用，需结合等腰直角三角形的面积公式推导。解题时先设，，根据得到；再根据种花区域是两个等腰直角三角形，用含、的式子表示出种花区域的面积和，结合已知面积求出的值；接着表示出种草区域的面积和为，利用完全平方公式建立、与的关系，代入数值计算即可求出种草区域的面积。
20．【答案】（1）B
（2）3（或5，答案不唯一）
（3）解： ，理由如下：
延长至点E使，连接，如图，
同理可证，
∴ ，，
∵．
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：延长至点G使，连接，如图，
同理可知，
∴ ， ， ，
∵，
∴，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即，则，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴的理由是B；
故答案为：B
（2）∵，
∴，，
∴ ，
在中，，
即 ，即
∵边的长度为奇数，且，
∴的长可能为1或3或5或7或9或11；
故答案为：3（或5，答案不唯一）
【分析】（1）本题考查全等三角形的判定定理，需结合倍长中线的作图条件分析。解题时先根据中线的定义得到，由作图得到，再结合对顶角相等得到；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等的判定定理，即可确定对应的全等依据。
（2）本题考查三角形三边关系与全等三角形性质的综合应用。解题时先由全等三角形的性质得到，并求出的长度；再在中，根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的三边关系，求出的取值范围，即的取值范围；最后结合为奇数的条件，写出范围内任意一个奇数即可。
（3）本题考查倍长中线法的应用，需通过构造全等三角形转化边与角的关系。解题时沿用倍长中线的思路，延长至点E使并连接，先证明，得到且；再结合的条件推导出，根据等边对等角得到；最后利用对顶角相等进行等量代换，即可推导出与的数量关系。
（4）本题考查倍长中线法与全等三角形的综合应用，需结合直角三角形的性质求面积。解题时先延长至点G使并连接，利用中点条件证明，得到边与角的等量关系；再通过角的推导证明，结合已知的等边条件，证明，得到且对应角相等；接着通过角的代换证明，即是中边上的高；最后求出的长度，利用三角形面积公式计算即可得到的面积。
1 / 1广东省深圳市宝安区航城学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算， 1忽约等于0.0000033米，则0.0000033用科学记数法表示为 （　　）
A．0.33×10﹣6 B．3.3×10﹣5 C．0.33×10﹣5 D．3.3×10﹣6
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中。
对于0.0000033，左侧第一个不为0的数字是3，其前方共有6个0，因此，对应，
即。
故答案为：D
【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，核心是确定参数与指数的取值。科学记数法的标准形式要求的整数位仅有一位，据此可直接排除的A、C选项；再通过统计原数中第一个非零数字前0的总个数确定负指数的数值，0.0000033中数字3前共有6个0，对应指数为-6，即可锁定正确结果。
2．下列事件中，必然事件是（　　）
A．打开电视体育频道，正在播放世界杯决赛
B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王
C．若a是实数，则|a|≥0
D．六边形的一个内角为120°
【答案】C
【知识点】事件的分类；正多边形的性质；实数的绝对值
【解析】【解答】解：A、打开电视体育频道时，播放的节目具有随机性，属于随机事件；
B、一副扑克牌包含多种牌面，任意抽取一张恰好是大王具有随机性，属于随机事件；
C、根据绝对值的性质，任意实数的绝对值都具备非负性，恒成立，属于必然事件；
D、普通六边形的内角度数不固定，一个内角为具有随机性，属于随机事件。
故答案为：C
【分析】本题考查事件的分类，涉及必然事件、随机事件的概念辨析。解题时需结合数学性质与常识逐一判断：必然事件是对应条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件。结合绝对值的非负性可直接判断C选项符合必然事件的定义，其余选项的结果均存在不确定性。
3．下列运算正确的是（　　）
A．x4 x3＝x7 B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．x2+x2＝2x4 D．（x2）3＝x5
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：根据整式运算法则逐项验证：
∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，A选项运算正确；
∵积的乘方需将每一项分别乘方后再相乘，
∴，B选项运算错误；
∵合并同类项时，字母与字母的指数保持不变，仅系数相加，
∴，C选项运算错误；
∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，
∴，D选项运算错误。
故答案为：A
【分析】本题考查整式的基础运算，涵盖同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方四类运算法则。解题时需逐一对应法则排查选项：同底数幂乘法是指数相加而非相乘，积的乘方要注意系数也需参与乘方，合并同类项不会改变字母的指数，幂的乘方是指数相乘，通过逐项验证即可得到正确选项。
4．用直角三角板作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：A、B、D都不是高线，故错误；
C是高线，故正确.
故答案为：C.
【分析】从三角形一个端点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之间的线段称三角形这条边上的高.
5．金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短 D．经过一点有无数条直线
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：银杏叶折断后，原本连接折断处两端的曲线边缘被直线段替代。根据两点之间线段最短的性质，这条直线段的长度小于原本曲线的长度，因此剩下叶片的周长更小。
故答案为：B
【分析】本题考查线段的基本性质在实际场景中的应用。折断后叶片周长减小，本质是连接折断处两端的路径由曲线变为直线段，而“两点之间，线段最短”说明连接两点的所有路径中线段长度最短，恰好对应周长变小的现象，其余选项的结论均无法解释该周长变化的原理。
6．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G均在小正方形的顶点上（　　）
A．点G B．点D C．点E D．点F
【答案】C
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
结合网格观察可得，直线CD经过AB边的中点，直线AD经过BC边的中点，说明点D是△ABC两条中线的交点，即△ABC的重心。
故答案为：A
【分析】本题考查三角形重心的定义，解题关键是明确重心是三角形三条中线的交点。结合网格的结构特点，可先找到三角形两条边的中点，再判断过顶点与对边中点的中线经过哪个格点，两条中线的交点即为三角形的重心。
7．小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，CF， BG交于点A， FG∥DE∥BC，∠FAG＝40°， AC平分 ∠ BAD，若设∠ADE＝x°，∠G＝y°， 则x和y之间的关系是（　　）
A．x+2y＝180 B．x﹣2y＝60 C．x﹣y＝80 D．x+y＝150
【答案】C
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：过点 A 作 ，
∵，
∴。
∵，
∴，
又∵，
∴。
∵，，
∴。
∵与是对顶角，，
∴。
∵AC平分，
∴，
∴。
又∵，
代入得：，
整理得：。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线定义与对顶角性质的综合应用，通过作辅助平行线建立分散角之间的联系是解题核心。过点A作DE的平行线后，利用平行线的同旁内角互补、内错角相等，分别表示出与；再结合对顶角相等与角平分线的定义求出的度数，进而得到的度数；最后根据角的和差关系建立等式，化简即可得到x与y的关系式。
8．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约 13 世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为 “杨辉三角”。
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（　　）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：观察低次展开式的第三项系数规律：
的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
由此归纳可得：的第三项系数为。
当时，第三项系数为
故答案为：D
【分析】本题考查数字规律探究，结合杨辉三角的特征归纳二项展开式的系数规律。解题时先从低次展开式入手，观察第三项系数的变化特点，发现其为从1开始的连续正整数的和，且末项数值比指数小1；总结出通用规律后，将代入，利用等差数列求和公式计算即可得到结果。
9．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是　 　 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可知，所有等可能的抽取结果共4种，即总结果数为4；
其中数字为负数的卡片是和，共2张，即符合条件的结果数为2。
根据概率公式可得：，
故答案为：
【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，核心是掌握概率的基本计算公式。解题时先确定所有等可能的总结果数，再统计符合“抽到负数”条件的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数，即可得到对应事件的概率。
10．若，则　 　．
【答案】20
【知识点】同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：20．
【分析】逆用同底数幂乘法法则以及幂的乘方法则，再代入相应的值进行运算即可．
11．如图，将一块直角三角板按上述方式放置在平行线a，b之间，若∠2=48°，则∠1＝ 　 　 度．
【答案】138
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过三角板的直角顶点A作，
∵，
∴
∵，
∴
∵三角板为直角三角板，直角为，
∴，
∴
∵，
∴
∵与互为邻补角，
∴
故答案为：138
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角板的角度特征，过直角顶点作辅助平行线拆分直角是解题的关键。作平行线后，利用平行线的内错角相等，先求出与相等的角，再结合直角求出另一个角的度数；接着再次利用平行线的内错角相等，得到的邻补角的度数，最终通过邻补角的和为计算出的度数。
12．有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的长方形得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为10和32，则正方形B的面积为　 　 ．
【答案】6
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为。
图甲中阴影部分为长方形，长为，宽为，因此面积为，整理得①；
图乙中，大正方形边长为，阴影部分面积为大正方形面积减去两个正方形的面积，即，
展开整理得，即②。
将②代入①得：，
解得，即正方形B的面积为6。
故答案为：6
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题核心是用边长的代数式表示出两个图中阴影部分的面积。先设两个正方形的边长，分别根据图形的面积和差关系列出两个等式，再通过代入消元的方式消去项，直接得到正方形B的面积（边长的平方）。
13．如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　 　 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵E是AD的中点，
∴，，
∴，
即。
∵D是BC边上靠近C的三等分点，即，
∴同高的与的面积比等于底边长之比，即，。
设，则，，
。
已知，则，解得。
阴影部分面积和为。
故答案为：
【分析】本题考查三角形面积的比例关系，利用中线平分三角形面积、同高三角形面积比等于底边长之比是解题的关键。通过连接DF构造辅助线，先利用中点的性质，将两个阴影三角形的面积和转化为的面积；再根据三等分点得到底边的比例关系，推出三个小三角形的面积比例，结合总面积求出单份面积，最终计算出阴影部分的总面积。
14．计算：
（1）；
（2）3a3b2÷a2+b（a2b﹣3ab）．
【答案】（1）解：原式=1+4-9
=-4
（2）解：原式=3ab2+a2b2-3ab2
=a2b2
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涵盖有理数乘方、绝对值、零指数幂、负整数指数幂四类基础运算。解题时先分别计算每一项：根据负数的偶次幂为正，可得的值；根据正数的绝对值是它本身，可得的值；根据非零数的0次幂等于1，可得的值；根据负整数指数幂的运算法则，可得的值；最后按从左到右的顺序进行加减运算即可。
（2）本题考查整式的混合运算，涉及单项式除以单项式、单项式乘多项式与合并同类项。解题时先分别计算除法和乘法部分：根据单项式除以单项式的法则，系数相除、同底数幂相除，计算单项式除法项；根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，计算乘法项；再合并同类项，将同类项的系数相加、字母部分保持不变，得到最终结果。
15．先化简，再求值：[（2a+3b）（2a﹣3b）﹣（2a﹣b）2﹣2ab]÷（﹣2b），其中a＝2，b＝﹣1．
【答案】解：原式=[(4a2-9b2)-(4a2-4ab+b2)-2ab]÷(-2b)
=(4a2-9b2-4a2+4ab-b2-2ab)÷(-2b)
=(2ab-10b2)÷(-2b)
=-a+5b
把a=2，b=-1代入式子
原式=-2+5×(-1)=-7
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，综合运用平方差公式、完全平方公式与多项式除以单项式法则。解题时先处理括号内的运算：利用平方差公式计算，利用完全平方公式展开，去括号时注意符号变化；接着合并括号内的同类项，将多项式化简；再根据多项式除以单项式的法则，用多项式的每一项分别除以单项式，得到最简结果；最后将、代入化简后的式子，计算出最终数值。
16．如图，AB∥CD．
（1）利用尺规作图：过E作∠FEB，使∠FEB交直线CD于F(要求：不写作法保留作图痕迹）；
（2）试说明：∠A＝∠CFE．
【答案】（1）解：作图：以点E为顶点作角FEB等于角A，射线EF交CD于点F，保留作图痕迹。
（2）解：证明：
∵∠FEB=∠A
∴EF平行AB
又∵AB平行CD
∴EF平行CD
∴∠A=∠CFE
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）本题考查尺规作图——作一个角等于已知角。解题时以点E为顶点，以射线EB为其中一边，按照作一个角等于已知角的标准尺规步骤，构造出与度数相等的，使角的另一边与直线CD交于点F，保留作图痕迹即可。
（2）本题考查平行线的性质与等量代换的应用。解题时先根据，利用两直线平行、同位角相等的性质，得到与相等；再结合作图得到的的条件，通过等量代换即可推导出与相等的结论。
17．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806
摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602
（1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　 　 （精确到0.1）．
（2）估算盒子里有白球 　 　 个．
（3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？
【答案】（1）0.6
（2）24
（3）解：根据题意列方程
=0.5
25=20+0.5x
0.5x=5
解得x=10
答：x的值为10。
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6；
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球（个），
故答案为：24；
【分析】（1）本题考查利用频率估计概率，核心是频率稳定性定理。解题时观察表格中随着试验次数增加，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，根据大量重复试验中频率的稳定值即为概率估计值的原理，将稳定值精确到0.1即可。
（2）本题考查概率公式的实际应用。解题时用盒子中球的总数量乘第(1)问得到的摸到白球的概率，即可估算出白球的数量。
（3）本题考查利用频率稳定值列方程求解。解题时先表示出加入个球后，球的总数量与白球的总数量；根据频率稳定在0.5可知此时摸到白球的概率约为0.5，依据概率公式列出方程，解方程即可求出的值。
18．已知：如图点C，E，B，F在同一直线上，ACIIDF，AC=DF，CE=BF.求证：ABIIDE·
证明：∵ ▲ （已知），
∴∠C＝∠ ▲ （两直线平行内错角相等）．
∵CE＝BF（已知），
∴CE+ ▲ ＝BF+ ▲ （等式的性质）．
即BC＝EF．
在△ABC与△DEF中，
∵， ▲
∴△ABC≌△DEF（ ）．
∴ ▲ （全等三角形对应角相等）．
∴AB∥DE（ ）．
【答案】证明：∵AC平行DF（已知）
∴∠C=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵CE=BF（已知）
∴CE+EB=BF+EB（等式的性质）
即BC=EF
在三角形ABC与三角形DEF中
AC=DF
∠C=∠F
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ABC=∠DEF（全等三角形对应角相等）
∴AB平行DE（内错角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质的综合应用，需逐步推导补全证明过程。解题第一步根据平行线的性质，由推出内错角相等，对应填写第一个条件空与第二个角的空；第二步根据等式的性质，在的两边同时加上公共线段，推导出，对应填写两个线段空；第三步结合已知的边相等、已证的角相等与边相等，依据SAS判定定理证明两个三角形全等，对应填写边的条件与判定定理；第四步根据全等三角形对应角相等的性质，得到一组内错角相等，对应填写角的等式；最后根据内错角相等两直线平行的判定定理，推出，对应填写判定依据。
19．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释。【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）。图（1）阴影部分面积可表示为a2-b2，图（2）中阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b)，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：a2-b2=(a+b)(a-b)。
（1）【类比探究】
用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积a2+b2、（a+b）2、ab的等量关系式是 　 　 ．
（2）【应用】
根据 (1)所得的关系式， a+ b= 10，ab=5，则a2+b2＝　 　 ．
（3）【拓展】
若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
（4）【知识迁移】如图，某校有一块梯形空地ABCD，AC ⊥于点E，AE=DE，BE=CE，该校计划在△AED和△BEC区域内种花，经测量种花区域的面积和为，AC=7，求种草区域的面积和。
【答案】（1）a2+b2=(a+b)2-2ab
（2）90
（3）解：设m=11-x，n=x-8
则mn=2，m+n=3
原式=m2+n2
=(m+n)2-2mn
=32-2×2
=5
（4）解：设，，
∵，
∴，
种花区域的面积和为： ，
由题意得：，即，
种草区域的面积和为： ，
∵ ，
∴，解得，
答：种草区域的面积和为12．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即，
由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为，
∴阴影部分的面积为，
∴；
（2） ．
【分析】（1）本题考查完全平方公式的几何推导，需用面积法建立等量关系。解题时第一种方法直接将阴影部分看作两个正方形的面积和，即为；第二种方法用边长为的大正方形面积，减去两个空白长方形的面积和，得到阴影部分面积；根据两种方法表示的是同一部分面积，即可建立三者的等量关系式。
（2）本题考查完全平方公式变形的代数应用。解题时直接将与代入第(1)问得到的关系式中，先计算的值，再减去，即可求出的结果。
（3）本题考查完全平方公式的换元应用，需通过整体代换简化计算。解题时设，，先计算出的值，结合已知的的值；再利用完全平方公式的变形，代入数值计算即可得到所求式子的值。
（4）本题考查完全平方公式在几何面积中的综合应用，需结合等腰直角三角形的面积公式推导。解题时先设，，根据得到；再根据种花区域是两个等腰直角三角形，用含、的式子表示出种花区域的面积和，结合已知面积求出的值；接着表示出种草区域的面积和为，利用完全平方公式建立、与的关系，代入数值计算即可求出种草区域的面积。
20．【提出问题】数学课上老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB= 5.4，AD=3. 若AC边的长度为奇数，求AC的长，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E使AD=DE，连接BE，由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC=BE.
（1）【思考发现】如图①，△EDB≌△ADC的理由是____ ；
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
（2）请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为　 　 （写一个值即可）；
（3）【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形(求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中.
如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G，AC=BF.探究∠AFG与∠ GAF的关系，并说明理由；
（4）【深入探究】如图③，在△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，F为AD的中点，连接FC并延长交BE于H， CF= 4， CH= 2， 求△BCE的面积.
【答案】（1）B
（2）3（或5，答案不唯一）
（3）解： ，理由如下：
延长至点E使，连接，如图，
同理可证，
∴ ，，
∵．
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：延长至点G使，连接，如图，
同理可知，
∴ ， ， ，
∵，
∴，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
在与中，
，
∴，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即，则，
∴ ．
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴的理由是B；
故答案为：B
（2）∵，
∴，，
∴ ，
在中，，
即 ，即
∵边的长度为奇数，且，
∴的长可能为1或3或5或7或9或11；
故答案为：3（或5，答案不唯一）
【分析】（1）本题考查全等三角形的判定定理，需结合倍长中线的作图条件分析。解题时先根据中线的定义得到，由作图得到，再结合对顶角相等得到；根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等的判定定理，即可确定对应的全等依据。
（2）本题考查三角形三边关系与全等三角形性质的综合应用。解题时先由全等三角形的性质得到，并求出的长度；再在中，根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的三边关系，求出的取值范围，即的取值范围；最后结合为奇数的条件，写出范围内任意一个奇数即可。
（3）本题考查倍长中线法的应用，需通过构造全等三角形转化边与角的关系。解题时沿用倍长中线的思路，延长至点E使并连接，先证明，得到且；再结合的条件推导出，根据等边对等角得到；最后利用对顶角相等进行等量代换，即可推导出与的数量关系。
（4）本题考查倍长中线法与全等三角形的综合应用，需结合直角三角形的性质求面积。解题时先延长至点G使并连接，利用中点条件证明，得到边与角的等量关系；再通过角的推导证明，结合已知的等边条件，证明，得到且对应角相等；接着通过角的代换证明，即是中边上的高；最后求出的长度，利用三角形面积公式计算即可得到的面积。
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