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广东深圳市外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学期中试卷
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下面是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．DeepSeek B．ChatGPT
C．文心一言 D．纳米AI
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图是轴对称图形，∴C符合题意；
D、∵此图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰.数据23万用科学记数法表示为（　　）
A．23×104 B．2.3×104 C．2.3×105 D．0.23×106
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：23万=230000= 2.3×105 ，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
4．数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70°，请你帮忙算一算，∠3的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；铅笔头模型；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】 解：过点C作CG∥MN，
∵∠B=30°，∠1=70°，
∴∠BEN=40°，
∵DK∥MN，
∴CG∥MN∥DK，
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠ACG=90°-∠BCG=50°，
故答案为：D.
【分析】 由三角形外角的定义及性质计算∠BEN=40°，由平行线的性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，即可得解．
5． 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少 设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】 设有x人，y辆车，根据“ 若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行 ”列出方程组即可.
7．平行透视是绘画中的基本技法.如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB=9，A'B'=5，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】 解：∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'是位似图形，
∴A'B'∥AB，
∴△A'OB'∽△AOB，
∴==，
∴=，
故答案为：A.
【分析】 根据位似图形的概念得到A'B'∥AB，证明△A'OB'∽△AOB，再根据相似三角形的性质解答即可．
8．如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1
则∠QEP=∠CFP=90°
∵∠QPC=90°
∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°
∴∠EQP=∠FPC
由旋转可得，PC=PQ
∴△QPE≌△PCF(AAS)
∴EQ=PF
∵PF≤PC
∴EQ≤PC
∴AP+PF≤AP+PC≤AC
即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AP1=CD=AB=1
∴
∴EQ的值最大为
∴△APQ的最大面积为
故答案为：C
【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
9．已知x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，则8a+2b+2015=　 　.
【答案】2025
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得：2a×（-2）-b+5=0，
∴4a+b=5，
∴原式=2（4a+b）+2015=2×5+2015=2025．
故答案为：2025．
【分析】将x=-2代入原方程，可得出4a+b=5，再将其代入原式=2（4a+b）+2015中，即可求出结论．
10．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较；一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设表示的数为，
根据题意，得：，
解得：，
∴表示的数是．
故答案为：．
【解答】设表示的数为，根据数轴上两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
11．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：
则BH⊥CD，
∴∠BGD=∠BHF=90°，
由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，
∴BH=BG+GH=12m，
∵CD=3m，
∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，
∵∠DBG=∠FBH，
∴△BDG∽△BFH，
∴，
∴，
解得：FH=8.4，
∴EF=FH+EH=10m，
∴大树的高度EF为10m，
故答案为：10.
【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得，进而即可得出结论.
12．如图，正比例函数y=ax（a>0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点.当时，则k　 　.
【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】 解：如图，作AF⊥x轴，垂足为F，AE⊥y轴，垂足为E，
∵正比例函数y=ax（a＞0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴OA=OB，
∴S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，
∵AC=2AD，S△BCD=18，
∴S△ABD=S△BCD=×18=6，S△ABC=S△BCD=×8=12，
∴S△AOD=S△BOD=3，S△BOC=S△AOC=6，
∴S△COD=3+6=9，
∵==，==，
∴S△ADE=1，S△AFC=4，
∴S矩形OFAE=S△COD-S△ADE-S△AFE=9-1-4=4．
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=4．
故答案为：4．
【分析】 作AF⊥x轴，垂足为F，AE⊥y轴，垂足为E，根据题意可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△ABD=6，利用比例关系得到△AED和△AFC面积，最后S矩形OFAE=S△COD-S△ADE-S△AFE代入数据计算即可．
13．如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，将△CBE沿直线CE翻折得到，连接DF并延长交CE的延长线于点P，连接PA、PB.若AE=2BE，AD=3，则BP=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AC，作CQ⊥PD于点Q，
则∠PQC=∠DQC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AD=3，
∴AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴CA==CD=，∠ACD=∠CAD=45°，
由翻折得FC=BC，∠FCE=∠BCE=∠BCF，
∴FC=DC，
∴∠FCQ=∠DCQ=∠DCF，
∴∠PCQ=∠FCE+∠FCQ=（∠BCF+∠DCF）=∠BCD=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=QC，
∴PC==QC，
∴==，∠ACP=∠DCQ=45°-∠ACQ，
∴△ACP∽△DCQ，
∴∠APC=∠DQC=90°，
∵AE=2BE，
∴2BE+BE=3，
∴BE=1，
∴CE===，
∵∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB，
∴△AEP∽△CEB，
∴，
∴，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴BP===，
故答案为：．
【分析】 连接AC，作CQ⊥PD于点Q，由正方形的性质得AB=AD=CD=BC=3，求得CA=CD=，∠ACD=∠CAD=45°，由翻折得FC=BC，∠FCE=∠BCE=∠BCF，所以FC=DC，则∠FCQ=∠DCQ=∠DCF，求得∠PCQ=45°，推导出PQ=QC，则PC=QC，可证明△ACP∽△DCQ，得∠APC=∠DQC=90°，由AE=2BE，求得BE=1，则CE=，再证明△AEP∽△CEB，得，再证明△PEB∽△AEC，得，求得BP===，从而得解.
14．计算：；
【答案】解：
=1+1-3+3-2×
=1+1-3+3-1
=1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
15．先化简，再求值；，其中．
【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
16．今年某校为确保学生安全，开展防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示），共分成四组：
A组80≤x<85；B组85≤x<90；C组90≤x<95；D组95≤x≤100；
下面给出部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下：
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a=　 　，b=　 　，c=　 　：
（2）根据以上数据，你认为该校七，八年级中年级学生掌握防溺水安全知识的较好 请说明理由（从三个角度分析）；
（3）若该校七，八年级共720人参加此次知识竞赛，试估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少
【答案】（1）40；94；99
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下：
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93
（3）∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，
∴6+7=13（人），
（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）a=（1-20%-10%-）×100=40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b==94，
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c=99；
故答案为：40，94，99.
【分析】 （1）根据中位数、众数的定义和扇形统计图即可得出答案；
（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级即可得出结论；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
17．
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利.
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架.
问题解决
⑴任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地
⑵任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低 并求出最低成本.
【答案】解：⑴设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，
由题意得：
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2=8+2=10，
答：A种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B种型号无人机平均每小时喷洒10公顷地；
⑵设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，
由题意得：8m+10（20-m）≥180，
解得：m≤10，
∵A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架，
∴m取最大值时，总成本最低，
∴m=10，
∴20-m=20-10=10，
最低成本为：10×5+10×6=110（万元），
答：购买A型无人机10架，购买B型无人机10架，才能使总成本最低，最低成本为110万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，根据公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式，再根据总成本最低，即可得出结果．
18．已知：点P是⊙O外一点.
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为点A、B.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点C在⊙O上（点C不与A、B两点重合），且∠APB=40°，则∠ACB的度数为　 　°.
【答案】（1）解：（1）如图PA，PB即为所求.
（2）70或110
【知识点】切线的性质；切线长定理；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【解答】 解：（1）如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，
再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB．
由圆周角定理可得，∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB为⊙O的切线．
则PA，PB即为所求．
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．
当点C在优弧AB上时，
∠ACB=AOB=70°．
当点C在劣弧AB上时，
∠ACB=180°-AOB=110°．
综上所述，∠ACB的度数为70°或110°．
故答案为：70或110．
【分析】 （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可．
（2）连接OA，OB，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，则可得∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，结合圆周角定理、内接四边形的性质可得答案．
19．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据.
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上）
①v与t之间的关系可以近似地用　 　函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
②y与t之间的关系可以近似地用　 　函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
（2）【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证.
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动.当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为　 　cm.
【答案】（1）一次；二次
（2）设v=kt+m，
将t=0，v=12；t=4，v=10代入v=kt+m，得，
解得
验证：当t=8时，与表格中的数据一致：
设
将t=0，y=0；t=4，y=44；t=8，y=80代入.得，
解得，
验证：当t=12时，与表格中的数据一致.
（3）55
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用
【解析】【解答】 解：【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【检验】求v与t的函数关系式：
设v=kt+b，把t=0，v=12和t=4，v=10代入，
可得，
解得，
所以v=-0.5t+12，
验证：当t=8时，v=-0.5×8+12=8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y=at2+bt+c，把t=0，y=0，t=4，y=44，t=8，y=80代入，
可得
解得：
∴y=-0.25t2+12t，
验证：当t=12时，y=-0.25×144+12×12=108，与表格数据一致；
【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y=s+3t（s为AB的距离），
由y=-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t=s+3t，
整理得s=-0.25t2+9t，
对于二次函数s=-0.25t2+9t，a=-0.25＜0，
其最大值在t=18时取得，
把t=18代入s=-0.25t2+9t，得s=81，
所以AB的最大值是81cm.
【分析】 （猜想）利用描点法解答即可；
（检验）利用待定系数法解答即可；
（应用）根据追及关系列方程，结合二次函数性质，得AB最大值为81cm.
20．【定义】
若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，则称四边形ABCD是“卓越四边形”。
（1）【性质】
如图2，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边上一点，当四边形AECD为“卓越四边形”时，求CE的长度.
（2）【判定】
如图3，在矩形ABCD中，点E是线段CD上靠近点D的四等分点，点F是AD边上一点，CF与BE交于点O，若满足请你判断四边形BFEC是否为“卓越四边形”，并说明理由.
（3）【应用】
如图4，将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转至正方形A'BC'D'，若以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点O，则OB的长是　 　.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD∥BC，AD=4，
∴△ADO∽△CEO，
∵当四边形AECD为“卓越四边形”时，
，或者
当时，即
∴CE=2（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
同理，当时，CE=2；
综上，CE=2.
（2）四边形BFEC是“卓越四边形”；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠ADC=∠A=90°，
∵，
∴，
设DE=3a，则DF=10a，
∵点E是线段CD上靠近点D的四等分点，
∴，
∴CE=9a，
∴CD=12a，
∴AB=12a，
∵，
∴BC=15a，
∴AD=BC=15a，
∴AF=5a，
如图3，延长AD、BE，相交于点M，
∵AD∥BC，
∴△DEM∽△CEB，
∴，
∴，
∴FM=FD+DM=10a+5a=15a，
∵AD∥BC，
∴△FMO∽△CBO，
∴，
∴MO=BO，
∵，
设ME=b，则BE=3b，
∴BM=4b，
∴，
∴EO=MO-ME=2b-b=b，
∴，
∴，
∴四边形BFEC是“卓越四边形”；
（3）4或或4或2+2
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 解：（3）∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠DAB=90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
当0＜θ＜45°时，
∵以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，
∴DO=BD或C'O=AC'，
当DO=BD时，DO=×=，此时BO=BD-DO=；
当C'O=AC'时，过B作BH⊥AC'交AC'于点H，过点C'作C'J⊥AD于点J，过点C'作C'M⊥AB于点M，设C'M交BD于点N，如图4，
∵∠DAB=∠C'MB=90°，
∴AD∥C'M，
∴△ADO∽△C'NO，
∴，
∴C'N=3，
设C'O=c，则AC'=3c，AO=2c，
∵将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至正方形A'BC'D'，
∴AB=BC'=BC=6，
∵BH⊥AC'，
∴AH=C'H=AC'=c，
∵∠AHB=∠AJC'=90°，
∴∠BAH+∠JAH=∠JAH+∠JC'A=90°，
∴∠BAH=∠JC'A，
∴△BAH∽△AC'J，
∴，
∴，
∴C'J=，
∵∠C'MA=∠BAD=∠AJC'=90°，
∴四边形AMC'J是矩形，
∴AM=C'J=，
∴BM=AB-AM=6-，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
∵AD∥C'M，
∴∠MNB=∠ADB=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=MB=6-，
∴MC'=MN+C'N=6-+3=9-，
在直角三角形BC'M中，由勾股定理得：C'B2-BM2=C'M2，
∴，
解得：，
当时，MN=MB=6-=6-×（）<0，不合题意，舍去；
当时，MN=MB=6-=6-×（）=，
在直角三角形BMN中，由勾股定理得：BN=，
∴DN=BD-BN=，
∴ON=DN=×，
∴BO=BN+ON=；
当90°＜θ＜180°时，作C'L⊥AB于点L，如图5，
∵以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，
∴AO=AB或C'O=C'D，
当AO=AB时，AO=×6=2，此时BO=6-AO=6-2=4；
当C'O=C'D时，
∵∠DAB=∠C'LA=90°，
∴AD∥C'L，
∴△ADO∽△LC'O，
∴，
∵AD=6，
∴C'L=3，
在直角三角形BC'L中，BC'=6，∠C'LB=90°，
由勾股定理得：BL=，
∴AL=AB-BL=6-，
∴LO=AL=（6-）=2-，
∴BO=BL+LO=+2-=2+；
综上所述，BO的长度为或或4或，
故答案为：或或4或．
【分析】
（1）先证明△ADO∽△CEO，得到，结合四边形AECD为“卓越四边形”时，CO=AC或者EO=DE，即可得出答案；
（2）结合矩形的性质∠ADC=∠A=90°，AB=CD，AD∥BC，设DE=3a，DF=10a，结合点E是线段CD上靠近点D的四等分点，CE=9a，CD=12a，AB=12a，接着通过，得到BC=15a，如图3，延长AD、BE，相交于点M，接着证明△DEM∽△CEB，△FMO∽△CBO，推出MO=BO，不妨设ME=b，BE=3b，那么BM=4b，MO=BO=BM=2b，推出EO=b，EO=EB，从而推出四边形BFEC是“卓越四边形”；
（3）当0＜θ＜45°时，分成DO=BD或C'O=AC'，过B作BH⊥AC'交AC'于点H，过点C'作C'J⊥AD于点J，过点C'作C'M⊥AB于点M，设C'M交BD于点N，分别讨论即可得出答案；当90°＜θ＜180°时，作C'L⊥AB于点L，AO=AB或C'O=C'D，分别讨论即可得出答案．
1 / 1广东深圳市外国语学校2025-2026学年九年级下学期数学期中试卷
1．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下面是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．DeepSeek B．ChatGPT
C．文心一言 D．纳米AI
2．数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰.数据23万用科学记数法表示为（　　）
A．23×104 B．2.3×104 C．2.3×105 D．0.23×106
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成∠1，∠2，∠3（如图2），其中∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，小慧用量角器测得∠1=70°，请你帮忙算一算，∠3的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5． 关于抛物线y＝-x2+6x-7，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝-3
C．与y轴的交点坐标是（0，7） D．顶点坐标是（3，2）
6．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步.问人与车各几何 ”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少 设有x人，y辆车，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．平行透视是绘画中的基本技法.如图，点O是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'的位似中心，若AB=9，A'B'=5，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
9．已知x=-2是关于x的方程2ax-b+5=0的解，则8a+2b+2015=　 　.
10．已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是　 　．
11．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．
12．如图，正比例函数y=ax（a>0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点.当时，则k　 　.
13．如图，点E是正方形ABCD边AB上的一点，将△CBE沿直线CE翻折得到，连接DF并延长交CE的延长线于点P，连接PA、PB.若AE=2BE，AD=3，则BP=　 　.
14．计算：；
15．先化简，再求值；，其中．
16．今年某校为确保学生安全，开展防溺水安全知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示），共分成四组：
A组80≤x<85；B组85≤x<90；C组90≤x<95；D组95≤x≤100；
下面给出部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82；八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表如下：
年级 七年级 八年级
平均数 92 92
中位数 93 b
众数 c 100
方差 52 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a=　 　，b=　 　，c=　 　：
（2）根据以上数据，你认为该校七，八年级中年级学生掌握防溺水安全知识的较好 请说明理由（从三个角度分析）；
（3）若该校七，八年级共720人参加此次知识竞赛，试估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少
17．
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利.
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等.
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架.
问题解决
⑴任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地
⑵任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低 并求出最低成本.
18．已知：点P是⊙O外一点.
（1）尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为点A、B.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点C在⊙O上（点C不与A、B两点重合），且∠APB=40°，则∠ACB的度数为　 　°.
19．在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究.先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据.
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上）
①v与t之间的关系可以近似地用　 　函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
②y与t之间的关系可以近似地用　 　函数表示.（填：“一次”、“二次”或“反比例”）
（2）【检验】直接写出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证.
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以4cm/s的速度向前匀速直线运动.当t=10时，弹珠刚好追上小车，则A，B两点间的距离为　 　cm.
20．【定义】
若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”。
如图1，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，则称四边形ABCD是“卓越四边形”。
（1）【性质】
如图2，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边上一点，当四边形AECD为“卓越四边形”时，求CE的长度.
（2）【判定】
如图3，在矩形ABCD中，点E是线段CD上靠近点D的四等分点，点F是AD边上一点，CF与BE交于点O，若满足请你判断四边形BFEC是否为“卓越四边形”，并说明理由.
（3）【应用】
如图4，将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转至正方形A'BC'D'，若以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点O，则OB的长是　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵此图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵此图是轴对称图形，∴C符合题意；
D、∵此图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：23万=230000= 2.3×105 ，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；铅笔头模型；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】 解：过点C作CG∥MN，
∵∠B=30°，∠1=70°，
∴∠BEN=40°，
∵DK∥MN，
∴CG∥MN∥DK，
∴∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠ACG=90°-∠BCG=50°，
故答案为：D.
【分析】 由三角形外角的定义及性质计算∠BEN=40°，由平行线的性质可得∠3=∠ACG，∠BCG=∠2=∠BEN=40°，即可得解．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y= -x2+6x-7=-(x -3)2+2，
∴该函数图象开口向下，故A错误，
∴对称轴为直线x=3，故B错误，
与y轴的交点坐标为(0，-7)，故C错误，
顶点坐标为(3，2)，故D正确，
故答案为： D.
【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，再根据顶点式以及二次函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有x人，y辆车，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】 设有x人，y辆车，根据“ 若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行 ”列出方程组即可.
7．【答案】A
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】 解：∵正方形ABCD和正方形A'B'C'D'是位似图形，
∴A'B'∥AB，
∴△A'OB'∽△AOB，
∴==，
∴=，
故答案为：A.
【分析】 根据位似图形的概念得到A'B'∥AB，证明△A'OB'∽△AOB，再根据相似三角形的性质解答即可．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1
则∠QEP=∠CFP=90°
∵∠QPC=90°
∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90°
∴∠EQP=∠FPC
由旋转可得，PC=PQ
∴△QPE≌△PCF(AAS)
∴EQ=PF
∵PF≤PC
∴EQ≤PC
∴AP+PF≤AP+PC≤AC
即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长
∵四边形ABCD是正方形
∴AD=AP1=CD=AB=1
∴
∴EQ的值最大为
∴△APQ的最大面积为
故答案为：C
【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】2025
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=-2代入原方程得：2a×（-2）-b+5=0，
∴4a+b=5，
∴原式=2（4a+b）+2015=2×5+2015=2025．
故答案为：2025．
【分析】将x=-2代入原方程，可得出4a+b=5，再将其代入原式=2（4a+b）+2015中，即可求出结论．
10．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较；一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：设表示的数为，
根据题意，得：，
解得：，
∴表示的数是．
故答案为：．
【解答】设表示的数为，根据数轴上两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】10
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：
则BH⊥CD，
∴∠BGD=∠BHF=90°，
由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，
∴BH=BG+GH=12m，
∵CD=3m，
∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，
∵∠DBG=∠FBH，
∴△BDG∽△BFH，
∴，
∴，
解得：FH=8.4，
∴EF=FH+EH=10m，
∴大树的高度EF为10m，
故答案为：10.
【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得，进而即可得出结论.
12．【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】 解：如图，作AF⊥x轴，垂足为F，AE⊥y轴，垂足为E，
∵正比例函数y=ax（a＞0）的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
∴OA=OB，
∴S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，
∵AC=2AD，S△BCD=18，
∴S△ABD=S△BCD=×18=6，S△ABC=S△BCD=×8=12，
∴S△AOD=S△BOD=3，S△BOC=S△AOC=6，
∴S△COD=3+6=9，
∵==，==，
∴S△ADE=1，S△AFC=4，
∴S矩形OFAE=S△COD-S△ADE-S△AFE=9-1-4=4．
∵反比例函数图象在第一象限，
∴k=4．
故答案为：4．
【分析】 作AF⊥x轴，垂足为F，AE⊥y轴，垂足为E，根据题意可知OA=OB，则S△AOD=S△BOD，S△BOC=S△AOC，根据AC=2AD，S△BCD=18，可得S△ABD=6，利用比例关系得到△AED和△AFC面积，最后S矩形OFAE=S△COD-S△ADE-S△AFE代入数据计算即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AC，作CQ⊥PD于点Q，
则∠PQC=∠DQC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，AD=3，
∴AB=AD=CD=BC=3，∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴CA==CD=，∠ACD=∠CAD=45°，
由翻折得FC=BC，∠FCE=∠BCE=∠BCF，
∴FC=DC，
∴∠FCQ=∠DCQ=∠DCF，
∴∠PCQ=∠FCE+∠FCQ=（∠BCF+∠DCF）=∠BCD=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°，
∴PQ=QC，
∴PC==QC，
∴==，∠ACP=∠DCQ=45°-∠ACQ，
∴△ACP∽△DCQ，
∴∠APC=∠DQC=90°，
∵AE=2BE，
∴2BE+BE=3，
∴BE=1，
∴CE===，
∵∠APE=∠CBE=90°，∠AEP=∠CEB，
∴△AEP∽△CEB，
∴，
∴，
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC，
∴，
∴BP===，
故答案为：．
【分析】 连接AC，作CQ⊥PD于点Q，由正方形的性质得AB=AD=CD=BC=3，求得CA=CD=，∠ACD=∠CAD=45°，由翻折得FC=BC，∠FCE=∠BCE=∠BCF，所以FC=DC，则∠FCQ=∠DCQ=∠DCF，求得∠PCQ=45°，推导出PQ=QC，则PC=QC，可证明△ACP∽△DCQ，得∠APC=∠DQC=90°，由AE=2BE，求得BE=1，则CE=，再证明△AEP∽△CEB，得，再证明△PEB∽△AEC，得，求得BP===，从而得解.
14．【答案】解：
=1+1-3+3-2×
=1+1-3+3-1
=1．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
15．【答案】解：
．
当时，原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，进而代入数值即可求解。
16．【答案】（1）40；94；99
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下：
七、八年级学生的竞赛成绩平均分相同，八年级学生成绩的中位数94高于七年级学生成绩的中位数93
（3）∵七年级10名学生中，成绩在C，D两组中有6人，八年级10名学生中，成绩在C，D两组中有7人，
∴6+7=13（人），
（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是468人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）a=（1-20%-10%-）×100=40，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴b==94，
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多，
∴c=99；
故答案为：40，94，99.
【分析】 （1）根据中位数、众数的定义和扇形统计图即可得出答案；
（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级即可得出结论；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
17．【答案】解：⑴设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，
由题意得：
解得：x=8，
经检验，x=8是原方程的解，且符合题意，
∴x+2=8+2=10，
答：A种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B种型号无人机平均每小时喷洒10公顷地；
⑵设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，
由题意得：8m+10（20-m）≥180，
解得：m≤10，
∵A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架，
∴m取最大值时，总成本最低，
∴m=10，
∴20-m=20-10=10，
最低成本为：10×5+10×6=110（万元），
答：购买A型无人机10架，购买B型无人机10架，才能使总成本最低，最低成本为110万元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地，根据A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可；
（2）设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20-m）架，根据公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式，再根据总成本最低，即可得出结果．
18．【答案】（1）解：（1）如图PA，PB即为所求.
（2）70或110
【知识点】切线的性质；切线长定理；圆周角定理的推论；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【解答】 解：（1）如图，连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，
再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB．
由圆周角定理可得，∠OAP=∠OBP=90°，
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴PA，PB为⊙O的切线．
则PA，PB即为所求．
（2）连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．
当点C在优弧AB上时，
∠ACB=AOB=70°．
当点C在劣弧AB上时，
∠ACB=180°-AOB=110°．
综上所述，∠ACB的度数为70°或110°．
故答案为：70或110．
【分析】 （1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点M，再以点M为圆心，PM的长为半径画圆，分别交⊙O于点A，B，连接PA，PB即可．
（2）连接OA，OB，由切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，则可得∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=140°．分点C在优弧AB和劣弧AB两种情况，结合圆周角定理、内接四边形的性质可得答案．
19．【答案】（1）一次；二次
（2）设v=kt+m，
将t=0，v=12；t=4，v=10代入v=kt+m，得，
解得
验证：当t=8时，与表格中的数据一致：
设
将t=0，y=0；t=4，y=44；t=8，y=80代入.得，
解得，
验证：当t=12时，与表格中的数据一致.
（3）55
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息；二次函数的其他应用
【解析】【解答】 解：【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【检验】求v与t的函数关系式：
设v=kt+b，把t=0，v=12和t=4，v=10代入，
可得，
解得，
所以v=-0.5t+12，
验证：当t=8时，v=-0.5×8+12=8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y=at2+bt+c，把t=0，y=0，t=4，y=44，t=8，y=80代入，
可得
解得：
∴y=-0.25t2+12t，
验证：当t=12时，y=-0.25×144+12×12=108，与表格数据一致；
【应用】设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y=s+3t（s为AB的距离），
由y=-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t=s+3t，
整理得s=-0.25t2+9t，
对于二次函数s=-0.25t2+9t，a=-0.25＜0，
其最大值在t=18时取得，
把t=18代入s=-0.25t2+9t，得s=81，
所以AB的最大值是81cm.
【分析】 （猜想）利用描点法解答即可；
（检验）利用待定系数法解答即可；
（应用）根据追及关系列方程，结合二次函数性质，得AB最大值为81cm.
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AD∥BC，AD=4，
∴△ADO∽△CEO，
∵当四边形AECD为“卓越四边形”时，
，或者
当时，即
∴CE=2（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
同理，当时，CE=2；
综上，CE=2.
（2）四边形BFEC是“卓越四边形”；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，∠ADC=∠A=90°，
∵，
∴，
设DE=3a，则DF=10a，
∵点E是线段CD上靠近点D的四等分点，
∴，
∴CE=9a，
∴CD=12a，
∴AB=12a，
∵，
∴BC=15a，
∴AD=BC=15a，
∴AF=5a，
如图3，延长AD、BE，相交于点M，
∵AD∥BC，
∴△DEM∽△CEB，
∴，
∴，
∴FM=FD+DM=10a+5a=15a，
∵AD∥BC，
∴△FMO∽△CBO，
∴，
∴MO=BO，
∵，
设ME=b，则BE=3b，
∴BM=4b，
∴，
∴EO=MO-ME=2b-b=b，
∴，
∴，
∴四边形BFEC是“卓越四边形”；
（3）4或或4或2+2
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】 解：（3）∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠DAB=90°，
在直角三角形ABD中，由勾股定理得：，
当0＜θ＜45°时，
∵以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，
∴DO=BD或C'O=AC'，
当DO=BD时，DO=×=，此时BO=BD-DO=；
当C'O=AC'时，过B作BH⊥AC'交AC'于点H，过点C'作C'J⊥AD于点J，过点C'作C'M⊥AB于点M，设C'M交BD于点N，如图4，
∵∠DAB=∠C'MB=90°，
∴AD∥C'M，
∴△ADO∽△C'NO，
∴，
∴C'N=3，
设C'O=c，则AC'=3c，AO=2c，
∵将边长为6的正方形ABCD绕点B逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）至正方形A'BC'D'，
∴AB=BC'=BC=6，
∵BH⊥AC'，
∴AH=C'H=AC'=c，
∵∠AHB=∠AJC'=90°，
∴∠BAH+∠JAH=∠JAH+∠JC'A=90°，
∴∠BAH=∠JC'A，
∴△BAH∽△AC'J，
∴，
∴，
∴C'J=，
∵∠C'MA=∠BAD=∠AJC'=90°，
∴四边形AMC'J是矩形，
∴AM=C'J=，
∴BM=AB-AM=6-，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°，
∵AD∥C'M，
∴∠MNB=∠ADB=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=MB=6-，
∴MC'=MN+C'N=6-+3=9-，
在直角三角形BC'M中，由勾股定理得：C'B2-BM2=C'M2，
∴，
解得：，
当时，MN=MB=6-=6-×（）<0，不合题意，舍去；
当时，MN=MB=6-=6-×（）=，
在直角三角形BMN中，由勾股定理得：BN=，
∴DN=BD-BN=，
∴ON=DN=×，
∴BO=BN+ON=；
当90°＜θ＜180°时，作C'L⊥AB于点L，如图5，
∵以A，B，C'，D四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，
∴AO=AB或C'O=C'D，
当AO=AB时，AO=×6=2，此时BO=6-AO=6-2=4；
当C'O=C'D时，
∵∠DAB=∠C'LA=90°，
∴AD∥C'L，
∴△ADO∽△LC'O，
∴，
∵AD=6，
∴C'L=3，
在直角三角形BC'L中，BC'=6，∠C'LB=90°，
由勾股定理得：BL=，
∴AL=AB-BL=6-，
∴LO=AL=（6-）=2-，
∴BO=BL+LO=+2-=2+；
综上所述，BO的长度为或或4或，
故答案为：或或4或．
【分析】
（1）先证明△ADO∽△CEO，得到，结合四边形AECD为“卓越四边形”时，CO=AC或者EO=DE，即可得出答案；
（2）结合矩形的性质∠ADC=∠A=90°，AB=CD，AD∥BC，设DE=3a，DF=10a，结合点E是线段CD上靠近点D的四等分点，CE=9a，CD=12a，AB=12a，接着通过，得到BC=15a，如图3，延长AD、BE，相交于点M，接着证明△DEM∽△CEB，△FMO∽△CBO，推出MO=BO，不妨设ME=b，BE=3b，那么BM=4b，MO=BO=BM=2b，推出EO=b，EO=EB，从而推出四边形BFEC是“卓越四边形”；
（3）当0＜θ＜45°时，分成DO=BD或C'O=AC'，过B作BH⊥AC'交AC'于点H，过点C'作C'J⊥AD于点J，过点C'作C'M⊥AB于点M，设C'M交BD于点N，分别讨论即可得出答案；当90°＜θ＜180°时，作C'L⊥AB于点L，AO=AB或C'O=C'D，分别讨论即可得出答案．
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