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广西钦州市浦北县2025-2026学年九年级下学期数学中考考前学情自测试卷
1．计算：（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，且算术平方根是非负数，
。
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的意义，表示非负数中平方等于的数。因为2的平方等于4，且2是非负数，所以。
2．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质的凝固点最低的是（　　）
物质 酒精 铝 甲苯 水
凝固点 660℃ 0℃
A．酒精 B．铝 C．甲苯 D．水
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：比较，，，的大小，
凝固点最低的是酒精。
故答案为：A
【分析】本题考查有理数大小比较。温度越低，对应的数越小；负数比较大小时，绝对值越大，数反而越小，因此比更低。
3．围棋作为一种古老的数学游戏，其棋盘格状结构及行棋规则蕴含着古人对空间、逻辑与对称的深刻理解．下列由黑白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察四个图案，只有选项 C 中的图案沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，
∴选项 C 是轴对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的判断。一个图形如果沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。通过观察各选项，只有 C 满足这一特征。
4．中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面观察该几何体，外部轮廓为长方形，中间被挖去部分在视图中表现为一条虚线，
左视图为选项 B
故答案为：B
【分析】本题考查简单几何体的三视图。左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，看得见的轮廓用实线表示，被遮挡的内部轮廓用虚线表示。该物体中间挖去部分从左面看不可见，
5．如图，图中阴影部分表示的取值范围，则下列表示中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，阴影部分从右侧开始，到结束，
处为空心点，表示不取，
处为实心点，表示取，
的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集。空心点表示不包含该端点，实心点表示包含该端点，阴影方向表示满足条件的数的范围，所以该图对应的不等式为 。
6．北京时间2025年10月7日17时45分，瑞典皇家科学院宣布，将2025年诺贝尔物理学奖授予约翰·克拉克、米歇尔··德沃雷特、约翰··马蒂尼斯，以表彰他们“发现电路中宏观量子力学隧穿效应和能量量子化”．已知半导体中的电子在以下会出现量子隧穿效应，纳米是一种长度单位：，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
。
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法。科学记数法的一般形式是 ，其中 ，把 化为规范形式，得到 。
7．我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　）
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边
C．三角形的内角和为 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形一旦三边固定，其形状就无法改变，这种性质称为稳定性，
∴在建筑中，利用三角形结构可以防止变形，使框架更加稳固，
∴这样操作主要利用的性质是三角形具有稳定性．
故选：D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
8．某信息奥赛小组参加“”软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话描述比赛结果的数据特征是用（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：“最多”表示某一类数据出现的次数最多，
在统计中，出现次数最多的数据叫做众数，
这句话描述的数据特征是众数。
故答案为：B
【分析】本题考查统计量的意义。平均数反映总体平均水平，中位数反映中间位置，方差反映波动大小，众数反映出现次数最多的数据。题中关键词“最多”对应众数。
9．皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（　　）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：A：实物与其影子之间的变换不是平移变化，A选项不符合；
B：实物与其影子之间的变换不是轴对称变化，B选项不符合；
C：实物与其影子之间的变换是位似变换 ，C选项符合；
D： 实物与其影子之间的变换不是旋转变化，D选项符合
故选C．
【分析】平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系；
轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；
位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义．
旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合；
根据以上定义依次判断即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 两直线交于点 ，
方程组的解为 。
故答案为：C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系。两个一次函数图象的交点，同时满足两个函数表达式，所以交点坐标就是方程组的解。
11．若小敏骑单车从奥体中心回家的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　）
A．37分钟 B．36分钟 C．34分钟 D．29分钟
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
当 时， 取得最小值29。
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的最值。将二次函数配方为顶点式 ，由于平方项最小为，所以函数最小值为，表示最短时间为分钟。
12．将一张圆形纸片如图折叠，使圆上的点与圆心重合，折痕为，则下列结论错误的是（　　）
A．若连接，则垂直平分弦
B．劣弧间的长度是周长的三分之一
C．的长是的半径长的倍
D．若连接，，，则是等边三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后点 与点 重合， 折痕 是 的垂直平分线。
设圆的半径为 ，则 ，圆心 到弦 的距离为。
由垂径定理与勾股定理得：。
因此“ 的长是圆 的半径长的倍”错误。
故答案为：C
【分析】本题考查折叠性质、垂径定理和圆中弦长计算。折叠使点 与点 重合，则折痕是线段 的垂直平分线，所以 到弦 的距离为半径的一半。利用直角三角形和勾股定理可求出弦长为 ，不是 。
13．计算：　 　．
【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
14．2025年4月14日至15日，世界互联网大会亚太峰会在香港会议展览中心召开，本次峰会主题是“数智融合引领未来—携手构建网络空间命运共同体”．如图，将世界互联网大会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由点 ，点 可确定平面直角坐标系中每个小正方形的单位长度和坐标方向。
观察图中点 的位置，点 在原点左方 个单位、下方 个单位，
点 的坐标为
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标。根据已知点 、 的坐标确定坐标原点、坐标轴方向和单位长度，再根据点 在网格中的横向、纵向位置读出坐标。
15．如图，的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线经平面镜反射成光线，满足，若，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
。
，
。
又 ，
。
。
故答案为：
【分析】本题考查平行线性质、光的反射规律和三角形内角和。由 可把 转化为三角形中的 ，再利用反射角相等得到 的度数。由于 ， 与 相等，最后用三角形内角和求 。
16．如图，点的坐标是，将沿轴向右平移至，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是　 　．
【答案】3
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点 向右平移 个单位后得到点 。
点 在直线 上，
，
解得 。
点 移动的距离也是 。
故答案为：
【分析】本题考查平移的性质和一次函数图象上点的坐标。平移过程中，各点移动的方向和距离相同，所以只需求出点 平移到点 的距离。点 的纵坐标仍为 ，代入直线方程即可求出横坐标变化量。
17．
（1）计算：．
（2）解不等式：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】(1)本小题考查有理数加减混合运算，减去一个负数等于加上这个数的相反数，所以化为，再与相加即可；
(2)本小题考查一元一次不等式的解法，先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为。由于最后两边同除以负数，所以不等号方向要改变。
18．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为，，，，．
（1）如果，则是多少？
（2）在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由．
【答案】（1）解：根据月历的特点可知，，，，，
，
解得
（2）解：他的说法是错误的，理由如下．
由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】(1)本小题考查月历中的数字规律和一元一次方程。月历中同一行相邻两个日期相差1，同一列上下相邻两个日期相差7，因此可以全部用中心数 表示，再根据五个数的和建立方程求解；
(2)本小题考查整除思想和实际问题中的合理性。由五个数的和为可知总和必须是5的倍数，而121不是5的倍数，对应的 也不是整数，所以这种框法不存在。
19．“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．又见陀螺；D．奇妙“乒乓球”．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”．为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让琪琪和莉莉各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感．
（1）琪琪随机选出的卡片代表的实验是“又见陀螺”的概率是多少？
（2）琪琪先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，莉莉再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求琪琪和莉莉抽到相同卡片的概率．
【答案】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，
琪琪抽到又见陀螺实验的概率是．
（2）解：画树状图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抽到相同卡片的结果有4种，
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)本小题考查简单随机事件的概率，所有卡片完全相同且随机抽取，每张卡片被抽到的可能性相等，所以目标卡片数除以总卡片数即可；
(2)本小题考查放回抽样的概率。因为琪琪抽后放回，所以莉莉仍有 种等可能选择，两人抽取结果共有 种，再数出两人抽到相同卡片的 种结果即可。
20．足球作为全球热门运动，亦是文化纽带，跨越国界联结人心，彰显拼搏精神，传递快乐与力量．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是圆的切线，，为切点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长交射线于点，若，，请补全图形，并求的长．
【答案】（1）解：点如图所示：
（2）解：连接，如图所示
，是圆的切线，，为切点．
，，，
则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得出，
即，
，
解得，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】(1)本小题考查切线的性质，圆的半径垂直于过切点的切线，所以圆心一定在过切点且垂直于切线的直线上，两条这样的直线相交即可确定圆心；
(2)本小题考查切线长定理、勾股定理和圆的半径相等。先由切线垂直半径得到 是直角三角形，求出 ，再由切线长定理求出 ，最后在 中利用勾股定理建立方程求 。
21．圭表是中国古代一种重要的天文仪器，由“圭”和“表”两个部分组成．某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作圭表．①同学协同制作了如图1所示的圭表，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长；②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值；③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为（），冬至时太阳光线与水平地面的夹角为（）．
（参考数据：，，，，，．）
（1）【任务一】求的长度；
（2）【任务二】求秋分时，表的影子的长度；
（3）【任务三】秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度．
【答案】（1）解：，，
在中，，，
，
在中，，，
（2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值．
（3）设旗杆的长度为，
由题意得，，
解得，
答：旗杆的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)本小题考查锐角三角函数的实际应用。表 垂直于地面，太阳光线与地面形成已知角，在两个直角三角形中分别利用正切函数求出夏至影长 和冬至影长 ，两者相减得到 ；
(2)本小题考查平均数的应用。题目给出秋分影长等于夏至和冬至影长的平均值，因此直接用 计算；
(3)本小题考查相似三角形中的比例关系。同一时刻太阳光线平行，旗杆和表分别与影子构成的直角三角形相似，所以物体高度与影长的比相等，将厘米化为米后列比例方程求旗杆高度。
22．项目式学习
【问题背景】无人机植保具有高效便捷、远离农药、保障安全等优点，因此需要探索更经济高效的作业方案．
【建立模型】如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，．
（1）试确定点所在抛物线的函数表达式；
（2）【问题解决】启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度；
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且；当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
【答案】（1）解：，点与点到点的距离相等，
，
∴点的坐标为．
，
∴点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．解得．
∴点所在抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，∴喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
∴可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
∴点的坐标为．
∴此时无人机摄像头距离地面的高度为．．
答：无人机应该下降的高度为．
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（3），点坐标为，
点坐标为．
所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
所以所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∴代入到中，得．
解得，．
，
关于轴对称，
，
【分析】(1)本小题考查二次函数模型的建立。以摄像头 为原点，点 是抛物线顶点，且 到 的距离为 ，所以可设顶点式 ，再利用抛物线经过点 求出 ；
(2)本小题考查二次函数图象与实际高度的联系。田埂宽 ，且关于 轴对称，所以边界点 的横坐标为 ，代入左侧喷药抛物线求出此时地面相对于摄像头的纵坐标为 ，说明摄像头离地 ，再与初始高度比较求下降高度；
(3)本小题考查抛物线的平移和对称性。新增喷药口 ，与原喷药口间距相同，所以左端喷药口 的横坐标为 ，其抛物线顶点式为 ，地面对应 ，求出最左端点横坐标，再利用整体关于 轴对称求覆盖宽度。
23．定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
（1）如图1，在平行四边形中，为对角线上一点，求证：四边形为分积四边形；
（2）如图2，矩形的顶点在函数（，）的图象上，边在轴上，边轴，点在对角线上，对角线交轴于点，连结，，的面积为4，求的值；
（3）如图3，四边形为分积四边形，对角线为分积线，，，对角线与交于点，，求的值．
【答案】（1）解：如图1，分别过，作的垂线，垂足为，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
为四边形的对角线，，，
，
∴四边形为分积四边形
（2）解：如图2，连结，，
由（1）得，
令点到距离为，则，
，即
，
（3）解：如图3，分别过，作的垂线，垂足为，，
∵四边形为分积四边形，对角线为分积线，
，
，，
，
．
，，
，
，
，
设，则，，
，
．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；求正切值
【解析】【分析】(1)本小题考查平行四边形性质、全等三角形和面积平分。平行四边形中对边平行且相等，过 ， 向 作高后，可以证明两个直角三角形全等，从而得到两边到 的距离相等。以 为共同底时，两个三角形的高相等，所以面积相等，进而说明 平分四边形面积；
(2)本小题考查反比例函数的几何意义和三角形面积比。点 在 上时，相关直角三角形面积可表示为 。再利用同高三角形面积比等于底边比，把 与 联系起来，根据 和面积 求出 ，最后由 确定符号；
(3)本小题考查面积相等、全等三角形、直角三角形和正切值。由于 平分面积，两个以 为底的三角形面积相等，所以对应高 ， 相等，再证 ，得到 是 的中点。结合 和 ，可建立长度关系，最后在直角三角形 中用 求值。
1 / 1广西钦州市浦北县2025-2026学年九年级下学期数学中考考前学情自测试卷
1．计算：（　　）
A． B．2 C． D．4
2．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质的凝固点最低的是（　　）
物质 酒精 铝 甲苯 水
凝固点 660℃ 0℃
A．酒精 B．铝 C．甲苯 D．水
3．围棋作为一种古老的数学游戏，其棋盘格状结构及行棋规则蕴含着古人对空间、逻辑与对称的深刻理解．下列由黑白棋子摆成的图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．中国古建筑精妙绝伦，擎檐柱是木结构建筑用以支撑屋面出檐的柱子，多用于重檐或重檐带平座的建筑物上，用来支撑挑出较长的屋檐及角梁翼角等．如图是一根擎檐柱的结构图，它是由一根圆柱形柱子中间挖去一个柱体后形成的，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，图中阴影部分表示的取值范围，则下列表示中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．北京时间2025年10月7日17时45分，瑞典皇家科学院宣布，将2025年诺贝尔物理学奖授予约翰·克拉克、米歇尔··德沃雷特、约翰··马蒂尼斯，以表彰他们“发现电路中宏观量子力学隧穿效应和能量量子化”．已知半导体中的电子在以下会出现量子隧穿效应，纳米是一种长度单位：，用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（　　）
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边
C．三角形的内角和为 D．三角形具有稳定性
8．某信息奥赛小组参加“”软件能力认证比赛，比赛结果出来后，信息老师说：“这次比赛被认定为入门级二等的同学最多．”这句话描述比赛结果的数据特征是用（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
9．皮影戏是中国民间戏剧，也是国家非物质文化遗产．如图，用灯光照射兽皮或纸板做成的“人物”，屏幕上便出现影子，则实物与其影子之间的变换是（　　）
A．平移变换 B．轴对称变换 C．位似变换 D．旋转变换
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
11．若小敏骑单车从奥体中心回家的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　）
A．37分钟 B．36分钟 C．34分钟 D．29分钟
12．将一张圆形纸片如图折叠，使圆上的点与圆心重合，折痕为，则下列结论错误的是（　　）
A．若连接，则垂直平分弦
B．劣弧间的长度是周长的三分之一
C．的长是的半径长的倍
D．若连接，，，则是等边三角形
13．计算：　 　．
14．2025年4月14日至15日，世界互联网大会亚太峰会在香港会议展览中心召开，本次峰会主题是“数智融合引领未来—携手构建网络空间命运共同体”．如图，将世界互联网大会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
15．如图，的三条边是三块平面镜，由物理知识可知：入射光线经平面镜反射成光线，满足，若，，，则的度数为　 　．
16．如图，点的坐标是，将沿轴向右平移至，点的对应点恰好落在直线上，则点移动的距离是　 　．
17．
（1）计算：．
（2）解不等式：．
18．生活中常见的月历中存在许多奥秘，你想知道吗？如图是2026年1月的月历，用如图所示的形状任意框出5个数（阴影部分），分别设为，，，，．
（1）如果，则是多少？
（2）在框数的过程中，小明说被框中的5个数字之和可能是121，你认为他的说法对吗？请说明理由．
19．“天宫课堂”第四课在空间站演示了四个精彩实验：A．球形火焰；B．动量守恒；C．又见陀螺；D．奇妙“乒乓球”．为弘扬科学精神，传播航天知识，感悟榜样精神与力量，某中学要求学生课后观看“天宫课堂”．为了解本次学习情况，老师在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，搅匀后背面朝上放置，让琪琪和莉莉各从代表这四个实验的卡片中随机选出一张在班会上分享观后感．
（1）琪琪随机选出的卡片代表的实验是“又见陀螺”的概率是多少？
（2）琪琪先从这四张卡片中随机抽取一张，然后放回，莉莉再从这四张卡片中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求琪琪和莉莉抽到相同卡片的概率．
20．足球作为全球热门运动，亦是文化纽带，跨越国界联结人心，彰显拼搏精神，传递快乐与力量．图1是一次足球比赛的奖杯，图2是从奖杯中抽象出的几何模型，，是圆的切线，，为切点．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，延长交射线于点，若，，请补全图形，并求的长．
21．圭表是中国古代一种重要的天文仪器，由“圭”和“表”两个部分组成．某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作圭表．①同学协同制作了如图1所示的圭表，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长；②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值；③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为（），冬至时太阳光线与水平地面的夹角为（）．
（参考数据：，，，，，．）
（1）【任务一】求的长度；
（2）【任务二】求秋分时，表的影子的长度；
（3）【任务三】秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度．
22．项目式学习
【问题背景】无人机植保具有高效便捷、远离农药、保障安全等优点，因此需要探索更经济高效的作业方案．
【建立模型】如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，，是喷药口，，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，．
（1）试确定点所在抛物线的函数表达式；
（2）【问题解决】启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度；
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且；当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
23．定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
（1）如图1，在平行四边形中，为对角线上一点，求证：四边形为分积四边形；
（2）如图2，矩形的顶点在函数（，）的图象上，边在轴上，边轴，点在对角线上，对角线交轴于点，连结，，的面积为4，求的值；
（3）如图3，四边形为分积四边形，对角线为分积线，，，对角线与交于点，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，且算术平方根是非负数，
。
故答案为：B
【分析】本题考查算术平方根的意义，表示非负数中平方等于的数。因为2的平方等于4，且2是非负数，所以。
2．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：比较，，，的大小，
凝固点最低的是酒精。
故答案为：A
【分析】本题考查有理数大小比较。温度越低，对应的数越小；负数比较大小时，绝对值越大，数反而越小，因此比更低。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察四个图案，只有选项 C 中的图案沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，
∴选项 C 是轴对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的判断。一个图形如果沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。通过观察各选项，只有 C 满足这一特征。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面观察该几何体，外部轮廓为长方形，中间被挖去部分在视图中表现为一条虚线，
左视图为选项 B
故答案为：B
【分析】本题考查简单几何体的三视图。左视图是从几何体左侧观察得到的平面图形，看得见的轮廓用实线表示，被遮挡的内部轮廓用虚线表示。该物体中间挖去部分从左面看不可见，
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴可知，阴影部分从右侧开始，到结束，
处为空心点，表示不取，
处为实心点，表示取，
的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查用数轴表示不等式的解集。空心点表示不包含该端点，实心点表示包含该端点，阴影方向表示满足条件的数的范围，所以该图对应的不等式为 。
6．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
。
故答案为：A
【分析】本题考查科学记数法。科学记数法的一般形式是 ，其中 ，把 化为规范形式，得到 。
7．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：∵三角形一旦三边固定，其形状就无法改变，这种性质称为稳定性，
∴在建筑中，利用三角形结构可以防止变形，使框架更加稳固，
∴这样操作主要利用的性质是三角形具有稳定性．
故选：D．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择；众数
【解析】【解答】解：“最多”表示某一类数据出现的次数最多，
在统计中，出现次数最多的数据叫做众数，
这句话描述的数据特征是众数。
故答案为：B
【分析】本题考查统计量的意义。平均数反映总体平均水平，中位数反映中间位置，方差反映波动大小，众数反映出现次数最多的数据。题中关键词“最多”对应众数。
9．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：A：实物与其影子之间的变换不是平移变化，A选项不符合；
B：实物与其影子之间的变换不是轴对称变化，B选项不符合；
C：实物与其影子之间的变换是位似变换 ，C选项符合；
D： 实物与其影子之间的变换不是旋转变化，D选项符合
故选C．
【分析】平移变换：图形沿某一方向移动，对应点连线平行，不改变形状、大小，不符合皮影中实物与影子的关系；
轴对称变换：图形关于某直线对称，对应点到对称轴距离相等，皮影中无“对称轴”类关系，不符合；
位似变换：是相似变换且对应点连线都经过同一位似中心．皮影戏中，灯光为位似中心，实物与影子相似，且实物各点与影子对应点的连线都经过灯光，符合位似变换的定义．
旋转变换：图形绕某点旋转，对应点到旋转中心距离相等，皮影中并非绕点旋转的关系，不符合；
根据以上定义依次判断即可.
10．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解： 两直线交于点 ，
方程组的解为 。
故答案为：C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系。两个一次函数图象的交点，同时满足两个函数表达式，所以交点坐标就是方程组的解。
11．【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：
当 时， 取得最小值29。
故答案为：D
【分析】本题考查二次函数的最值。将二次函数配方为顶点式 ，由于平方项最小为，所以函数最小值为，表示最短时间为分钟。
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后点 与点 重合， 折痕 是 的垂直平分线。
设圆的半径为 ，则 ，圆心 到弦 的距离为。
由垂径定理与勾股定理得：。
因此“ 的长是圆 的半径长的倍”错误。
故答案为：C
【分析】本题考查折叠性质、垂径定理和圆中弦长计算。折叠使点 与点 重合，则折痕是线段 的垂直平分线，所以 到弦 的距离为半径的一半。利用直角三角形和勾股定理可求出弦长为 ，不是 。
13．【答案】1
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：；
故答案为：1．
【分析】本题考查同分母分式的加法运算，根据同分母的分式的加法法则，分母不变，分子相加，进行计算即可．
14．【答案】
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：由点 ，点 可确定平面直角坐标系中每个小正方形的单位长度和坐标方向。
观察图中点 的位置，点 在原点左方 个单位、下方 个单位，
点 的坐标为
故答案为：
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标。根据已知点 、 的坐标确定坐标原点、坐标轴方向和单位长度，再根据点 在网格中的横向、纵向位置读出坐标。
15．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
。
，
。
又 ，
。
。
故答案为：
【分析】本题考查平行线性质、光的反射规律和三角形内角和。由 可把 转化为三角形中的 ，再利用反射角相等得到 的度数。由于 ， 与 相等，最后用三角形内角和求 。
16．【答案】3
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点 向右平移 个单位后得到点 。
点 在直线 上，
，
解得 。
点 移动的距离也是 。
故答案为：
【分析】本题考查平移的性质和一次函数图象上点的坐标。平移过程中，各点移动的方向和距离相同，所以只需求出点 平移到点 的距离。点 的纵坐标仍为 ，代入直线方程即可求出横坐标变化量。
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数的加、减混合运算
【解析】【分析】(1)本小题考查有理数加减混合运算，减去一个负数等于加上这个数的相反数，所以化为，再与相加即可；
(2)本小题考查一元一次不等式的解法，先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为。由于最后两边同除以负数，所以不等号方向要改变。
18．【答案】（1）解：根据月历的特点可知，，，，，
，
解得
（2）解：他的说法是错误的，理由如下．
由（1）知，当时，不是整数，此种情况不存在．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【分析】(1)本小题考查月历中的数字规律和一元一次方程。月历中同一行相邻两个日期相差1，同一列上下相邻两个日期相差7，因此可以全部用中心数 表示，再根据五个数的和建立方程求解；
(2)本小题考查整除思想和实际问题中的合理性。由五个数的和为可知总和必须是5的倍数，而121不是5的倍数，对应的 也不是整数，所以这种框法不存在。
19．【答案】（1）解：由题意得，在四张完全相同的卡片上分别写了A，B，C，D，
琪琪抽到又见陀螺实验的概率是．
（2）解：画树状图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中抽到相同卡片的结果有4种，
所以
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】(1)本小题考查简单随机事件的概率，所有卡片完全相同且随机抽取，每张卡片被抽到的可能性相等，所以目标卡片数除以总卡片数即可；
(2)本小题考查放回抽样的概率。因为琪琪抽后放回，所以莉莉仍有 种等可能选择，两人抽取结果共有 种，再数出两人抽到相同卡片的 种结果即可。
20．【答案】（1）解：点如图所示：
（2）解：连接，如图所示
，是圆的切线，，为切点．
，，，
则，
在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得出，
即，
，
解得，
．
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线长定理
【解析】【分析】(1)本小题考查切线的性质，圆的半径垂直于过切点的切线，所以圆心一定在过切点且垂直于切线的直线上，两条这样的直线相交即可确定圆心；
(2)本小题考查切线长定理、勾股定理和圆的半径相等。先由切线垂直半径得到 是直角三角形，求出 ，再由切线长定理求出 ，最后在 中利用勾股定理建立方程求 。
21．【答案】（1）解：，，
在中，，，
，
在中，，，
（2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值．
（3）设旗杆的长度为，
由题意得，，
解得，
答：旗杆的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)本小题考查锐角三角函数的实际应用。表 垂直于地面，太阳光线与地面形成已知角，在两个直角三角形中分别利用正切函数求出夏至影长 和冬至影长 ，两者相减得到 ；
(2)本小题考查平均数的应用。题目给出秋分影长等于夏至和冬至影长的平均值，因此直接用 计算；
(3)本小题考查相似三角形中的比例关系。同一时刻太阳光线平行，旗杆和表分别与影子构成的直角三角形相似，所以物体高度与影长的比相等，将厘米化为米后列比例方程求旗杆高度。
22．【答案】（1）解：，点与点到点的距离相等，
，
∴点的坐标为．
，
∴点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．解得．
∴点所在抛物线的函数表达式为．
（2）解：∵以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，∴喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
∴可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
∴点的坐标为．
∴此时无人机摄像头距离地面的高度为．．
答：无人机应该下降的高度为．
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】（3），点坐标为，
点坐标为．
所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
所以所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∴代入到中，得．
解得，．
，
关于轴对称，
，
【分析】(1)本小题考查二次函数模型的建立。以摄像头 为原点，点 是抛物线顶点，且 到 的距离为 ，所以可设顶点式 ，再利用抛物线经过点 求出 ；
(2)本小题考查二次函数图象与实际高度的联系。田埂宽 ，且关于 轴对称，所以边界点 的横坐标为 ，代入左侧喷药抛物线求出此时地面相对于摄像头的纵坐标为 ，说明摄像头离地 ，再与初始高度比较求下降高度；
(3)本小题考查抛物线的平移和对称性。新增喷药口 ，与原喷药口间距相同，所以左端喷药口 的横坐标为 ，其抛物线顶点式为 ，地面对应 ，求出最左端点横坐标，再利用整体关于 轴对称求覆盖宽度。
23．【答案】（1）解：如图1，分别过，作的垂线，垂足为，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
为四边形的对角线，，，
，
∴四边形为分积四边形
（2）解：如图2，连结，，
由（1）得，
令点到距离为，则，
，即
，
（3）解：如图3，分别过，作的垂线，垂足为，，
∵四边形为分积四边形，对角线为分积线，
，
，，
，
．
，，
，
，
，
设，则，，
，
．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；求正切值
【解析】【分析】(1)本小题考查平行四边形性质、全等三角形和面积平分。平行四边形中对边平行且相等，过 ， 向 作高后，可以证明两个直角三角形全等，从而得到两边到 的距离相等。以 为共同底时，两个三角形的高相等，所以面积相等，进而说明 平分四边形面积；
(2)本小题考查反比例函数的几何意义和三角形面积比。点 在 上时，相关直角三角形面积可表示为 。再利用同高三角形面积比等于底边比，把 与 联系起来，根据 和面积 求出 ，最后由 确定符号；
(3)本小题考查面积相等、全等三角形、直角三角形和正切值。由于 平分面积，两个以 为底的三角形面积相等，所以对应高 ， 相等，再证 ，得到 是 的中点。结合 和 ，可建立长度关系，最后在直角三角形 中用 求值。
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