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平江县2026年上学期教学质量监测
高一数学
考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量120分钟，满分150分，
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知集合A={xx+1>0},集合B={1,0,1,2},则A∩B=()
A.0,1,2}
B.{1,0,12}
c.九，2}
D.2}
2.若空间中四条不同的直线1,2,3,4满足1⊥2,2∥13,1∥14，则下面结论正确
的是()
A.13⊥14
B.13∥l4
C.13,14既不垂直也不平行
D.13,14的位置关系不确定
3.使式子1og(2x-)(2-x)有意义的x的取值范围是()
A.x>2
B.x<2
C.
D.1
2
2
4已知a-)eos-cosB-d)sina=}P是第三象限角，则m(B+)的值
为()
4.②
7√2
√2
D.
7√2
B.
10
10
10
10
5.等边三角形ABC的边长为1，如果BC=a,CA=b,AB=c,那么
a.b-B.c+c.a=()
B.3
D.
2
2
2
6.一个圆锥的高是√5，侧面积是2玩，则该圆锥轴截面的周长为(
A.3
B.4
C.5
D.6
7.某单位职工进行了体检，其中体重（单位：g)体检结果统计如下表格：
男性
女性
单位职工
人数
30
18
48
平均数
64
56
n
方差
151
n
169
则m=(
A.157
B.159
C.162
D.165
高一数学第1页（共4页）
8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
sinA+nB+simC=25 cos 4 cos,2a+b=4,若M是AC的中点，则BM的最
2
2
小值为()
A.3
B.1
C.5
D.2
2
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.设复数=叶2i(i为虚数单位，a∈R),则下列结论正确的是()
A.当a=0时，二为纯虚数
B.2一定是实数
C.的最小值为2
D.二在复平面内对应点的轨迹是圆
10.已知向量a,b,c满足a=1,1D,b=(-1,2),c=(2m,n-1D,则()
A.6-8=5
B.当b/c时，4tn=1
C.当(2a+b)⊥c时，m+2n=2
D.方在ā上的投影向量的坐标为(2,2)
55
1,在体积为8的正四棱锥P-ABCD中，异面直线PC与4B所成角的余弦值为
6
则(
A.PC=5
B.二面角P~CD-A的余弦值为5
C.正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为9π
D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.一组数据如下：10,12,15,11,15,20,17,18,13,21，则该组数据的第80
百分位数是
13.已知>0，则3-2x-4的最大值为
4
14.若y=(x-)2+ar+in(x+元)为偶函数，则a=
高一数学第2页（共4页）平江县2026年上学期教学质量监测
高一数学答题卡
学校：
姓名：
班级：
第
考室
座位号：
注意事项
正确
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。
填涂
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。
示例
条形码粘贴区
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。
正面朝上，请勿贴出实线框外
4.答题请勿超出限定区域。请勿折叠，保持卡面清洁。
此方框为缺考考生标记，由监考员用B铅笔填涂
一、选择题（每小题5分，共40分）
二、
选择题（每小题6分，共18分）
1[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]
9[A][B][C][D]
2[A][B][C][D]
6[A][B][C][D]
10[A][B][C][D]
3[A][B][C][D]
7 [A][B][c][D]
11[A][B][C][D]
4[A][B][C][D]
8[A][B][C][D]
三、
填空题（每小题5分，共15分）
12
13.
14.
四、解答题（共77分）
15.(13分)
D
高一数学答题卡第1页（共4页）
16.(15分)
17.(15分)
A
高一数学答题卡第2页（共4页）
18.(17分)
高一数学答题卡第3页（共4页）
19.(17分)
高一数学答题卡第4页（共4页）
■平江县2026年上学期教学质量监测
高一数学参考答案与解析
一．选择题（共 8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B D D B B
二．多选题（共 3小题）
题号 9 10 11
答案 AC BC BCD
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，满分 40分。每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的。）
1．已知集合 A＝{x|x+1＞0}，集合 B＝{﹣1，0，1，2}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{1，2} D．{2}
【解答】解：集合 A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，集合 B＝{﹣1，0，1，2}，故 A∩B＝{0，1，
2}．故选：A．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2．（必修二教材 162页原题）若空间中四条不同的直线 l1，l2，l3，l4满足 l1⊥l2，l2∥ l3，l1∥ l4，
则下面结论正确的是（ ）
A．l3⊥l4 B．l3∥ l4
C．l3，l4既不垂直也不平行 D．l3，l4的位置关系不确定
【解答】解：因为 l1⊥l2，l2∥ l3，所以 l1⊥l3，又 l1∥ l4，所以 l3⊥l4．故选：A．
【点评】本题考查空间中线线关系，属基础题．
3．（必修一教材 126页原题）使式子 log（2x﹣1）（2﹣x）有意义的 x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2
C． ＜x＜2 D． ＜x＜2，且 x≠1
【解答】解：要使式子 log（2x﹣1）（2﹣x）有意义，则 ，解得 ＜x＜2且 x≠1．
∴x的取值范围是{x| ＜x＜2，且 x≠1}．故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数式的性质，是基础题．
4．（必修一教材 220页原题）已知 ，β是第三
象限角，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ＝sin（﹣β），所以 sinβ＝
﹣ ，因为β是第三象限角，所以 cosβ＝﹣ ，则 ＝﹣ （sinβ+cosβ）＝
﹣ ×（﹣ ）＝ ．故选：B．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系，属于基础题．
5．（比修二教材 61页 13题（5）改编）等边三角形 ABC的边长为 1，如果 ， ，
，那么 等于（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：在正三角形内，∵ ， ， ，∴ + ＝ ，即 + ＝﹣ ，
即 ＝﹣（ + ），则 ＝（ ﹣ ） + ＝﹣（ ﹣ ） （ + ）+
＝﹣（ 2﹣ 2）+ ＝﹣（1﹣1）+1×1×（﹣ ）＝﹣ ，故选：D．
【点评】本题主要考查向量数量积的计算，根据向量数量积的定义是解决本题的关键．注
意向量夹角的计算．
6．（必修二 19页练习第 1题改编）一个圆锥的高是 ，侧面积是 2π，则该圆锥轴截面的
周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设圆锥的母线长为 l，因为圆锥的高是 ，则底面半径为 ，
侧面积 ，解得 l＝2，则 ，故圆锥轴截面的周长
为 2l+2r＝6．故选：D．
【点评】本题考查圆锥侧面积的有关计算，属于基础题．
7．（必修二 216页第 11题改编）某单位职工进行了体检，其中体重（单位：kg）体检结果
统计如下表格：
男性 女性 单位职工
人数 30 18 48
平均数 64 56 n
方差 151 m 169
则 m＝（ ）
A．157 B．159 C．162 D．165
【 解 答 】 解 ： 计 算 单 位 职 工 体 重 的 平 均 数 n：
，
已知单位职工体重方差为 169，根据分层方差的合并公式可得：
，化简得：m＝159．
故选：B．
【点评】本题考查了分层方差的合并公式，属于基础题．
8.△ ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c． 已 知
，2a+b＝4，若 M是 AC的中点，则 BM的最小值
为（ ）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：在三角形中，显然 sinC＝sin（A+B），sin ＝cos ，
由 sinA+sinB+sinC＝ +
＝2 （ +cos ）＝2 ×2cos cos ＝2 ，
又 cos cos ＞0，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
又 M是 AC的中点，所以 ，
由余弦定理有： ，
又 2a+b＝4，所以 ，
当 a＝1时，BM2＝1，即 BM＝1．故选：B．
【点评】本题考查三角恒等变换以及解三角形的知识与方法，属于中档题．
二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分。每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9．设复数 z＝a+2i（i为虚数单位，a∈R），则下列结论正确的是（ ）
A．当 a＝0时，z为纯虚数 B．z2一定是实数
C．|z|的最小值为 2 D．z在复平面内对应点的轨迹是圆
【解答】解：复数 z＝a+2i，当 a＝0时，z＝2i为纯虚数，故 A正确；当 a＝1时，z2＝（1
+2i）2＝﹣3+4i，不是实数，故 B错误； ，所以|z|的最小值为 2，故 C
正确；设 z在复平面内对应点为（a，2），所以 z在复平面内对应点的轨迹是直线 y＝2，故
D错误．故选：AC．
【点评】本题考查的基本概念，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，
是基础题．
10．（比修二教材 36页 9， 10题综合改编）已知向量 ， ， 满足 ，
， ，则（ ）
A． B．当 时，4m+n＝1
C．当 时，m+2n＝2 D． 在 上的投影向量的坐标为
【解答】解：足 ， ， ，
，故 A错误．选项 B：当 时，存在实数
k 使得 2m＝﹣k 且 n﹣1＝2k，得 k＝﹣2m，代入得：n﹣1＝2（﹣2m），4m+n＝1，故
选项 B正确．选项 C：当 与 垂直时， ．
＝1 2m+4 （n﹣1）＝0，化简得 2m+4n﹣4＝0，即 m+2n＝2，故项 C正确．
选 项 D： 足 ， ， 则 ，
，投影向量为 ，与选项中的（
）不符，故 D错误．故选：BC．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
11．（必修二 160页例题 10改编）在体积为 的正四棱锥 P﹣ABCD中，异面直线 PC与 AB
所成角的余弦值为 ，则（ ）
A．
B．二面角 P﹣CD﹣A的余弦值为
C．正四棱锥 P﹣ABCD的外接球的表面积为 9π
D．直线 BC与平面 PCD所成角的正切值为 2
【解答】解：取 CD的中点 E，设 O为正方形 ABCD的中心，连接
OE，PE，则 PE⊥CD，
因为 AB∥CD，所以异面直线 PC与 AB所成的角即∠PCE，
则 ，
设 CE＝a，则 CD＝2a， ， ，
则 ＝2a，
所以正四棱锥 P﹣ABCD的体积为 ，
解得 a＝1，所以 ，A错误．
易证 OE⊥CD，则∠PEO为二面角 P﹣CD﹣A的平面角，
所以 ，B正确．
设正四棱锥 P﹣AB﹣CD的外接球的球心为 M，且 OM＝h，
由 PM＝CM，得 ，
即 h2+2＝（2﹣h）2，
即 2h＝1，
解得 ，
所以正四棱锥 P﹣ABCD的外接球的表面积为 4π×|2﹣h|2＝9π，C正确．
因为 OE∥BC，所以直线 BC与平面 PCD所成的角即直线 OE与平面 PCD所成的角．
过点 O作 OH⊥PE，垂足为 H．易证 OH⊥平面 PCD，
则∠OEH为直线 BC与平面 PCD所成的角，
则 ，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．（比修二教材 202页例 2改编）一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，
21，则该组数据的第 80百分位数是 19 ．
【解答】解：将数据 10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，从小到大排列：
10，11，12，13，15，15，17，18，20，21，又10×80%＝8，则该组数据的第80百分位
数是 ．故答案为：19．
【点评】本题考查百分位数相关定义，属于基础题．
13．（必修一教材 48页第 5题原题）已知 x＞0，则 的最大值为 ．
【解答】解：∵x＞0，∴ ，当且仅当 即 时，等号成立，
∴ ，所以，x＞0，则 的最大值为 ．故
答案为： ．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14．（2023年全国甲卷理 13题）若 y＝（x﹣1）2+ax+sin（x+ ）为偶函数，则 a＝ 2 ．
【解答】解：根据题意，设 f（x）＝（x﹣1）2+ax+sin（x+ ）＝x2﹣2x+ax+1+cosx，
其定义域为 R，若 f（x）为偶函数，则 f（﹣x）＝x2+2x﹣ax+1+cosx＝x2﹣2x+ax+1+cosx
＝f（x），
变形可得（a﹣2）x＝0，必有 a＝2．故答案为：2．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，涉及函数奇偶性的定义，属于基础题．
四、解答题（本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15． （ 必 修 二 27页 第 3题 改 编 ） 在 △ ABC中 ，
，设 ．
（1）用 表示 ；
（2）若 AB＝3，AC＝2，∠CAB＝60°，则当 CD⊥EF时，求λ的值．
【解答】解：（1）因为 ，
设 ．
则 ， ．..........6分
（2）当 CD⊥EF时， ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
故 ．...................................................................................................................13分
【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于中档题．
16．（必修 2教材 197页第 1题改编）中国 AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快
速增长的爆发式发展阶段．为了解中国 AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了 500名
中国 AI大模型用户，统计他们的年龄（都在[15，65]内），按照[15，25），[25，35），
[35，45），[45，55），[55，65]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求 m的值；
（2）求这 500名中国 AI大模型用户的年龄在[35，65]内的人数；
（3）估计这 500名中国 AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作
代表）．
【解答】解：（1）10×（0.01+0.03+0.04+m+0.005）＝1 m＝0.015；.........................3分
（2）根据题意可知，这 500名中国 AI大模型用户的年龄在[35，65]内的人数为 500×10×
（0.04+0.015+0.005）＝300人；......................................................................................9分
（3）估计这 500名中国 AI大模型用户年龄的平均数为
10×（0.01×20+0.03×30+0.04×40+0.015×50+0.005×60）＝37.5．.................................15分
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题．
17． 如 图 ， 四 棱 锥 P﹣ ABCD中 ， △ PBD为 正 三 角 形 ，
，BC∥AD，
AB⊥AD，M为线段 PD的中点．
（1）在平面 PCD内，过点 M作平面 PAB的平行线 MN，并证明；
（2）若 ，证明：平面 PAB⊥平面 PBC；
【解答】解：（1）如图，连接 MC，直线 MC即为直线 MN，
证明：取 PA的中点 E，连接 ME，则 ，
因为 ，
所以 BC∥ME，BC＝ME，
所以四边形 BCME为平行四边形，
所以 BE∥MC，又因为 BE 平面 PAB，MC 平面 PAB，
所以 MC∥平面 PAB．............................................................................................7分
（2）证明：由 AB⊥AD，且 ，得 BD＝4，
又△PBD为正三角形，则 PB＝PD＝BD＝4，
又 ，
因为 PA2＝AB2+PB2，所以 AB⊥PB，
而 AB⊥AD，BC∥AD，所以 AB⊥BC，又因为 PB∩BC＝B，PB，BC 平面 PBC，
所以直线 AB⊥平面 PBC，又因为 AB 平面 PAB，
所以平面 PAB⊥平面 PBC．.................................................................................15分
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于中档题．
18．在△ ABC中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c， sin2B+sin2C＝ sin2A+
．
（1）求 A；
（2）若△ABC外接圆的面积为 2π，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）利用正弦定理化简已知等式可得 ，
由余弦定理可得 ，
且 0＜A＜π，
所以 ；....................................................................................................7分
（2）设△ABC的外接圆半径为 R，由题意πR2＝2π，解得 ，
由正弦定理得 ，
则 ，
由（1）可得： ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
故△ABC面积的最大值 Smax＝ ．......................17分
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式在解三角形中
的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（必修一教材 160页第 6题改编）已知函数 f（x）＝ex﹣k e﹣x是偶函数．
（1）求 k的值；
（2）设函数 g（x）＝a[f（x）﹣2e﹣x]﹣f（2x）﹣8，若不等式 g（x）＜0对任意的 x∈
（1，+∞）恒成立．求实数 a的取值范围；
（3）设 h（x）＝log2f（x），当 m为何值时，关于 x的方程[h（x）﹣1+m] [h（x）﹣1﹣
4m]+2m2+m＝0有实根？
【解答】解：（1）由函数 f（x）是定义域在 R上的偶函数，
则对于 x∈R，都有 f（﹣x）＝f（x），即 e﹣x﹣k ex＝ex﹣k e﹣x，
即对于 x∈R，都有（k+1） ex＝（k+1） e﹣x，
∴k+1＝0，解得 k＝﹣1；............................................................................5分
（2）结合（1）可得 f（x）＝ex+e﹣x，
则 g（x）＝a（ex+e﹣x﹣2e﹣x）﹣e2x﹣e﹣2x﹣8＝a（ex﹣e﹣x）﹣（e2x+e﹣2x）﹣8，
令 t＝ex﹣e﹣x，
∵y＝ex在 R上单调递增，y＝e﹣x在 R上单调递减，
∴ t＝ex﹣e﹣x在 x∈（1，+∞）上单调递增，所以 t＞e1﹣e﹣1，即 ，
则不等式 g（x）＜0对任意的 x∈（1，+∞）恒成立 在 x∈（1，+
∞）上恒成立，
∴ ，
又∵ ，
又∵ t+ ≥2 ＝2 ，当且仅当 t＝ ，即 时，等号成立，
∴ 的最小值为 2 ，即 ，
∴实数 a的取值范围为 ；............................................................11分
（3）令 ex＝u，u＞0，由对勾函数的性质可得当 u＝1时， 取得最小值 2，
∴ f（x）＝ex+e﹣x≥2，则 h（x）＝log2f（x）≥1，
令 p＝h（x）﹣1，则 p≥0，
则原问题转化为关于p的方程（p+m）（p﹣4m）+2m2+m＝p2﹣3mp﹣2m2+m＝0的根的个
数，
对于 p≥0有解，
令 F（p）＝p2﹣3mp﹣2m2+m，则 F（p）表示开口向上的抛物线，
Δ＝（﹣3m）2﹣4（﹣2m2+m）＝17m2﹣4m，
a）当Δ＝17m2﹣4m＝0时，即 或 m＝0，此时对称轴 ，
函数 F（p）在[0，+∞）有唯一零点；
b）当Δ≠0且 F（p）在[0，+∞）有唯一零点时，
F（0）＝﹣2m2+m＜0，可得 m＜0或 ；
c）当 F（p）在[0，+∞）有两个不相等零点时，
解得 ．
综上，当 m∈（﹣∞，0]∪[ ，+∞）时，关于 x的方程[h（x）﹣1+m] [h（x）﹣1﹣4m]
+2m2+m＝ 0有 实
根．........................................................................................................................17分
【点评】本题考查了指数函数、对数函数、对勾函数的性质，考查了转化思想及函数的零
点，属于难题．

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