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高二数学学科练习
注意事项：
1.本卷共 4 页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2.答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。
3.所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效。
4.结束后，只需上交答题卡
选择题部分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知角 的终边上一点 (3,4)，则 ( ) =（ ）
3 3 4 4A． B． C． D．
5 5 5 5
1
2．已知随机变量 ~ (6, )，则 (3 + 2) =（ ）
3
A．14 B．12 C．6 D．4
3．在 2026 年 3 月 15 日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有 4 位志愿者被派往 A、B 两个服务站，
若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ）
A．6种 B．12 种 C．14 种 D．28 种
4．(2 1 )6的展开式中的常数项为（ ）

A．-160 B．-120 C．120 D．160
5．一批产品共有 8件，其中有 3 件次品．随机抽取 2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（ ）
5 13 15 9
A． B． C． D．
14 28 28 14
6．已知有 2 名男生和 3 名女生站成一排，其中女生甲不站在两端，且 2 名男生不相邻的不同站法有
（ ）
A．24 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种

7．若函数 ( ) = 3 + ( > 0)图象的一条对称轴是 = 3，且在(0， )6 有唯一零点，则
的最大值为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．13
8．已知锐角△ 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， ，若 2 = 2 + ，则 的范围为（ ）
A．(1， +∞) B．(1， 3) C．(0，1) D．( 3， +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．某学校组织“传统文化”竞赛，有 X，Y 两类问题，每位参加比赛的同学在两类问题中随机选择
1 1
一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对 X 类问题的概率为 ，答对 Y 类问题的概率为 ，
2 3
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1
甲同学回答 X 类问题的概率为 ，每轮只答一道题，每轮答题互不影响，则下列说法正确的是（ ）
4
3
A．甲同学在第一轮答对试题的概率为
8
2
B．甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是 Y类问题的概率为
5
135
C．甲同学经过三轮答题，答对两道试题的概率为
512
D．甲同学经过了二十四轮答题，答对试题个数的期望为 9
10．已知(2 1)6 = + + 2 + . . . + 60 1 2 6 ，则下列选项正确的有（ ）
A． 1 + 2 + . . . + 6 = 1 B．展开式中 5的系数为 192
C．展开式中的二项式系数最大项为第 3 项 D．当 = 5 时，(2 1)6除以 8 的余数为 1
11．关于函数 ( ) = 3 ，以下结论正确的有（ ）
A． ( ) 9的图象是轴对称图形 B． ( )的最小值为
16
C． ( )是以 为一个周期的周期函数 D． ( )在[0, ]上有 4 个零点
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知随机变量 服从正态分布 ( , 2)， ( > 2) + ( ≥ 4) = 1，则 = _________．
13．将函数 ( ) = ( + ) 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 ( )的图象，若函数 ( )是
4 3
奇函数，则| |的最小值为_________．
14．甲、乙、丙、丁 4 名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外 3 人中
的 1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外 3人中的 1 人，如此不停地传下去，假设传出的
球都能被接住。则第 3 次传球之后球在乙手中的概率为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）函数 ( ) = ( + )( > 0 ， > 0，0 < < )2 的图象如图所示，
（1）求函数 ( )的解析式；
（2）将函数 ( )的图象所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标保持不变，得到函数 ( )的图象，

求函数 ( )在[0, ]2 的最大值和最小值.
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1
16．（15 分）已知(3 + ) 展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为 64.

（1）求 ；（2）求该展开式中的有理项.
17．（15 分）2026年春节期间，某超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过 500元（含 500元）
均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立.
方案一：从装有 10个形状、大小完全相同的小球（其中红球 2个，白球 3个，黑球 5个）的抽奖盒
中，一次性摸出 3个球.其中奖规则为：若摸到 2个红球和 1个白球，享受免单优惠；若摸出 2个红
球和 1个黑球，则消费金额打五折；若摸出 1个红球，2个黑球，则消费金额打八折；其余情况不
打折.
方案二：从装有 10个形状、大小完全相同的小球（其中红球 4个，黑球 6个）的抽奖盒中，有放回
每次摸取 1球，连摸 3次，每摸到 1次红球，立减 100元.
(1)若甲、乙两位顾客均分别消费了 500元，且均选择抽奖方案一，试求甲顾客享受免单优惠且乙顾
客消费金额打八折的概率；
(2)若某顾客消费恰好满 800元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
18．(17 分）在△ 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， ，且 ( 3 + ) = .
（1）求 ；
（2）若 = 3， = 2，求△ 的面积．
8
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19．(17 分）某电竞俱乐部研发的两款 AI 对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共
进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是
(0 < < 1)，各局比赛的结果相互独立，且无平局．
= 2(1)当 时，两款机器人共进行 5 局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为 ，求 的分布
3
列和数学期望；
2 *
(2)当 = 时，若两款机器人共进行 2n 1 n N 且 n 2 局比赛，记事件 Ak 表示“在前 2n 1局比3
赛中星锐赢了 k k 0,1,2, , 2n 1 局”．事件 B 表示“星锐最终获胜”.
求 ( | 2)， ( | 1), ( | )， ( | +1)值；
*
(3)若两款机器人共进行了 2n 1 n N 局比赛，星锐获胜的概率记为Pn；若两款机器人共进行了
2n +1局比赛，星锐获胜的概率记为 Pn 1；若两款机器人共进行了 2n 3局比赛，星锐获胜的概率记
为 P
1
n 2．证明：当 p 1时， P P 2P ．2 n n 2 n 1
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高二数学学科练习参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C A D B C A
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9 10 11
ACD BD ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 1 13. 3 14. 7
4 27
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
15.（1）由图象可知 = 2 ， = 2 = ，∴周期 = ，
2 3 6 2
∴ 2 = ，∴ = 2，∴ ( ) = 2 (2 + ). ........................................3分

将(
, 2)
6 代入 ( )的解析式得，2 = 2 (2 × + )6 ，∴ 2 × + = + 2 6 2 ， ∈ ，
∴ = + 2
6 ， ∈ ，又∵ 0 < < ，∴ =2 6，
∴ ( ) = 2 (2 + )
6 . ..........................................6分

（2） ( ) = 2 ( + )6 ， ...........................................8分
∈ [0, ] + ∈ [ 2 当 2 时， ， ]，∴ ( + ) ∈ [
1
，1]
6 6 3 6 2

∴当 + =6 6即 = 0 时， ( ) = 1，
当 + = 即 = 6 2 3时，， ( ) = 2. ..........................................13分
16.（1）二项式系数之和为2 ， 令 = 1，得所有项的系数之和为4 ，
4
由题意得 = 64，∴ 2 = 64，∴ = 6. ..........................................6分2
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1 3
（2）展开式通项为 +1 = 6(3 )6 (
2) = 6 63
6 2 ， = 0,1,2，...，6
3
当 6 为整数时， = 0，2，4，6. ..........................................9分
2
= 0 时， = 036 = 729 6； = 2 时， = 2 4 31 6 3 63 = 1215 3；
= 4 时， = 4325 6 = 135； = 6 时， = 0 3 = 37 6 .
∴展开式中的有理项为 729 6，1215 3，135， 3. ..........................................15分
17.（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出 2个红球和 1个白球，
选择方案一若消费金额打八折，则需摸出 1个红球和 2个黑球，
2 1
设甲顾客享受到免单优惠为事件 ，则 ( ) = 2 3 = 1×33 =
1
，
10 120 40
1 2
设乙顾客消费金额打八折为事件 ，则 ( ) = 2 53 =
2×10 = 1，
10 120 6
所以甲顾客享受免单优惠且乙顾客消费金额打八折的概率为
( ) = ( ) ( ) = 1 × 1 = 1 . . ...........................................5分
40 6 240
（2）若选择方案一，设实际付款金额为 ，则 的可能取值为 0，400，640，800.
2 1 2 1 ( = 0) = 2 3 = 1×3 = 1 ( = 400) = ， 2 5 = 1×5 = 1，
3 120 40 310 10 120 24
1 2 ( = 640) = 2 5 = 2×10 = 13 ， ( = 800) = 1
1 1 1 = 23,
10 120 6 40 24 6 30
( ) = 0 × 1 + 400 × 1 + 640 × 1 + 800 × 23 = 2210所以 （元）. ..........................................10分
40 24 6 30 3
若选择方案二，设摸到红球的个数为 ，付款金额为 ，则 = 800 100 .
由题意知， ~ (3 2 2 6， )，故 ( ) = 3 × = .
5 5 5
6
所以 ( ) = (800 100 ) = 800 100 ( ) = 800 100 × = 680（元）.
5
因为 ( ) > ( )，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. .........................................15分
18.（1）由正弦定理知 ( 3 + ) = ，
∴ 3 + = ( + ) = + ，
∴ 3 = ，∵ ≠ 0，∴ 3 = ， ..........................................6分
∴ = 3，又∵ 0 < < ， ∴ =

6. ..........................................8分3
5
（2）由（1）知 + = ，∴ ( + ) = 3，6 ∴ =
3，
2 2
∵ = 3，∴ = 3 3， .......................................11分
8 8
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∴
2
= = 16，∴ = 6 3，
2
∴ = 1 = 1 × 6 3 × 1 = 3 3. .......................................17分
2 2 2 2
19.（1）两款机器人共进行 5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值 X 可能的取值有1,3,5，
2
2
1
3 3 2

则 P X 1 C2 C3 2 1 40 80 405 3 5
，
3 3 3 243 243 81
2 4 1 1 4P X 3 C4 1 C1 2 1 80 10 10 5 5 ，
3 3 3 3 243 243 27
5 5
P X 5 C5 2 C0 1 32 1 115 3 5
，
3 243 243 81
X 的分布列为
X 1 3 5
40 10 11
P
81 27 81
E X 1 40 3 10 5 11 185数学期望 . ..........................................7分
81 27 81 81
（2）在前 2 1局比赛中星锐赢的局数 = 2时，第 2 ，2 + 1 局全胜，最终也无法获胜，
所以 ( | 2) = 0；
当 = 1 2 2 4时，仅当第 2 ，2 + 1 局全胜，最终才能赢得比赛，即 ( | 1) = × = ；3 3 9
当 = 时，第 2 ，2 + 1 局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即 ( | ) = 1
1 × 1 = 8；
3 3 9
当 = + 1 时，无论第 2 ，2 + 1 局什么结果，都能最终赢得比赛，即 ( | +1) = 1；
综上所述， ( | 2) = 0， ( | 1) =
4
， ( | 8 ) = ， ( | +1) = 1 ........................11分9 9
（3）由全概率公式可知
Pn 1 C
n 1 n 1
2n 1p 1 p
n p2 Cn pn2n 1 1 p
n 1 1 1 p 2 n n n 1 Pn C2n 1p 1 p
Pn C
n 1 n 1 n 2 n n
2n 1p 1 p p C2n 1p 1 p
n 1 1 p 2
P n n 1n C2n 1p 1 p
n
Cn n n 12n 1p 1 p
n
P n nn C2n 1p 1 p 2 p 1
n
所以 P P Cn nn 1 n 2n 1p 1 p 2 p 1 ，
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1
当 p 1时， Pn 1 Pn 0，2
2n 1 !
n 1 p 1 p
Pn 2 P
n 1 n 1
n 1 C2n 1p 1 p 2p 1 Cn 12n 1p 1 p n 1 !n!又因为
P P n n n nn 1 n C C 2n 1 !2n 1p 1 p 2p 1 2n 1
n 1 !n!
2
4n 2 p 1 p
p 1 p 4p 1 p 4 1 ，n 1 2


因为 Pn 1 Pn 0，所以 Pn 2 Pn 1 Pn 1 Pn ，即 Pn Pn 2 2Pn 1 . .......................................17分
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