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宁波市2026学年第一学期数学高一期末考试（数学试题卷）
必修一
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，3}，集合B={-2，0，1}，则∪B=（　　）
A．{-2} B．{-2，2}
C．{0，1，2} D．{-2，0，1，2}
2．某校组织高一、高二年级学生分别前往甲、乙两地研学。记高一去甲、去乙的人数为p，q，高二去甲、去乙的人数为r，s。已知p+q>r+s且p+r>q+s。下列关于人数的判断中一定正确的是（　　）
A．去甲的高一学生多于去乙的高二学生
B．去甲的高一学生不多于去乙的高二学生
C．去乙的高一学生多于去甲的高二学生
D．以上都不能确定
3．下列函数中，既是奇函数，又在其定义域内单调递增的是（　　）
A． B．f（x）=sinx
C．f（x）=-x3 D．
4．已知，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
5．已知向量，则的最大值是(　　)
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数有最小值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则（　　）
A．，是增函数
B．，是奇函数
C．若有三个不同的零点，，，则
D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则
11．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为 B．
C．的值域为 D．是图象的一个对称中心
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．声压级y（单位：dB的某刻度）与频率f（Hz）满足若lg2≤y<3lg2，则f的取值范围为　 　
13．已知 则cos2α=　 　 .
14．若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为　 　.
四、解答题（15题13分，16-17每小题15分，18-19每小题17分，共77分）
15．已知函数，f（x）的最小正周期为π，且
（1）求ω，φ的值；
（2）求f（x）的单调递减区间.
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）设，的最长边的边长为，求其最短边的边长．
17．已知函数
（1）若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；
（2）对于函数g(x)，若 则称x0为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.
18．已知函数其中。曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为
（1）求m，n的值；
（2）求证：f（x）有两个极值点；
（3）当k>0时，讨论直线y=kx-1与曲线y=f（x）的公共点个数.
19．设抛物线C：的焦点为F，是C上一点且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C的焦点F作互相垂直的两条直线与，且直线与抛物线C相交于A、B两点，直线与抛物线C相交于D、E两点，其中点A、D在第一象限.
（i）求的最小值；
（ii）过F点作x轴的垂线，分别交，于M、N两点，请判断是否存在以为直径的圆与y轴相切，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：函数，
因为的最小正周期为，，所以，所以，
因为，所以，所以，，所以，
则；
（2）解：由（1）可得函数，
令，解得，，
则单调递减区间为
16．【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理，解得，
因为是三角形内角，，所以，
则；
（2）解：由三角形内角和，得，
，
则是钝角，为三角形最大角，对应最长边，
又，可知是最小锐角，对应最短边，
由，得，
由，得，
代入正弦定理，可得
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，在上单调递减，无极值；
当时，令得（负根舍去），
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，所以是的极小值点，
则，所以；
（2）解：由（1）知时，的极小值点为，
假设存在使得的极值点同时也是不动点，即，
则，
令，得，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
所以存在使得，满足，
因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点．
18．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意可得则，，
因为，所以；
（2）解：由（1）得，则，
令，则，
令，解得，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，
，，
故存在，使得，且有，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有两个极值点；
（3）解：令，则，
令，则，
若，则恒成立（不恒为零），
故在上单调递减，又，
当时，，故在上有唯一零点，
即与有唯一交点；
若时，有两个实根，
设这两个实根分别为、，且，则、，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值，为的极大值，且，
由，则，
则
，
由，则，
则有、，
故，则，
又时，，故在上存在唯一零点，
即与有唯一交点；
综上所述：与交点个数为.
19．【答案】（1）解：由抛物线定义可得，解得，则抛物线C的方程为；
（2）解：（i），设，、、、，
则，联立，消去得，
，、，则、，
则
，
故的最小值为，当且仅当时，等号成立；
（ii）由、，
则，
由，则，
同理可得，
故中点为，若以为直径的圆与y轴相切，则该圆半径为，
即有，即，
由，则，即，
整理得，
令，由，可得，
故，
则由，可得，
整理得，，
故该方程无解，即不存在以为直径的圆与y轴相切.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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