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2025～2026学年度第二学期第二次综合训练七年级数学试卷
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　 　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ）
A． B． C． D．
5．近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（ ）
A．15 B．5 C．0.75 D．0.25
6．如图，用尺规作一个角等于已知角，其作图原理是：由△ODC≌△O′D′C′得∠AOB＝∠A′O′B′，其依据的定理是（　 ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
第4题图 第5题图 第6题图
7．等腰三角形的周长是30cm，其中一条边长为6cm，则等腰三角形的腰长为（　　 ）
A．18cm B．6cm或12cm C．12cm D．6cm
8．若，则 的值为（ ）
A． B．8 C．7 D．6
9．如图，都是△ABC的中线，连接，△ABC的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　）
A．1m B．1.3m C．1.6m D．1.9m
第9题图 第10题图
二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分）
11．若代数式是完全平方式，则 ．
12．如图，在△ABC中，分别是△ABC的高和角平分线，，，
则__________度．
13．如图，在网格中，___________．
14．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C＝135°，∠A＝15°，则∠A′DB的度数为　 　 ．
15．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以3cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动
　 　 s时，CF＝AB．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
三、解答题（本大题共3小题，每小题7分， 共21分）
16．先化简，再求值：，其中a = ，.
17．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
（1）转动转盘，转出的数字不大于4的概率是 　 ；
（2）小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3
的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，
请你设计出公平的游戏规则．
18．如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．
（1）求证：AE∥DF．
（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出△ABC的重心．
(2)在已知网格中找出所有格点，使点与△ABC的面积相等．
20．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若，，且c是奇数，试判断△ABC的形状；
(2)化简：．
21．如图，DE是∠BDF的角平分线，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
五、解答题（本大题共2题，22题13分，23题14分，共27分）
22．图形可以形象直观显示数量关系．例如，根据图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）根据图2，直接写出一个代数恒等式：　 　 ；
（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张宽、长分别为a、b的长方形，9张边长为b的正方形纸片，拼成一个面积最小的正方形，则x+y的值为 ；这个正方形的边长为 　 ；(用含a，b的式子表示)
（3）如图4，是4个边长分别为a、b、c的直角三角形和1个边长为c的正方形拼成的大正方形．请根据图4中的图形关系可推导出a、b、c的数量关系式为 ；
（4）如图5，直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB边上的一动点．请利用（3）的结论，求线段CD的最小值．
23.（1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段CP与PQ之间的关系，并说明理由．
【拓展】（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC猜想：线段DE、BD、CE之间的关系，并说明理由．
【应用】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，则△ABD与△CEF的面积之和为 ．参考答案
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1．A 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B 9．B 10．C
二、填空题（本大题共5题，每题3分，共15分）
11． 12．10 13．45° 14．120° 15．2或6
三、解答题（本大题共3小题，每题7分，共21分）
16.解：原式= ………………………… （2分）
= …………………………（4分）
= …………………………（5分）
当 a = ，时，
原式=3×－2×(－2)=3 …………………………（7分）
17．解：（1） ． ……………………………………（1分）
（2）该游戏不公平.理由: ……………………………………（2分）
转动一次转盘共有8种等可能的结果，其中转出的数字为2的倍数的有4种，转出的数字为3的倍数的有2种，
∴P(小明胜)； P(小强胜)＝； ……………………………………（4分）
∵，∴该游戏不公平； ……………………………………（5分）
设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜 ………（7分）
18．解：（1）证明：∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
即BE＝CF， ……………………………（2分）
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）， ………………………………………（3分）
∴∠AEB＝∠DFC，
∴AE∥DF； ………………………………………（4分）
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，………………………………………（5分）
∵∠A+∠D＝144°，
∴∠A＝72°， ………………………………………（6分）
∴∠AEC＝∠A+∠B＝72°+30°＝102°． …………………………（7分）
四、解答题（本大题共3小题，每题9分，共27分）
19．（1）解：如图，点即为所求， ……………………………………（1分）
………………………………………（3分）
（2）解：如图，点，即为所求，
………………………………………（7分）
20.（1）解：∵a，b，c是的三边长
且，， ………………………………（1分）
∴，即，………………………………（2分）
∵c是奇数， ……………………………（3分）
∴，
∴
∴是等腰三角形； ……………………………（4分）
（2）解：∵a，b，c是的三边长
∴，，， ……………………………（6分）
∴ ………………（7分）
∴原式 ………………………（8分）
． ………………………（9分）
21.解（1）∵ ∴ ………………………（1分）
∴， ………………………………………（2分）
∵
∴ ………………………………………（4分）
∴ ∴ ………………………………………（5分）
（2）∵
∴ ………………………………………（6分）
∵，
∴ ………………………………………（8分）
∵
∴ ………………………………………（9分）
五、解答题（本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分）
22.（1）　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．………………………………………（2分）
（2）7, a+3b； ………………………………………（6分）
（3）a2+b2＝c2； ………………………………………（9分）
（4）由（3）可得a2+b2＝c2
∴在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2， ………………………………………（10分）
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝82+62＝100，
∴AB＝10， ………………………………………（11分）
当CD⊥AB时，CD取得最小值 ………………………………………（12分）
此时，
∴CD的最小值为． ………………………………………（13分）
23．解：（1）CP＝PQ，. 理由: …………………………………（1分）
∵，，∴， …………………………………（2分）
∵，AB＝7
∴， ∴， ………………………………………（3分）
在和中，
，
∴； ………………………………………（4分）
∴，CP＝PQ， ………………………………………（5分）
∵，
∴， ………………………………………（6分）
∴ ； ………………………………………（7分）
（2）结论:DE＝BD+CE；理由如下： ………………………………………（8分）
∵∠BDA＝∠BAC，
又∵∠DBA+∠BAD＝180°﹣∠BDA
∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC
∴∠CAE＝∠ABD， ………………………………………（10分）
在△ADB和△CEA中，
∵∠ABD=∠CAE，∠BDA=∠AEC，AB=AC，
∴△ADB≌△CEA（AAS）， ………………………………………（11分）
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE. ………………………………………（12分）
（3）6. ………………………………………（14分）

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