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2025学年七年级第一次适应性测试数学
（全卷120分，120分钟内完成）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知，则的值为（ ）．
A. B. 3 C. 9 D. 27
2. 下列代数式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若，，，则它们的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
4. 小萃在“春假”期间约同学去顺峰山公园放风筝，觉得特别好玩！如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角，下列角中与构成同位角的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 过一点有无数条直线与已知直线平行
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
7. 若可以配成一个完全平方式，则的值为（ ）
A. B. C. 8 D.
8. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④．其中能判断的是（ ）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
10. 有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（ ）
A. 16 B. 20 C. 25 D. 26
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知一个角的度数为，则这个角的余角是__________度．
12. 计算：__________．
13. 在AI智能芯片的果蝇行为轨迹分析实验中，设备记录到一次微型神经电信号的时长为0.00000084秒将0.00000084用科学记数法表示为__________秒．
14. 若，则__________．
15. 如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，则的面积是__________．
三、解答题（本题共8小题，共75分）
16. 计算
（1）①；
②利用乘法公式计算：．
（2）先化简，再求值：，其中，．
17. 如图，已知，点在内部．
（1）过作直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）设直线交于点，请直接写出的度数．
18. 在幂的运算中规定：若（且，、是正整数），则．利用上面结论解答下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，，用含的代数式表示．
19. 如图，已知点在上，，，垂足分别为，，点，在上，交于点，，，请说明：．请补全下面的说明过程并在括号内填上推理依据．
解：，，
，（①__________）
（等量代换），
（②__________）．
（③__________），
（已知），
（④__________）（⑤__________），
⑥__________（内错角相等，两直线平行），
（已知），
（⑦__________）
（⑧__________）
20. 阅读下列材料，完成相应的任务．
平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为．
任务：
（1）小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子；
（2）若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值．
21. “一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示．灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且．
（1）填空：__________．
（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯射线到达之前．若射出的光束交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
22. 综合与实践．
活动主题 设计一款日常的多功能椅子
素材1 座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，顺德家具更是享誉全球． 图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应、、和，椅腿，可绕连结点转动，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．
素材2 图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3 座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4 通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下点与点之间设计成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档，椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
问题解决
（1）根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得，，延长，与地面的夹角为，求__________．
（2）根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长交于点，探究与的数量关系，并说明理由．
（3）根据素材3，4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿于地面的夹角始终为．
①请用表示舒适档时靠背与椅腿的夹角__________．
②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背需要转过多少度？请说明理由．
23. 综合与探究
“数形结合”是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．
【观察探究】
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是____________________；
【拓展应用】根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：
（2）若，，且，求的值；
（3）如图3，在中，，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．
【总结反思】
（4）综合以上内容，结合课本知识，谈谈你对“数形结合”的认识，写一篇不少于100字的小短文．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】64
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】23
【15题答案】
【答案】45
三、解答题（本题共8小题，共75分）
【16题答案】
【答案】（1）①；②
（2），
【17题答案】
【答案】（1）略 （2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】①垂直的定义；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，同位角相等；④；⑤等量代换；⑥；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一直线的两条直线平行
【20题答案】
【答案】（1）
（2）或或．
【21题答案】
【答案】（1）
（2）30秒或110秒
（3）不变；
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）①；②25度
【23题答案】
【答案】（1）
（2）3 （3）79
（4）答案不唯一，合理即可

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