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浙江省宁波市2025-2026学年期末模拟考试
数学模拟试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复平面内与对应的向量坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.的展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. D.4.
4.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.5.
5.已知等差数列中，，，则数列前10项和（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.关于复数，下列说法正确的有（ ）
A.的模为2 B.的共轭复数为
C.对应的点在第四象限 D.
10.已知向量为非零向量，下列命题正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.恒成立
D.若，则
11.下列说法正确的有（ ）
A.若事件相互独立，则
B.二项分布的期望，方差
C.正态分布的图像关于直线对称
D.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点作圆的切线，则切线长为________。
13.在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________。
14.已知函数，则的最大值为________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知等差数列的公差，且成等比数列，。
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
16.（15分）某工厂生产的零件尺寸服从正态分布，规定尺寸在内的零件为合格零件。
（1）求单个零件合格的概率；（参考数据：，）
（2）现随机抽取5个零件，记合格零件数为，求的分布列和数学期望。
17.（15分）已知双曲线。
（1）求双曲线的离心率、渐近线方程；
（2）已知直线与双曲线交于两点，求证：（为坐标原点）。
18.（17分）如图，直三棱柱中，，。
（1）建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标；
（2）求异面直线与所成角的余弦值。
19.（17分）（导数综合：几何意义+零点+抽象函数性质）已知函数。
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）求证：当时，。
参考答案与详细解析
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1.答案：C
解析：解不等式得，{x|x>0.5}，交集取公共部分。
2.答案：A
此时Z=2+i。对应向量坐标为（2，1） 故答案选A。
3.答案：B
解析：二项展开式通项，令得，系数。
4.答案：C
解析：，模长。
5.答案：C
解析：由得公差，，。
6.答案：A
解析：圆标准化，圆心，距离公式修正，重新命题适配：圆心，直线，距离为1，答案A。
7.答案：B
解析：由诱导公式，化简，整理为余弦二倍角形式，最小正周期。
8.答案：C
解析：渐近线，故，，，离心率。
二、多项选择题（每题6分，共18分）
9.答案：ABC
解析：，A正确；共轭复数，B正确；对应点在第四象限，C正确；，D错误。
10.答案：ACD
解析：A：平方得，垂直成立；B：仅能推出，不一定相等，错误；C：向量数量积不等式恒成立；D：平方运算可证垂直，正确。
11.答案：ABD
解析：正态分布图像关于对称，C错误；ABD均为概率基本性质与分布定义，正确。
三、填空题（每题5分，共15分）
12.解析：圆心，半径，点到圆心距离，切线长。
13.解析：建系，向量，，由向量夹角公式计算得余弦值。
14.解析：化简，令，二次函数求最值，最大值为。
四、解答题（共77分）
15.（13分）解析
（1）由题意：，，即，展开化简得，因，故。
联立得，通项公式：。
（2）前n项和。
得分要点：等比中项列式4分，求通项4分，求和5分。
16.（15分）解析
（1）由，，，故合格概率。
（2），分布列：，数学期望。
得分要点：正态概率计算6分，分布列5分，期望3分。
17.（15分）解析
（1）由双曲线方程得，，离心率，渐近线方程。
（2）联立，消去得。
设，韦达定理：。
计算，故，得证。
得分要点：离心率、渐近线6分，联立方程4分，韦达定理运算3分，垂直证明2分。
18.（17分）解析
（1）以为原点，分别为x、y、z轴建系，各点坐标：。
（2）向量，，由夹角公式：
，故异面直线夹角为，余弦值为0。
19.（17分）解析
（1）定义域，，，，切线方程：，化简得。
（2）有两个零点等价于有两个解，令，求导得在单调递增，，故。
（3）证明：令，，在单调递增，，不等式得证。

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