资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
备战2027年高考数学-空间向量与立体几何专项训练
一、选择题
1．（2026·天津）正方体中，下列说法错误的是（　　）
A．AC∥A1C1 B．CC1⊥面ABC
C．面ACD1∥面A1C1B D．面ADD1⊥面ACD1
2．（2026·邯郸模拟）在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·盐山模拟）在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）
A．20 B．24 C．28 D．32
4．（2026高二上·青羊期末）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（　　）
A． B．1 C．2 D．
5．（2026高二上·衡阳期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（　　）
A．12 B． C．16 D．
6．（2026高二上·沧州期末）已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
7．（2026高二上·凉山期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·扬州期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2026高二上·衡阳期末）已知，，，下列说法正确的是（　　）
A．
B．与平行的一个单位向量是
C．
D．平面的一个法向量是
10．（2026高三上·浙江期末）在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（　　）
A．平面
B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C．当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个
D．当时，四面体外接球体积为
11．（2026高二上·青羊期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥外接球的表面积为9π
B．若，则点P的轨迹长度为
C．的最小值为
D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为
三、填空题
12．（2026·成都模拟）已知棱长为的正四面体的外接球球心为，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角的正弦值为　 　.
13．（2026高二上·衡阳期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为　 　.
14．（2025高三上·东莞月考）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．设D为的中点，，平面平面，则二面角的正弦值为　 　．
四、解答题
15．（2026·新高考Ⅱ卷）三棱锥A-BCD中， E在BD上， AE⊥CE， AE⊥DE，CD⊥AD。
（1）证明：CD⊥AB；
（2）若DE =2，BE = 1，AE = ，CD =2 求AD与平面ABC所成角的正弦值.
16．（2026·新高考Ⅰ卷）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离.
17．（2026·广州模拟）斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．
（1）求证：；
（2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．
18．（2026·湖北模拟）如图，已知平行六面体 的底面 ABCD 是边长为a 的菱形，
（1）证明：平面A1ACC1⊥平面 D1DBB1；
（2）对确定的a与b，求使得平行六面体表面积取最大值的θ；
（3）在(2)的条件下，当直线A1C与平面AB1C 所成的角最大时，求a与b的关系.
19．（2026·广州模拟）如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：因为且，，且平面， 所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，平面，平面，平面，所以平面，
则；
（2）解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
易知， ， ， ，
因为 且 ，所以，
所以，，，
设平面 的法向量 ，则，
可得，令，则：，，即，
设与平面所成的角为：
，
则与平面所成的角为.
16．【答案】（1）证明：连接，
在中，因为，分别为，的中点，所以是的中位线，所以，
又因为平面，平面， 所以平面；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，易知，，，
，在直三棱柱中，平面，则，
因为，即，且，所以平面，
则平面的法向量为，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得，
由（1）知平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，
平面 的法向量为，，
则直线到平面的距离，
故直线到平面的距离为1.
17．【答案】（1）证明：取AB中点O，在中，，O为AB中点，
所以，
在中，，，，
由余弦定理，可得，
所以，则，所以，
因为，平面，平面，平面，
又因为平面，所以.
（2）解：由（1）知，且平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
则，
如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
所以，，
设平面法向量为，
则，所以，
可取，
则平面的法向量为，
所以，
化简得，
则（舍）或者，
所以．
18．【答案】（1）证明：以为空间向量的一组基底向量，则，，
因为，所以，
又因为，所以，
又因为，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：平行六面体对面是全等的，
所以在菱形中，面积
在平行四边形，面积
在平行四边形，面积
则表面积，
因为，所以当时，表面积最大；
（3）解：由（2）可知此时平行六面体即为长方体，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，
所以
设平面的法向量为
则，即
令，则，所以
设直线与平面的所成角为
则
当且仅当，即时取得等号，此时取得最大值，直线与平面所成角最大
19．【答案】解：1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面；
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面ACD的一个法向量为，
由得，取得，
设，则m，，，得，
设CP与平面ACD所成的角为，
，
则
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑