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备战2027年高考数学-直线和圆的方程专项训练
一、选择题
1．（2026·杭州模拟）设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（　　）
A．1 B．2 C． D．
2．（2026·运河模拟）已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·盐山模拟）已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·天河模拟）已知点在圆上，点，当最大时，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·承德模拟）已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2026·成都模拟）已知不重合的圆都过点，且均与两坐标轴相切，则圆的公共弦长为（　　）
A．1 B． C． D．
7．（2026高三上·杭州期末）过作直线交圆于另一点，连接和的直线交椭圆于另一点，设直线、的斜率分别为、，则 ( )
A． B． C． D．
8．（2026高二上·龙岗期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025高一下·北仑期中）直线的倾斜角可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高二上·盐田月考）已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（　　）
A．直线l与⊙M相离
B．点P到直线l距离的最小值为
C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
11．（2025高二上·南海月考）已知圆，动圆的半径为1，其圆心在直线上，则（　　）
A．若圆与圆相切，则
B．若圆与圆相交，则
C．若圆与圆相交于A，B两点，则|AB|的最大值为1
D．过圆的圆心作圆的切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
三、填空题
12．（2026·南海模拟）直线与圆相交所得的弦长为　 　．
13．（2026·华侨·港澳台）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则　 　 ．
14．（2026·宁波模拟）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是　 　．
四、解答题
15．（2025高二上·石家庄月考）已知直线，直线过点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
16．（2025高二上·东莞月考）已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
17．（2025高二上·迁安月考）在平面直角坐标系中，圆，以为圆心的圆记为圆，已知圆上的点与圆上的点之间距离的最大值为21.
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程；
（3）已知直线与轴不垂直，且与圆，圆都相交，记直线被圆，圆截得的弦长分别为，.若，求证：直线过定点.
18．（2025高二上·石家庄月考）已知位于轴右侧的圆与轴相切于点，与轴相交于点、两点，且被轴分成的两段弧之比为（如图所示）.
（1）求圆的方程；
（2）若经过点的直线与圆相交于点，两点，且，求直线的方程.
19．（2025高二上·龙岗期末）已知圆，圆的圆心在直线上，且过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率；
（3）判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】3
14．【答案】
15．【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）解：设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：设圆的半径为，由题意可得：，则圆的标准方程为；
（2）解：设圆心到直线到l的距离为，
由题意可得：，解得；
当直线l斜率不存在时，直线，圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设直线，即，
则，解得，即直线，
故直线l的方程为或.
17．【答案】解：（1）易知圆的圆心为，半径为，设半径为，由题意可得，解得，则圆的标准方程为；（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，综上，切线方程为或；（3）设直线的方程为，则圆心，圆心到直线的距离分别为，，几何关系可得：，，.由，可得，整理得，即，即或，则直线为或，故直线过点定点或直线过定点.
（1）解：易知圆的圆心为，半径为，
设半径为，由题意可得，解得，
则圆的标准方程为；
（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
因为直线和圆相切，所以直线到圆的距离为，解得，则切线方程为，
综上，切线方程为或；
（3）解：设直线的方程为，
则圆心，圆心到直线的距离分别为，，
几何关系可得：，
，.
由，可得，整理得，即，
即或，
则直线为或，
故直线过点定点或直线过定点.
18．【答案】（1）解：因为圆位于轴右侧，且与轴相切于点，所以圆心在直线上，
连接，作垂直于轴，垂足为，如图所示：
又因为圆被轴分成的两段弧之比为，所以，
故，可得圆心的坐标为，半径为2.
所求圆的方程为：；
（2）解：当直线的斜率为0时，则直线的方程为，代入圆的方程得，解得，
不妨设，，易知，
，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立，消去得，
即，
即，
，解得或.
设，由韦达定理可得，
则，
，即，
即，
即，
故，
即，即，整理可得，
即，解得或，均满足或，
综上所述，直线的方程为或.
19．【答案】（1）解：设圆的圆心为，
由，可得，解得，
则圆心为，半径为，
圆的标准方程为；
（2）解：设，则，
显然过点的切线斜率存在，过点的切线方程设为，
圆心到切线的距离为1，即，即，
又，故，即，解得，
故，即，即，
圆心到的距离为2，即，
故或，解得或，
若，联立，解得，与矛盾，舍去，
若，联立，解得或0（舍去），
故，所以，
故的斜率为；
（3）解：不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下：
设的方程为，由题意得，圆心到的距离，解得，
圆心到的距离，解得，故，
由垂径定理得，解得或，均不满足要求，
故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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