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备战2027年高考数学-指数函数与对数函数专项训练
一、选择题
1．已知函数f（x）=|lnx|.若a=f（20.3），b=f（30.3），c=f（3-0.5），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a2． a为不为1的任意实数，则 （　　）
A． B． C． D．
3．已知函数 则f(x) (　　)
A．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递增
B．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递减
C．是奇函数，且在区间(0，+∞)单调递减
D．是偶函数，且在区间(0，+∞)单调递增
4．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（　　）
A． B．2 C． D．3
5．已知函数，当函数为奇函数时，为（　　）
A． B． C．0 D．
6．为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（　　）
A．函数的零点的个数一定是3个
B．若集合的解集是，则实数对有2对
C．函数必存在极值
D．函数在处的切线方程为，则
8．若关于的方程在上恰有3个根，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数 则(　　)
A．f(x)一定有零点
B．曲线y=f(x)与直线y=x+b 恒有3个交点
C．若f(x)有3个零点，则它们的和为0
D．曲线y=f(x)上始终存在中心和4个顶点都在其上的菱形
10．已知函数，，.则下列说法正确的是（　　）
A．函数与函数互为反函数
B．函数在区间内有零点
C．若，，均为正实数，且满足，则
D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则
11．对于定义在区间I上的函数，若存在正数，使得不等式对任意不同的实数恒成立，则称函数在区间I上是“-理想函数”，则下列说法正确的有（　　）
A．函数是“2-理想函数”
B．若函数在上是“-理想函数”，则的最小值为
C．设，如果是“2025-理想函数”，且的零点也是的零点，，则方程在区间上有解
D．若函数在上是“1-理想函数”，且，则存在满足条件的函数，存在，使得
三、填空题
12．声压级y（单位：dB的某刻度）与频率f（Hz）满足若lg2≤y<3lg2，则f的取值范围为　 　
13．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为　 　.
14．设定义在上的函数有三个不同的零点，，，且，则的值是　 　．
四、解答题
15．已知函数
（1）若f(x)存在大于零的极值，求a 的取值范围；
（2）对于函数g(x)，若 则称x0为g(x)的不动点.判断是否存在a，使得f(x)的极值点同时也是不动点，并说明理由.
16．已知函数．
（1）当时，求在上的最大值；
（2）当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围；
（3）若．证明：当时，．
17．已知函数其中。曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为
（1）求m，n的值；
（2）求证：f（x）有两个极值点；
（3）当k>0时，讨论直线y=kx-1与曲线y=f（x）的公共点个数.
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，，且，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：．
19．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，，，其中，函数的两个极值点分别为，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】A,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】或
14．【答案】16
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，，在上单调递减，无极值；
当时，令得（负根舍去），
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，所以是的极小值点，
则，所以；
（2）解：由（1）知时，的极小值点为，
假设存在使得的极值点同时也是不动点，即，
则，
令，得，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
所以存在使得，满足，
因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点．
16．【答案】（1）解：当时，
则，，
可知在单调递减，
所以在上的最大值为.
（2）解：当时，，
令，
则，
可得，
则原题意等价于方程仅有一个解，
令，
则，
因为对任意实数m，方程都仅有一个解，
可知在R上为单调函数，且值域为R，
令，
则，
因为当趋近于时，趋近于，
所以恒成立.
（i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意；
（ii）当时，当时，；当时，，
可知在单调递减，在单调递增，
则，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
可知存在唯一零点，
当时，，则；
当时，，则；
可知在单调递增，在单调递减，不符合题意；
（iii）当时，当时，；当时，，
可知在单调递增，在单调递减，
则，
解得，
当时，在定义域内单调递减，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
可知值域为R，符合题意，
综上所述：实数b的取值范围为．
（3）解：当时，，
若证，
即证，
因为，，
所以，
由（1）可知：，
则，
所以
可得，
若证，
即证.
（i）当时，则，
可得，且，
则，
可得，
所以；
（ii）当时，则，
可得，
整理可得，
令，
则，
因为，
所以，
可知在上单调递增，
则，且，
可得，
所以，
综上所述：当时，.
17．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
由题意可得则，，
因为，所以；
（2）解：由（1）得，则，
令，则，
令，解得，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，
，，
故存在，使得，且有，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故有两个极值点；
（3）解：令，则，
令，则，
若，则恒成立（不恒为零），
故在上单调递减，又，
当时，，故在上有唯一零点，
即与有唯一交点；
若时，有两个实根，
设这两个实根分别为、，且，则、，
则当时，，当时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
故为的极小值，为的极大值，且，
由，则，
则
，
由，则，
则有、，
故，则，
又时，，故在上存在唯一零点，
即与有唯一交点；
综上所述：与交点个数为.
18．【答案】（1）解：当时，，
则，
求导得，则，
切线方程为，即．
（2）（ⅰ）解：因为有两个极值点，，
所以有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解，
设，则，
令，，则，
令，得；令，得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，；当时，，且，
，
则的取值范围为．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）得，．
，
欲证，
只需证，
构造，，
则，
令，则，
当时，，则在上单调递增，且，
在时恒成立，
，当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，则，
设方程的两根为，，不妨设，
由，得，
由韦达定理，得，
，
，且是方程的两根，
是的两根，
则，
，
，命题得证．
19．【答案】（1）解：当时，，
所以，
则，
又因为，
所以切线方程为，即.
（2）（i）解：因为函数的定义域为，，
由，得，即，
由题意，可得有三个零点，，，，
令，
则.
①当时，，单调递增，
且当时，；当时，，
由零点存在定理可知存在正数，使得，
令，得；
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在上最多有2个零点，不符合题意；
②当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
若，则，
所以，
则在上单调递减，不可能有三个零点；
若，则，
所以，
且当时，；当时，，
由零点存在定理可知，存在，，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，
所以，即，
又因为，当时，；当时，，
由零点存在定理可知存在三个零点，，，
所以，当有三个零点时，的取值范围是.
（ii）证明：由，
得，
所以也是的零点，
则，
所以，
则，
所以.
又因为的两个极值点分别为，，
所以，是，即的两个变号根，
则直线与有两个不同的交点，其横坐标分别为，，
因为，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，
则，
令，，
则，
因为，
所以，
则，
所以，，，
则，
所以，
则，
所以在上单调递增，
则，
所以，
则，
所以，
则，
所以，
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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