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备战2027年高考数学-平面向量及其应用专项训练
一、选择题
1．已知向量，则的最大值是(　　)
A． B． C． D．
2．已知向量，满足 则 （　　）
A． B． C． D．
3． 已知平面向量 ， 不共线，且，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
4．在中，分别是内角所对的边，若，，，则边（　　）
A． B． C． D．
5．已知单位向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．在中，已知，则向量在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则向量与的夹角为钝角
B．若，则向量在向量方向上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若为的外心，，则为的垂心
10．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（　　）
A．
B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为
C．的最大值为
D．若点是的外心，且，，则
11．我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
三、填空题
12．已知向量满足，则　 　.
13．已知平面向量，，，若，则的最小值为　 　.
14．如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为　 　米．（结果精确到1米）
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16．已知向量．
（1）求向量在向量上的投影向量；
（2）求向量与夹角为钝角，求m的取值范围．
17．已知，，函数．
（1）求函数的最小正周期和对称中心；
（2）若，且，，求的值．
18．如图，在中，，点为外接圆上的一个动点（点在直线两侧）．
（1）若，求的值；
（2）若，求四边形周长的最大值；
（3）若，求．
19．若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
（1）若，且满足，
①求的大小；
②若，求布洛卡角的正切值；
（2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理，
整理得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：，，
，即，解得，则，
.
16．【答案】（1）解：由，
则，，
所以，向量在向量上的投影向量为：.
（2）解：由，
得，，
因为向量与夹角为钝角，
所以，且与不共线，
则，
解得且，
所以m的取值范围为．
17．【答案】（1）解：由题意可知，函数
，
∴函数的最小正周期为，
令，得，
∴函数的对称中心为．
（2）解：由（1）知，则，得，
∵，∴．
∵，∴，
∵，∴．
∴
，
又，∴．
18．【答案】（1）解：根据向量数量积公式可得：
.
（2）解：因为，所以，
所以，所以.
根据余弦定理，
所以.
因为四点共圆，，所以.
设，在中，根据余弦定理，
即，当且仅当时等号成立.
所以解得.
所以四边形的周长为.
（3）解：由得，
所以且，
即，，
所以，得到四边形为等腰梯形，.
设，在中，，
在中，，
所以.
所以.
19．【答案】（1）解：①若，则，得，
因为点满足，则，
在与中，，，
所以与相似，则，
所以，则，
在中，，
因为，所以.
②在中，由余弦定理和三角形面积公式，
得：，
，
同理可得：，
三式相加，可得：。
在内，由余弦定理以及三角形面积公式，
得：，
在，内，
同理可得：，，
三式相等，得，
因为点在内，则
由等比数列性质，得：，
所以，
由①知，，，
所以
则.
（2）解：因为
则，
所以，
在，，中，分别由余弦定理，可得：
，
，
，
三式相加整理，得：，
则，
因为平分，所以，，
则，
由余弦定理，可得：，
所以，
则，所以，
若平分，则存在常实数，使得.
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