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备战2027年高考数学-导数及其应用专项训练
一、选择题
1．（2026·华侨·港澳台）已知是函数的极值点，则(　　)
A．有极大值 B．有极小值
C．有极大值 D．有极小值
2．（2026高二下·广州月考）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高二下·湛江期中）函数在上的最大值为4，则的值为（　　）
A．7 B． C．3 D．4
4．（2026·新高考Ⅰ卷） 已知函数的最大值为1，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高二下·广州月考）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高三上·南山期末）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·东莞期末）已知函数 则在处的切线方程为 （　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高二下·广东期中）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律.在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角.杨辉三角是中国古代数学中十分精彩的篇章.杨辉三角如图所示：
如图，杨辉三角第行的个数依次为，，，，，.现将杨辉三角中第行的第个数乘以，第行的一个数为，得到一个新的三角数阵如图：在这个新的三角数阵中，第行的所有数的和为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2026·青县模拟）若，，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026·唐山模拟）若函数与函数的图象关于y轴对称，则（　　）
A．与有相同的零点
B．为偶函数
C．与有相同的极值点
D．对任意的，都有
11．（2026·天河模拟）对于函数，下面说法正确的有（　　）
A．当时，函数有两个零点
B．当时，函数不存在极值点
C．当最小值为时，
D．当时，函数在区间单调递减
三、填空题
12．（2026高二下·广州月考）若是函数的一个极值点，则　 　.
13．（2026·湖北模拟）已知点 A、B分别为曲线 和 上的动点，过A、B分别作x轴的垂线AD、BC，垂足分别为D、C.若|AD|=2|BC|，|AD|14．（2026·金山模拟）已知是数列的前项和，且，且．若，则　 　．
四、解答题
15．（2026·华侨·港澳台）已知，函数，．
（1）求的极值；
（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．
16．（2026高二下·广州月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间以及极值；
（2）求函数在上的最值.
17．（2026·新高考Ⅱ卷）已知函数 曲线y=f（x)在点（0， f（0))处的切线方程为y=-2x+1.
（1）求a，b；
（2）当x>0时，f（x+m)-f（x)>m，求m的取值范围；
（3）当x>0时，f（x+k)+f（k-x)>2f（k)，求k的最小值.
18．（2026高二下·广州月考）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程.
（2）当时，证明：当时，.
（3）若有两个零点，求a的取值范围.
19．（2026·天津）已知
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.
（2）当时，证明
（3）恒成立.求实数a的最大值
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】B,C
10．【答案】A,B,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为，，
所以，又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增；
所以的极大值为，极小值为；
（2）解：因为，所以，
设过点的切线与切于，
则切线方程为，又其过点，
所以，
所以，所以，
又过点可作曲线的三条切线，
所以与有三个交点，
设，，
则，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当，且时，；当，且时，；
当时，；
所以的极小值为，
所以要使与有三个交点，
则需．
16．【答案】（1）解：因为函数的定义域是，又因为，
令，得；令，得，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为，无极小值.
（2）解：由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则函数在上的最小值为，
因为，所以，
则函数在上的最小值为，
所以.
17．【答案】（1）解：，
由切点在直线上，也在函数图象上，
可得且，解得；
，则切线的斜率为，解得；
故；
（2）解：由（1）知，，
则，
故题意可转化为对任意恒成立，
令，，
则，
当时，由且，
则，即，
则在上单调递增，又，
要使对任意恒成立，则，解得；
当时，不成立；
当时，，，且，
则，
即，则在上单调递减，
又当时，，不满足题意；
综上所述，的取值范围为；
（3）解：由，
可得，
则，即，
则，
由，可知，则，
故原不等式可转化为，
由，
设，，
则，
设，，令，
则，，
由，
再令，
，故在上单调递增，
故，则，故在上单调递增，
所以，即，故在上单调递减，
又由洛必达法则可知，
故要使当时，恒成立，则，
即的最小值为.
18．【答案】（1）解：当时，，则，
从而，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
（2）证明：设，则.
显然在上恒成立，所以在上单调递减.
又，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
故，即当时，.
（3）解：由题意可得.
设，则.
①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增.
又，所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，所以只有一个零点，故不符合题意.
②若，则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，又，
所以存在唯一的，使得.
当时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减.
又，所以，又当时，，
所以恰有两个零点，则符合题意.
③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以只有一个零点，则不符合题意.
④若，则当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
又，所以，又，
所以存在唯一的，使得.
当时，，当时，，
则在，上单调递增，在上单调递减.
又，所以，又当时，，
所以恰有两个零点，则符合题意.
综上，a的取值范围为.
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
易知，，
则曲线在点处的切线方程为：，即；
（2）解：因为，即，可得，
令，，则，
设，，
当时，则，
当时，则，
因为，则，可得，即，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以在内恒成立，
且，即在内恒成立，
所以在上恒成立；
（3）解：①当时，设，
构造函数，
则，
令，
所以，
由于在上单调递增，
所以，则在上单调递减，
故，则在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立；
令，所以，
所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，
即在上恒成立，
故，
令，则，
对于，令，则，
变形得，
裂项求和得，，
，
对题设不等式左边取对数放缩：
，
，
对题设不等式右边取对数放缩：，
当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；
②当时，若，恒成立，
此时原不等式右侧，只需证明：，
由（2）问结论可得：，
对于二项式展开，
两边取对数，，
又，
因此，，
所以原不等式成立，则的最大值为.
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