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备战2027年高考数学-圆锥曲线的方程专项训练
一、选择题
1．（2026·北京）已知双曲线的一条渐近线为则a=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．9
2．（2026·湖北模拟）已知椭圆 的离心率为e，点(1，e)在C上，则b=(　　)
A．1 B． C． D．2
3．（2026·新高考Ⅰ卷） 已知抛物线和均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（　　）
A．12 B． C．6 D．
4．（2026·保定模拟）已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A，B是双曲线上的两点，，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高三上·惠州期末）已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（　　）
A． B． C．1 D．
6．（2026高二上·凉山期末）如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·叙永期末）已知点F为椭圆的右焦点，点P是椭圆C上的动点，点Q是圆上的动点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·四川期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2026·邢台模拟）已知直线被双曲线截得的弦长为，则下列直线中被截得的弦长也为的有（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026·张家口模拟）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（　　）
A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．的最大值为3
11．（2026·贵阳模拟）古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为，则曲线的离心率为．如图，圆锥的底面半径为4，母线长为12，是圆锥的一个轴截面，为中点．过两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆．则（　　）
A．椭圆的长轴为
B．椭圆的离心率为
C．与的交点是椭圆的一个焦点
D．内接于椭圆的菱形周长最大值为20
三、填空题
12．（2026·上海）已知A，B，C为一椭圆4 个顶点和2个焦点中任意三个， ，则该椭圆的离心率为　 　.
13．（2026·华侨·港澳台）若抛物线上纵坐标为的点到其焦点的距离为，则　 　 ．
14．（2026·天津）在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有　 　.
①若M与抛物线焦点重合，则
②
③
④
⑤
四、解答题
15．（2026·华侨·港澳台）已知椭圆：的离心率为，右顶点为．
（1）求的方程；
（2）设，为上两点，直线的斜率为，，求的面积．
16．（2026高二下·湛江期中）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于A、B两点.
①求弦长；
②求证：.
17．（2026·湖北模拟）已知双曲线L 的左、右焦点分别为 ，离心率为2，M为E上的动点，且M 到两焦点的距离的差的绝对值为2.
（1）求 E 的方程；
（2）过点M 作斜率为和 的直线，分别与 E 交于点G、H，求|GH|的最小值；
（3）过点 F1 的直线l1交E于A、B 两点，过点 F2的直线l2交E于C、D 两点，l1与l2交于点 P，且l1与l2的斜率之积为 证明：△PAD 与 △PBC 面积的乘积为定值.
18．（2026高二上·青羊期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，过作直线，交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为．
（i）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）若直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围．
19．（2026高三上·望城期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，点的坐标为，且为的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率不为0的动直线过点交椭圆于，两点，直线，交于点，直线AD，BC交于点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明为定值；
（ii）以为直径的圆被轴所截得的弦长是否为定值 如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】4
14．【答案】②④
15．【答案】（1）解：由已知，因为，所以，所以，
则椭圆方程为
（2）解：因为直线的斜率为，且过点，所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立直线与椭圆方程，解得或，
所以，所以，
，因为，
所以的面积为
16．【答案】（1）解：，化为标准形式：，
，右顶点A，
设抛物线的方程为，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，
抛物线的方程；
（2）证明：，消去得，
设，则
，
①.
②，
.
17．【答案】（1）解：由题意可得，，因为，所以，则，
故双曲线方程为；
（2）解：设，则， ，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
直线的方程为，
由得：，
设点坐标为，则是上述方程的解，
所以，整理得，
，同理，
，
所以，
又因为，即，所以，
因为，所以，时取等号，所以；
（3）解：由（1）得，设，
则，化简得，即在双曲线上，
，
直线（即）相交于点，则与互补（或是对顶角），
所以，设直线与的夹角是，则，
所以，
直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，
设对应参数分别为，
把，代入双曲线方程，得，
化简得，
所以，，
在直线上，，
，
又满足，，，
，
，
，
所以，
同理可得，
所以，
直线的斜率为，直线的斜率为，，
，
，
所以.
18．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：（i）若，则直线过定点，
理由如下：
由（1）知，椭圆的左右顶点分别为，
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，其中，
联立方程组，整理得，
则，
设，则，
因为点在椭圆上，则，即，
设直线的斜率为，则，即，
又因为，所以，所以，即，
即，
整理得，
即，
因为，则，所以，
整理得，可得直线的方程为，
当时，可得，所以直线过定点，
且点在椭圆的内部，此时直线与椭圆必相交，
所以直线过定点；
（ii）若直线过点，点在椭圆的内部，直线与椭圆必相交，
因为，
当时，可得，
则，整理得，
设，则，解得 ，即，
则，所以，故的取值范围为.
19．【答案】（1）解：因为点的坐标为，且为的中点，所以，即，
又因为离心率，所以，所以，
则椭圆的方程为；
（2）解：（i）因为直线过点，可设直线的方程为，，
联立，消去整理得，
，，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以，
所以.，
将，代入得
，
即为定值；
（ii）是定值，
因为，由两点式可得直线的方程为；
因为，，由两点式可得直线的方程为.
因为直线，交于点，所以，
将代入得，整理得，
由得，
所以，
同理，直线的方程为，直线的方程为，
联立可解得，
因此，所以直线垂直于轴，
以为直径的圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
令，可得，
将代入直线的方程得，
同理得，
则，
将代入得，
所以，解得，
故弦长为，是定值，
即以为直径的圆被轴所截得的弦长是定值，为.
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