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备战2027年高考数学-函数概念与性质专项训练
一、选择题
1．（2026·华侨·港澳台）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
A． B． C． D．
2．（2026·长沙模拟）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-π，π]的大致图象，则该函数是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·汨罗模拟）已知函数有最小值，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026·涿州模拟）已知函数在区间上的值域为，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．（2026·青县模拟）已知是定义在R上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2026·成都模拟）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·望城期末）已知函数，则（　　）
A． B． C．2 D．4
8．（2026·宜宾模拟）已知定义在上的函数满足，若函数与函数的图象的交点为，，，，则（　　）
A．8 B． C．12 D．
二、多项选择题
9．（2026高一上·丽水期末）下列函数中，满足的是 （　　）
A． B．
C． D．
10．（2026高一上·成都期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，（）都有.记，，，则（　　）
A．为奇函数 B．为偶函数
C． D．
11．（2026·涿州模拟）蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（　　）
A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃
B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃
C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃
D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃
三、填空题
12．（2026·上海）函数f（x)是偶函数，当x≥0时， ，若f（-4)=3，a=　 　.
13．（2026·长沙模拟）若存在且，对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质.请写出一个满足性质的函数是　 　.
14．（2026高一上·丽水期末）以表示集合中最大的数，设，已知或，则的最小值为　 　.
四、解答题
15．（2026高一上·望城期末）已知函数，函数的定义域为.
（1）证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标；
（2）若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式.
16．（2026高一上·绍兴期末）设，，函数，对于集合，记.
（1）若，求和；
（2）已知，设，若，求的最小值；
（3）若，都有，求.
17．（2026高一上·武冈期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
18．（2026高一上·龙马潭期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”.
（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合.
19．（2026高一上·开福期末）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）：求函数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C
12．【答案】-1
13．【答案】（答案不唯一）
14．【答案】
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，
，
，即函数为奇函数，
故函数的图象关于点对称，其对称中心为；
（2）解：函数的图象关于点中心对称，
则，解得，
当时，，
当时，，则，
则，
综上所述，.
16．【答案】（1）解：当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，且，
函数在的值域为，在上的值域为，
所以，；
（2）解：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
且，而，因此，
则的最小值为0；
（3）解：当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此；
当时，函数在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
取，则，，因此，
故，都有时，.
17．【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以当时，，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，当时，，
，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为；
当时，，
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18．【答案】（1）解：函数，则，
则，
因为恒成立，不存在使得，
即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）解：因为是幂函数，所以，解得，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）解：函数是定义在上的“伪奇函数”，则，
即，
在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，即，即，
综上，，则满足整数的取值集合为.
19．【答案】（1）解：由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，得，解得，则，
显然，也满足函数的解析式，故；
（2）解：由题意可得：，
当，时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
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