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第2章一元二次方程预习卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（新教材）
一、单选题
1．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．下列是一元二次方程的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．已知双曲线与直线交于，，若，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
7．若，且一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．若非负整数使得关于的一元二次方程有实数根，且实数满足分式方程，则所有满足条件的的值的和为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上不与点，重合，过点分别作和的垂线，垂足为，．当矩形的面积为时，点的坐标为(　　)

A． B． C．或 D．或
10．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
二、填空题
11．若方程是关于的一元二次方程，则的值为____．
12．已知，是一元二次方程的两个实数根．则的值为________．
13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____．
14．若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
15．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，如．根据这一规则，解决问题：已知三角形的每条边长都是方程的根，则此三角形的周长为______．
16．已知实数、满足，若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为___
三、解答题
17．已知关于的方程．
(1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)如果方程有一个根为2，试求的值．
18．2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张话剧票的原定零售票价；
(2)为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张40.5元，求平均每次降价的百分率．
19．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长．
(1)如果是方程的一个根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．
如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
(1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
(2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
21．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
(1)写出一元二次方程的“友好方程”_______．
(2)已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
(3)已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C C B A D A
1．D
【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得，
∴一次项系数为．
2．C
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为且二次项系数不为，逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故不满足题意；
选项B：中，未说明，若则不是一元二次方程，故不满足题意；
选项D：中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故不满足题意；
选项C：中，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数，满足一元二次方程的所有条件，故满足题意．
3．B
【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法及菱形的性质，先利用因式分解法解方程得到，，则菱形的两对角线长分别为8和2，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．掌握菱形的性质和一元二次方程的解法是关键．
【详解】解：，
，
或，
解得，，
即菱形的两对角线长分别为8和2，
所以菱形的面积．
故选：．
4．C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键．
根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．
【详解】解：由题意得，
整理得方程，
设方程的两根分别为，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴k、异号，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
故选C．
5．C
【分析】本题考查了根与系数的关系：，直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】由题意得：
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选C．
7．B
【分析】本题考查根的判别式，利用非负性求出的值，根据方程有实数根，得到，结合一元二次方程的二次项系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴转化为，
∵一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
解得：且；
故选B．
8．A
【分析】本题考查了分式方程的解法，根据一元二次方程根的情况求出字母的取值范围等知识．先解分式方程求出，即可得到关于的一元二次方程为，根据方程有实数根求出，根据为非负整数且，得到，问题得解．
【详解】解：解分式方程，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
∴关于的一元二次方程为，
∵关于的一元二次方程为有实数根，
∴，
解得，
∵为非负整数且，
∴，
∴所有满足条件的的值的和为．
故选：A
9．D
【分析】由点在线段上可设点的坐标为，，进而可得出，，结合矩形的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再将其代入点的坐标中即可求出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的面积，找出关于的一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：点在线段上不与点，重合，且直线的解析式为，
设点的坐标为，，
，．
矩形的面积为，
，
，，
点的坐标为，或，．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】解：由题意，，运动时间，
，
，
，
解得（舍去）或5，
∴运动时间为5秒时，的面积等于．
故选：A．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程叫做一元二次方程，由此得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
故答案为：．
12．8
【分析】本题考查的是根与系数的关系，根据题意两根之和为，两根之积为，然后化简 得代入数值即可得到答案．
【详解】解：已知，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：8．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个），
根据题意可列出方程：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了解分式方程、一元二次方程根的判别式，先用a表示方程的解，根据解是正数，且，确定a的值，再根据一元二次方程有实数根，确定a的范围，求得整数解计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】∵，
去分母，得
，
去括号，移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得
，
∵分式方程的解是正数，且，
∴且
解得且，
∵方程有实数根，
∴，
解得，
∴且，
∵a是整数，
∴或或或或，
∴符合条件的所有整数a的和为，
故答案为：．
15．6或10或12
【分析】根据新定义建立方程，求出方程的解，再讨论三角形三边的长结合构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得或，
∵三角形的每条边长都是方程的根，
∴当三角形的三边长都为2时，三角形的周长为；
当三角形的三边长都为4时，三角形的周长为；
当三角形的三边长都为2，2，4时，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当三角形的三边长都为2，4，4时，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时三角形的周长为；
综上所述，三角形的周长为6或10或12，
故答案为：6或10或12．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，构成三角形的条件，正确理解题意建立方程并求出方程的解是解题的关键．
16．1
【分析】根据非负数的性质得出a=2，b=-3，根据根与系数的关系可得，，整体代入即可求得．
【详解】解：，
，，
，，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
，，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了非负数的性质以及一元二次方程的根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
17．(1)见解析
(2)2027
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根．
（1）由可得答案；
（2）将代入方程得，代入原式计算可得．
【详解】（1）解：∵，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根为2，
∴，即，
∴．
18．(1)50元
(2)
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，关键是根据题意找出等量关系列方程求解．
（1）设每张话剧票的原定零售票价为x元，根据题意可知，同一批门票在降价前后的数量不变，可列分式方程，求出解后代入检验即可；
（2）设平均每次降价的百分率为m，根据连续两次降价后票价为每张40.5元，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每张话剧票的原定零售票价为x元，
根据题意，得 ，
化为整式方程，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根．
答：每张话剧票的原定零售票价为50元．
（2）解：设平均每次降价的百分率为m，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：平均每次降价的百分率为．
19．(1)
等腰三角形，理由见解析
(2)
，
【分析】（1）将代入方程中可得，结合，，分别为三边的长即可知三角形形状；
（2）由等边三角形性质可得，代入方程后求解即可．
【详解】（1）解：是一元二次方程的一个根，，，分别为三边的长，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：是等边三角形，
，
代入方程得，
，
解得，．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
（2）解：设剪去的正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
21．(1)
(2)，互为倒数，证明见解析
(3)
【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．
（1）根据“友好方程”的定义，即得答案；
（2）求出方程的解，，即得猜想，分别求方程和的根，可验证；
（3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根或，即，整理方程得，即得答案．
【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：，
故答案为：；
（2）解：，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程的两根为，
“友好方程”的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）解：∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”，
即的两根为，
则，
即中或，
∴该方程的解为．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程的两根为，
故答案为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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