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第13讲 三角初步(锐角的正弦余弦与正切)
高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解锐角正弦、余弦和正切的定义，能根据直角三角形边长求三角函数值。
掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小。
掌握同角三角函数的关系（sin α+cos α=1，tanα=sinα/cosα）。
掌握互余两角三角函数的关系（sinα=cos(90° α)等）。
熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能进行相关计算。
能使用计算器求锐角三角函数值。
知识梳理 · 核心知识点
☆1.锐角的正弦与余弦
知识点① 锐角的正弦、余弦
1. 锐角的正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用 表示。在Rt△ABC中，若∠C = 90°，直角边 和 分别称为∠A的对边和邻边，而直角边 和 分别称为∠B的对边和邻边。如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正弦记作 ，其值为：
2. 锐角的余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的余弦记作 ，其值为：
提醒：
（1）给定锐角 （），可唯一确定 值；反之，给定 值，亦可唯一确定 值。余弦同理。
（2）当角 在 到 范围内增大时， 的值随着 的增大而增大， 的值随着 的增大而减小。
（3）当 时，，。
【典型例题1】
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，求 、、 和 的值。
破题思路：已知两条直角边，先利用勾股定理求斜边，再根据定义求解。
解：
在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，
∴
【典型例题2】
三角函数 、、 之间的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵ ，且锐角的余弦值随角度增大而减小，
∴ ，故 C 正确。
答案：C
知识点② 正弦、余弦之间的关系
1. 同角的正弦、余弦关系
证明：在Rt△ABC中，∠C = 90°，设 ，，则
提醒（在△ABC中，∠C=90°）：
（1），。
（2）若 或 ，则 。
2. 互余两角的正弦、余弦关系
在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，则
即：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦。
证明：由定义，，，，，故 ，。
【典型例题3】（上海·期中）
已知 ，若 ，则 。
解析：
由 ，得
答案：
【典型例题4】（普陀·一模）
在Rt△ABC中，∠C = 90°，，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
解析：
∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°，∴ 。答案：C
☆2. 锐角的正切
知识点① 锐角的正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正切记作 ，其值为：
提醒
（1）锐角的大小确定后，其正弦、余弦、正切值唯一确定；反之，给定其中一个值，角的大小也唯一确定。
（2）当角 在 到 内增大时， 的值也随 增大而增大。
【典型例题5】
如图，已知∠ACB = 90°，DE⊥AB，垂足为E，AB = 10，BC = 6，求∠BDE的正弦、余弦和正切值。
解：
在Rt△ACB中，AC = 。
∵ DE⊥AB，∠ACB = 90°，∴ ∠DEB = ∠ACB = 90°，又 ∠B = ∠B，
∴ △ACB ∽ △DEB，∴ ∠BDE = ∠A。故
【典型例题6】
如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)，B(3,-1)，C(-1,-3)，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
审题关键：先根据勾股定理求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据正切的定义求出结果，
解析：
由坐标计算：
∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠B = 90°。
∴ 。答案：A
知识点② 锐角的正弦、余弦、正切之间的关系
1. 同一锐角的关系
证明：由定义，，，，故
2. 互余两角的正切关系
在Rt△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则
证明：，，故 。
提醒：在直角三角形中，只要已知两边长，即可求出两个锐角的正弦、余弦和正切值。
【典型例题7】（浦东新·期末）
已知 （ 为锐角），则 。
解析：
∵ ，答案：3
☆3. 求给定锐角的正弦、余弦与正切值
知识点① 特殊锐角的正弦、余弦与正切值
角度α （对斜） （邻斜） （对邻）
30°
45° 1
60°
提醒：根据表格，已知特殊角可求三角函数值，反之，已知函数值可求对应特殊角。
【典型例题8】求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）。
（2）。
（3）。
【典型例题9】
在△ABC中，∠C = 90°，若 ，求 的值。
审题关键：由余弦值得角度，进而求另一锐角的正弦。
解：
∵ ∠C = 90°，，∴ ∠B = 30°，∴ ∠A = 90° - 30° = 60°，
∴ 。
知识点 2 利用计算器求锐角的正弦、余弦或正切值
除特殊角的正弦、余弦或正切值之外，一般需要通过具有功能键 sin、cos、tan（或 tg ）的计算器求出给定锐角的正弦、余弦和正切值，或由给定锐角的正弦、余弦或正切值求得这个锐角的大小。通常，计算器所显示的值为近似值。
【典型例题10】用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）。
答案：A
【典型例题11】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
1. （结果精确到 ）；
2. （结果精确到 ）。
☆ 知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
正弦 sin A = 对边/斜边 角度为锐角
余弦 cos A = 邻边/斜边 角度为锐角
正切 tan A = 对边/邻边 角度为锐角
增减性 sin↑, cos↓, tan↑ (0°~90°) 结合图形记忆
同角关系 sin α+cos α=1, tanα=sinα/cosα 常用于求值
互余关系 sinα=cos(90° α) 角互余
特殊角 30°,45°,60°的函数值 必须熟记
核心考点 ·6大典型考点精讲
【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1–10题）
根据直角三角形边长求三角函数值，先求未知边。
注意对边、邻边、斜边的对应关系。
在网格中求三角函数值，可构造直角三角形。
1．（2026 五华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据正弦的定义求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．（2026 西山区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知AB＝5，∠C＝90°，BC＝3，由余弦定义可得：，即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握余弦定义是解题的关键．
3．（2026 兴隆台区校级三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　）
A． B． C． D．2
【分析】取格点M，连接AM，BM，由正方形网格的特点得BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，由此得CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，则∠B＝∠CPB，在Rt△ABM中，tanB＝tan∠CPB＝AM/BM，再由勾股定理求出AM，BM即可得出tan∠CPB的值．
【解答】解：取格点M，连接AM，BM，如图所示：
由正方形网格的特点得：BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，
∴CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，
∴∠B＝∠CPB，△ABM是直角三角形，
在Rt△ABM中，tanB，
∴tan∠CPB，
又∵正方形网格中的小正方形的边长为1，
∴由勾股定理得：AM，BM，
∴tan∠CPB，
即tan∠CPB的值为．
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特点，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
4．（2025秋 西安校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A．a＝b tanB B．c＝b cosA C． D．
【分析】根据锐角三角函数，确定Rt△ABC中各角的三角函数值，进行判断即可．
【解答】解：如图所示，，
A．由，可得b＝a tanB，选项计算错误，不符合题意；
B．由，可得b＝c cosA，选项计算错误，不符合题意；
C．由，可得，选项计算正确，符合题意；
D．由，可得a＝c cosB，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
5．（2026 丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算．
【解答】解：A、，，选项计算错误，不符合题意；
B、，，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
6．（2026 海珠区校级二模）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　　 ．
【分析】根据题意，作CD⊥AB，运用勾股定理逆定理可得△ACD是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，
∴根据格点可得，AC2＝32+12＝10，CD2＝12+12＝2，AD2＝22+22＝8，
∴AD2+CD2＝AC2，即△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°，
∴在Rt△ACD中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键．
7．（2026 新平县一模）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，则tanC的值为　或　 ．
【分析】根据题意可分两种情况讨论：当点A为直角顶点时，tanC，代入计算即可；当点B为直角顶点时，先根据勾股定理求出BC的长，则tanC，代入计算即可求解．
【解答】解：当点A为直角顶点时，如图，
tanC；
当点B为直角顶点时，如图，
在Rt△ABC中，BC，
∴tanC．
综上，tanC的值为或．
【点评】本题主要考查锐角三角函数、勾股定理，本题属于易错题，题中虽已指明△ABC是直角三角形，但并未指明哪个角为直角，应分情况进行讨论．
8．（2025秋 福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值．
【分析】由勾股定理求出AC的长，由锐角的正弦、余弦和正切定义，即可计算，
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC，
∴sinA，cosA，tanB．
【点评】本题考查锐角三角形函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义，余弦定义，正切定义．
9．（2025秋 灞桥区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值．
【分析】先根据正弦函数的定义求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根据正弦函数的定义求出sinB的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，
∴sinA，
即，
∴AB＝6，
∴AC4，
∴sinB．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形基本知识，属于中考常考题型．
10．（2025秋 红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值．
【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．
【解答】解：根据题意可知，，
∴，，．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
【考点2】锐角三角函数的增减性（第11–16题）
利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。
结合特殊角进行范围判断。
11．（2025 惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　）
A．cos25° B．cos65° C． D．
【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值．
【解答】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°．
故选：A．
【点评】本题考查了余弦函数值的变化，余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小是关键．
12．（2024 义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论．
【解答】解：∵∠A是锐角，且sinAsin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
13．（2024春 同步）已知0°＜α＜90°，随着α增大（　　）
A．sinα减小 B．cosα减小
C．tanα减小 D．α的三角函数值不变
【分析】根据锐角三角函数的增减性即可求解．
【解答】解：当0°＜α＜90°时，sinA随着锐角A的增大而增大；cosA随着锐角A的增大而减小；tanA随着锐角A的增大而增大．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
14．（2025秋 南山区校级月考）比较大小：sin40°　＜　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】根据“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”进行判断即可．
【解答】解：∵40°＜50°，
∴sin40°＜sin50°，
故答案为：＜．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大是正确解答的关键．
15．（2025秋 苏州校级期中）tan60°　＞　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案．
【解答】解：∵60°＞40°，
∴tan60°＞tan40°，
故答案为：＞．
【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握正切值随角度的增加而增加．
16．（2024春 同步）（1）比较大小
①cos47°48′　＜　 cos39°6′；
②tan24°7′　＜　 tan25°7′；
③sin42.7°　＜　 sin52.9°．
（2）锐角a、β满足
①sina＝0.476，sinβ＝0.5043，则a　＜　 β．
②cosa＝0.4376，cosβ＝0.3943，a　＜　 β．
【分析】根据余弦函数，函数值随角度的增大而减小；正弦函数，函数值随角度的增大而增大，即可作出判断．
【解答】解：（1）①cos47°48′＜cos 39°6′；
②tan 24°7′＜tan 25°7′；
③sin 42.7°＜sin 52.9°；
（2）锐角a、β满足①sina＝0.476，sinβ＝0.504 3，则a＜β．
②cosa＝0.437 6，cosβ＝0.394 3，a＜β
故答案为：＜、＜、＜、＜、＜．
【点评】本题主要考查了三角函数的增减性，是需要熟记的内容．
【考点3】同角三角函数的关系（第17–23题）
利用 sin α+cos α=1 求值。
利用 tanα=sinα/cosα 进行转换。
注意开方时取正值（锐角）。
17．（2026 桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据sin2A+cos2A＝1代入计算即可．
【解答】解：∵sinA，sin2A+cos2A＝1，
∴cosA，
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握sin2A+cos2A＝1是正确解答的关键．
18．（2025秋 琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】由锐角的余弦定义得到cosA，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2．
【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵cosA，
∴令AC＝x，AB＝3x，
∴BC2x，
∴tanA2．
故选：B．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义．
19．（2026 盐都区一模）若∠A为锐角，cosA，则sinA＝　　 ．
【分析】根据cosA，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出sinA的值．
【解答】解：由cosA知，
如果设b＝5x，则c＝13x，结合a2+b2＝c2得a＝12x；
∴sinA．
故sinA．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
20．（2025秋 涡阳县月考）比较大小：cos38°　＞　 sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”）
【分析】利用互余关系将sin38°转化为cos52°，再根据余弦函数，角度越大，值越小．
【解答】解：根据互余关系将sin38°转化为cos52°可知：
sin38°＝cos（90°﹣38°）＝cos52°，且38°＜52°，
∴cos38°＞cos52°，
∴cos38°＞sin38°．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键．
21．（2025秋 福建校级月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ．
【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可．
【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知：
cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1，
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键．
22．（2024秋 涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可；
（2）将sinA+cosA两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵sinA，cosA，
∴sin2A+cos2A，
∵∠C＝90°，
∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，
∴sin2A+cos2A＝1．
（2）解：∵sinA+cosA，
∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA cosA，
∵sin2A+cos2A＝1，
∴1+2sinA cosA，
∴sinA cosA．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键．
23．（2025秋 南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中，sinA＝　　 ，cosA＝　　 ，sin2A+cos2A＝　1　 ；
在图②中，sinA1＝　　 ，cosA1＝　　 ，　1　 ．
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来．
（2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值．
【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，从而发现规律；
（2）根据（1）中的规律，即可求解．
【解答】解：（1）如图①，利用三角函数的定义，
∴，，sin2A+cos2A＝1，
图②中，，，，
规律：对于任意锐角β有sin2β+cos2β＝1；
（2）∵β为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0，
结合得出的规律得，
由，得10cos2β＝1，
解得（负值已经舍去）．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点4】互余两角三角函数的关系（第24–31题）
若两角互余，则 sinα=cosβ, tanα·tanβ=1。
常用于已知一个三角函数值求另一个互余角的三角函数值。
24．（2025秋 威远县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据互余两锐角的三角函数之间的关系可直接得出答案．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosB＝sinA，
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的意义，互余两锐角的三角函数之间的关系，理解锐角三角函数的意义是正确解答的前提，掌握互余两锐角的三角函数之间的关系是解决问题的关键．
25．（2026 望江县开学）已知sinα+cosα，0°＜α＜45°，则tanα＝（　　）
A． B． C．或 D．
【分析】设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则，，，由，得到，设c＝5k，则a+b＝7k，由勾股定理得a2+b2＝c2＝25k2，可得a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，由0°＜α＜45°得到a＝3k，b＝4k，根据正切的定义即可求解．
【解答】解：设直角三角形中，锐角α所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则，，，
∵，
∴，
设c＝5k，则a+b＝7k，
由勾股定理可得a2+b2＝c2＝25k2，
∴，
∴a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，
∵0°＜α＜45°，
∴a＜b，
∴a＝3k，b＝4k，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
26．（2025秋 瑶海区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用三角函数的定义及勾股定理进行计算即可进行求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，∴，可设ACx，则AB＝3x，由勾股定理得，BCx，∴tanB故选：D．
【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提．
27．（2026春 梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝　0.6947　 ．
【分析】利用三角函数的互余关系，将 cos46° 转化为 sin44°即可求解．
【解答】解：根据题意可知，44°+46°＝90°，
∴cos46°＝sin（90°﹣46°）＝sin44°＝0.6947．
故答案为：0.6947．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数的关系，掌握三角函数的定义是关键．
28．（2026 安徽一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　　 ．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA．
故答案为：．
【点评】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，一个角的余弦等于它余角的正弦．
29．（2025秋 榆树市校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosB的值为 　　 ．
【分析】根据正切值，设BC＝15x，AC＝8x，勾股定理求出AB的长，再利用余弦的定义进行求解即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，
∴设BC＝15x，AC＝8x，
则AB17x，
∴cosB．
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
30．（2025春 闵行区校级月考）对于锐角α，已知sinα＝cos40°，则α＝　50°　 ．
【分析】根据互余两角三角函数的关系进行计算即可．
【解答】解：由互余两角三角函数的关系可得，sinα＝cos（90°﹣α），
所以α＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握sinα＝cos（90°﹣α）是正确解答的关键．
31．（2025春 海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值．
【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可．
【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴tanA，tanB，sinA，sinB，
∵tanA+tanB，即，
∴，
∵a2+b2＝c2，
∴，
∴ ，
即sinA sinB，
∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA sinB
＝sin2A+cos2A﹣2sinA sinB
＝1﹣2
，
∴sinA﹣sinB＝±．
【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键．
【考点5】特殊锐角三角函数的值（第32–37题）
熟记30°、45°、60°的三角函数值。
含绝对值和平方的非负性求角。
利用公式计算非特殊角（如75°）的三角函数值。
32．（2026 仪征市模拟）在△ABC中，若，则∠C的度数为　75°　 ．
【分析】先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，进而得到∠A＝60°，∠B＝45°，再由三角形内角和定理即可得到答案．
【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，非负数的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键．
33．（2026 城西区校级二模）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：tan75°＝　　 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值知，据此计算即可．
【解答】解：tan75°
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握该知识点是关键．
34．（2026 双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　等边　 三角形．
【分析】根据特殊角的三角函数值分别求出∠A、∠B，再根据等边三角形的判定定理解答．
【解答】解：∵sin60°，tan60°，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、等边三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
35．（2026 广州校级模拟）计算：cos30° tan60°﹣sin45°＝　　 ．（结果保留根号）
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
36．（2026春 北京校级月考）计算：．
【分析】先进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则分别计算出各数，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查的是是特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的运算，熟记运算法则是解题的关键．
37．（2025秋 吉林期末）计算：．
【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式（）2+1
．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【考点6】计算器---三角函数（第38–40题）
正确操作计算器，注意度分秒的输入。
结果保留指定精度。
38．（2025 淮安区模拟）用计算器求tan35°的值，按键顺序是　先按tan，再按35，最后按＝　 ．
【分析】根据计算器的使用，可得答案．
【解答】解：用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan，再按35，最后＝，
故答案为：先按tan，再按35，最后按＝．
【点评】本题考查了计算器，先按锐角三角函数的名称，再按角的度数，最后按等号．
39．（2025春 同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）：
（1）sin28°36'≈　0.4787　 ；
（2）cos85°52'≈　0.0721　 ．
【分析】正确用计算器计算即可得答案．
【解答】解：（1）sin28°36'＝0.4787；
故答案为：0.4787；
（2）cos85°52'＝0.0721．
故答案为：0.0721．
【点评】本题主要考查了用计算器计算三角函数的值，解题关键是正确使用计算器．
40．（2025春 同步）用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′；
（2）tan27.35°；
（3）sin39°57′6″．
【分析】（1）直接利用计算器求出三角函数值即可；
（2）直接利用计算器求出三角函数值即可；
（3）直接利用计算器求出三角函数值即可．
【解答】解：（1）cos63°17′≈0.45；
（2）tan27.35°≈0.52；
（3）sin39°57′6″≈0.64．
【点评】此题主要考查了用计算器求锐角的三角函数值，熟练应用计算器是解题关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1：正弦定义练习2：余弦定义练习3：正切定义练习4：特殊角计算练习5：非负性求角
练习6：混合运算练习7：三角函数综合练习8：计算求值练习9：化简求值练习10：综合运算
【练习1】（2026 盘龙区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义就可以求解．
【解答】解：根据题意画出图形如图所示：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3．则sinA．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边．
【练习2】（2026 兴庆区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA的值等于，则AB的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【分析】根据题意可得，进而可得AB的长．
【解答】解：∵cosA的值等于，
∴，
则，
解得：AB．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握余弦＝邻边：斜边．
【练习3】（2026 青秀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义即可求得tanA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴tanA．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，掌握tanA（a为∠A的对边，b为∠A的邻边）是关键．
【练习4】（2026 南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】直接把tan30°代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝3．
故选：D．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
【练习5】（2026 鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是　　 ．
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由锐角三角函数的定义即可求出sinA的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，
由勾股定理得：，
根据锐角三角函数的定义可得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
【练习6】（2026 惠东县模拟）计算：cos60°　　 ．
【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解．
【解答】解：原式，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则．
【练习7】（2026 旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　90°　 ．
【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【练习8】（2026 钟楼区校级模拟）计算：2sin30°+4cos60°﹣5tan45°．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：2sin30°+4cos60°﹣5tan45°
＝1+2﹣5
＝﹣2．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
【练习9】（2025秋 永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°．
【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值．
【练习10】（2025秋 雨花区期末）计算：（sin30°）2+tan60°﹣（sin45°）2+（cos30°）2．
【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值以及实数的运算方法是正确解答的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：余弦定义作业2：正弦与边长作业3：正切应用作业4：特殊角求角
作业5：分类讨论求正弦作业6：根式与特殊角作业7：网格中的正切作业8：角度大小比较
作业9：正弦与余弦比较作业10：特殊角混合运算
复习建议
熟记定义：正弦、余弦、正切都是直角三角形中边与角的比值，注意区分对边、邻边、斜边。
掌握关系：同角三角函数平方关系和商数关系，互余角三角函数关系，是解题的利器。
特殊角要记牢：30°、45°、60°的三角函数值必须烂熟于心，并能灵活运用。
利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。
计算器操作要规范：注意角度单位，精确度要求。
【作业1】（2026 玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据余弦的定义即可求得答案．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，
则cosA，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【作业2】（2026 道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】根据题意画出图形，明确∠A的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入AB＝3BC即可求解．
【解答】解：如图，∠C＝90°，斜边是AB，∠A的对边是BC，
又∵AB＝3BC，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键．
【作业3】（2026 保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】由可求出CD＝4，由AD＝BD＝8可求出BC的长．
【解答】解：∵，
∴，
∵AD＝BD＝8，
∴CDAD8＝4，
∴BC＝8+4＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键．
【作业4】（2026 响水县二模）已知∠A是锐角，且满足3tanA0，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
【解答】解：∵3tanA0，
∴tanA，
∴∠A＝30°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
【作业5】（2026 海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ．
【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∴sinB，
在Rt△ABC中，当∠A＝90°时，
∵AC＝3，BC＝4，
∴sinB，
综上分析可知，sinB或sinB．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键．
【作业6】（2026 蓬江区模拟）°＝　1　 ．
【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键．
【作业7】（2026 福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ．
【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得．
【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中，
∵AG∥FC，
∴∠BCF＝∠AEB，
∵∠BFC＝90°，
∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则．
故答案为：2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
【作业8】（2024秋 崇川区校级月考）已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
【分析】根据勾股定理，可得AB的长，CD的长，根据锐角三角三角函数的正弦等对边比斜边，可得锐角三角函数的正弦值，再根据锐角三角函数的正弦值随锐角的增大而增大，可得答案．
【解答】解：∠OBA＝∠OCD，理由如下：
由勾股定理，得
AB5，CD15，
sin∠OBA，sin∠OCD，
∠OBA＝∠OCD．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，利用了锐角三角函数的定义，锐角三角函数的正弦值随锐的增大而增大．
【作业9】比较sin57°和cos57°的大小．
【分析】首先判断出cos57°＝sin33°，然后根据当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，判断出sin57°和cos57°的大小关系即可．
【解答】解：∵cos57°＝sin33°，sin57°＞sin33°，
∴sin57°＞cos57°．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
【作业10】（2026 常州校级模拟）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝22
．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
第1页（共1页）第13讲 三角初步(锐角的正弦余弦与正切)
高效提优讲义 2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解锐角正弦、余弦和正切的定义，能根据直角三角形边长求三角函数值。
掌握锐角三角函数的增减性，能比较三角函数值的大小。
掌握同角三角函数的关系（sin α+cos α=1，tanα=sinα/cosα）。
掌握互余两角三角函数的关系（sinα=cos(90° α)等）。
熟记特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值，并能进行相关计算。
能使用计算器求锐角三角函数值。
知识梳理 · 核心知识点
☆1.锐角的正弦与余弦
知识点① 锐角的正弦、余弦
1. 锐角的正弦
直角三角形中一个锐角的对边与斜边之比叫作这个锐角的正弦。
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别用 表示。在Rt△ABC中，若∠C = 90°，直角边 和 分别称为∠A的对边和邻边，而直角边 和 分别称为∠B的对边和邻边。如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正弦记作 ，其值为：
2. 锐角的余弦
直角三角形中一个锐角的邻边与斜边之比叫作这个锐角的余弦。
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的余弦记作 ，其值为：
提醒：
（1）给定锐角 （），可唯一确定 值；反之，给定 值，亦可唯一确定 值。余弦同理。
（2）当角 在 到 范围内增大时， 的值随着 的增大而增大， 的值随着 的增大而减小。
（3）当 时，，。
【典型例题1】
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，求 、、 和 的值。
破题思路：已知两条直角边，先利用勾股定理求斜边，再根据定义求解。
解：
在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 5，
∴
【典型例题2】
三角函数 、、 之间的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵ ，且锐角的余弦值随角度增大而减小，
∴ ，故 C 正确。
答案：C
知识点② 正弦、余弦之间的关系
1. 同角的正弦、余弦关系
证明：在Rt△ABC中，∠C = 90°，设 ，，则
提醒（在△ABC中，∠C=90°）：
（1），。
（2）若 或 ，则 。
2. 互余两角的正弦、余弦关系
在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，则
即：一个锐角的正弦等于它的余角的余弦，一个锐角的余弦等于它的余角的正弦。
证明：由定义，，，，，故 ，。
【典型例题3】（上海·期中）
已知 ，若 ，则 。
解析：
由 ，得
答案：
【典型例题4】（普陀·一模）
在Rt△ABC中，∠C = 90°，，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
解析：
∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°，∴ 。答案：C
☆2. 锐角的正切
知识点① 锐角的正切
直角三角形中一个锐角的对边与邻边之比叫作这个锐角的正切。
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角A的正切记作 ，其值为：
提醒
（1）锐角的大小确定后，其正弦、余弦、正切值唯一确定；反之，给定其中一个值，角的大小也唯一确定。
（2）当角 在 到 内增大时， 的值也随 增大而增大。
【典型例题5】
如图，已知∠ACB = 90°，DE⊥AB，垂足为E，AB = 10，BC = 6，求∠BDE的正弦、余弦和正切值。
解：
在Rt△ACB中，AC = 。
∵ DE⊥AB，∠ACB = 90°，∴ ∠DEB = ∠ACB = 90°，又 ∠B = ∠B，
∴ △ACB ∽ △DEB，∴ ∠BDE = ∠A。故
【典型例题6】
如图，在平面直角坐标系中，点A(2,1)，B(3,-1)，C(-1,-3)，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D.
审题关键：先根据勾股定理求出三角形三边长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后根据正切的定义求出结果，
解析：
由坐标计算：
∵ ，∴ △ABC是直角三角形，且∠B = 90°。
∴ 。答案：A
知识点② 锐角的正弦、余弦、正切之间的关系
1. 同一锐角的关系
证明：由定义，，，，故
2. 互余两角的正切关系
在Rt△ABC中，若∠A + ∠B = 90°，则
证明：，，故 。
提醒：在直角三角形中，只要已知两边长，即可求出两个锐角的正弦、余弦和正切值。
【典型例题7】（浦东新·期末）
已知 （ 为锐角），则 。
解析：
∵ ，答案：3
☆3. 求给定锐角的正弦、余弦与正切值
知识点① 特殊锐角的正弦、余弦与正切值
角度α （对斜） （邻斜） （对邻）
30°
45° 1
60°
提醒：根据表格，已知特殊角可求三角函数值，反之，已知函数值可求对应特殊角。
【典型例题8】求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）。
（2）。
（3）。
【典型例题9】
在△ABC中，∠C = 90°，若 ，求 的值。
审题关键：由余弦值得角度，进而求另一锐角的正弦。
解：
∵ ∠C = 90°，，∴ ∠B = 30°，∴ ∠A = 90° - 30° = 60°，
∴ 。
知识点 2 利用计算器求锐角的正弦、余弦或正切值
除特殊角的正弦、余弦或正切值之外，一般需要通过具有功能键 sin、cos、tan（或 tg ）的计算器求出给定锐角的正弦、余弦和正切值，或由给定锐角的正弦、余弦或正切值求得这个锐角的大小。通常，计算器所显示的值为近似值。
【典型例题10】用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）。
答案：A
【典型例题11】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
1. （结果精确到 ）；
2. （结果精确到 ）。
☆ 知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
正弦 sin A = 对边/斜边 角度为锐角
余弦 cos A = 邻边/斜边 角度为锐角
正切 tan A = 对边/邻边 角度为锐角
增减性 sin↑, cos↓, tan↑ (0°~90°) 结合图形记忆
同角关系 sin α+cos α=1, tanα=sinα/cosα 常用于求值
互余关系 sinα=cos(90° α) 角互余
特殊角 30°,45°,60°的函数值 必须熟记
核心考点 ·6大典型考点精讲
【考点1】锐角的正弦、余弦与正切的意义（第1–10题）
根据直角三角形边长求三角函数值，先求未知边。
注意对边、邻边、斜边的对应关系。
在网格中求三角函数值，可构造直角三角形。
1．（2026 五华区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026 西山区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2026 兴隆台区校级三模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　）
A． B． C． D．2
4．（2025秋 西安校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　）
A．a＝b tanB B．c＝b cosA C． D．
5．（2026 丽江二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026 海珠区校级二模）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为　 　 ．
7．（2026 新平县一模）在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，则tanC的值为　 　 ．
8．（2025秋 福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值．
9．（2025秋 灞桥区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA，求AC，AB及sinB的值．
10．（2025秋 红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值．
【考点2】锐角三角函数的增减性（第11–16题）
利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。
结合特殊角进行范围判断。
11．（2025 惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　）
A．cos25° B．cos65° C． D．
12．（2024 义乌市模拟）若∠A是锐角，且sinA，则（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
13．（2024春 同步）已知0°＜α＜90°，随着α增大（　　）
A．sinα减小 B．cosα减小
C．tanα减小 D．α的三角函数值不变
14．（2025秋 南山区校级月考）比较大小：sin40°　 　 sin50°（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．（2025秋 苏州校级期中）tan60°　 　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）．
16．（2024春 同步）（1）比较大小
①cos47°48′　 　 cos39°6′；
②tan24°7′　 　 tan25°7′；
③sin42.7°　 　 sin52.9°．
（2）锐角a、β满足
①sina＝0.476，sinβ＝0.5043，则a　 　 β．
②cosa＝0.4376，cosβ＝0.3943，a　 　 β．
【考点3】同角三角函数的关系（第17–23题）
利用 sin α+cos α=1 求值。
利用 tanα=sinα/cosα 进行转换。
注意开方时取正值（锐角）。
17．（2026 桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
18．（2025秋 琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　）
A． B．2 C． D．
19．（2026 盐都区一模）若∠A为锐角，cosA，则sinA＝　 　 ．
20．（2025秋 涡阳县月考）比较大小：cos38°　 　 sin38°．（填“＞”或“＝”或“＜”）
21．（2025秋 福建校级月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 　 　 ．
22．（2024秋 涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA，求sinA cosA的值．
23．（2025秋 南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图①中，sinA＝　 　 ，cosA＝　 　 ，sin2A+cos2A＝　 　 ；
在图②中，sinA1＝　 　 ，cosA1＝　 　 ，　 　 ．
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来．
（2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值．
【考点4】互余两角三角函数的关系（第24–31题）
若两角互余，则 sinα=cosβ, tanα·tanβ=1。
常用于已知一个三角函数值求另一个互余角的三角函数值。
24．（2025秋 威远县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
25．（2026 望江县开学）已知sinα+cosα，0°＜α＜45°，则tanα＝（　　）
A． B． C．或 D．
26．（2025秋 瑶海区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
27．（2026春 梅州月考）若sin44°＝0.6947，cos44°＝0.7193，则cos46°＝　 　 ．
28．（2026 安徽一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，则sinB＝　 　 ．
29．（2025秋 榆树市校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则cosB的值为 　 　 ．
30．（2025春 闵行区校级月考）对于锐角α，已知sinα＝cos40°，则α＝　 　 ．
31．（2025春 海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值．
【考点5】特殊锐角三角函数的值（第32–37题）
熟记30°、45°、60°的三角函数值。
含绝对值和平方的非负性求角。
利用公式计算非特殊角（如75°）的三角函数值。
32．（2026 仪征市模拟）在△ABC中，若，则∠C的度数为　 　 ．
33．（2026 城西区校级二模）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：tan75°＝　 　 ．
34．（2026 双塔区校级模拟）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，，则△ABC是　 　 三角形．
35．（2026 广州校级模拟）计算：cos30° tan60°﹣sin45°＝　 　 ．（结果保留根号）
36．（2026春 北京校级月考）计算：．
37．（2025秋 吉林期末）计算：．
【考点6】计算器---三角函数（第38–40题）
正确操作计算器，注意度分秒的输入。
结果保留指定精度。
38．（2025 淮安区模拟）用计算器求tan35°的值，按键顺序是　 　 ．
39．（2025春 同步）用计算器计算三角函数的值（精确到万分位）：
（1）sin28°36'≈　 　 ；
（2）cos85°52'≈　 　 ．
40．（2025春 同步）用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′；
（2）tan27.35°；
（3）sin39°57′6″．
随堂检测 · 精选练习
练习1：正弦定义练习2：余弦定义练习3：正切定义练习4：特殊角计算练习5：非负性求角
练习6：混合运算练习7：三角函数综合练习8：计算求值练习9：化简求值练习10：综合运算
【练习1】（2026 盘龙区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
【练习2】（2026 兴庆区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA的值等于，则AB的长度是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【练习3】（2026 青秀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
【练习4】（2026 南开区三模）计算3tan30°的值等于（　　）
A．3 B． C． D．
【练习5】（2026 鲤城区校级三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，那么sinA的值是　 　 ．
【练习6】（2026 惠东县模拟）计算：cos60°　 　 ．
【练习7】（2026 旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　 　 ．
【练习8】（2026 钟楼区校级模拟）计算：2sin30°+4cos60°﹣5tan45°．
【练习9】（2025秋 永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°．
【练习10】（2025秋 雨花区期末）计算：（sin30°）2+tan60°﹣（sin45°）2+（cos30°）2．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：余弦定义作业2：正弦与边长作业3：正切应用作业4：特殊角求角
作业5：分类讨论求正弦作业6：根式与特殊角作业7：网格中的正切作业8：角度大小比较
作业9：正弦与余弦比较作业10：特殊角混合运算
复习建议
熟记定义：正弦、余弦、正切都是直角三角形中边与角的比值，注意区分对边、邻边、斜边。
掌握关系：同角三角函数平方关系和商数关系，互余角三角函数关系，是解题的利器。
特殊角要记牢：30°、45°、60°的三角函数值必须烂熟于心，并能灵活运用。
利用增减性比较大小：正弦、正切随角增大而增大，余弦随角增大而减小。
计算器操作要规范：注意角度单位，精确度要求。
【作业1】（2026 玉溪模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°．若AB＝3，AC＝5，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【作业2】（2026 道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【作业3】（2026 保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【作业4】（2026 响水县二模）已知∠A是锐角，且满足3tanA0，则∠A的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【作业5】（2026 海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　 　 ．
【作业6】（2026 蓬江区模拟）°＝　 　 ．
【作业7】（2026 福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　 　 ．
【作业8】（2024秋 崇川区校级月考）已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．
【作业9】比较sin57°和cos57°的大小．
【作业10】（2026 常州校级模拟）计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．
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