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第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．设x≠0，则最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．设x∈R，则“x>0”是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正数满足，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知实数，，且满足，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（　　）
A． B．9 C．15 D．20
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．已知正数a，b满足，则（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为上的动点，轴，垂足为，为的中点，为上顶点，则（　　）
A．椭圆的焦距为 B．的最小值为
C．（为原点）是定值 D．的最大值为
11．已知抛物线：的焦点为，若上存在个互不重合的点，，，，满足，下列结论中正确的有（　　）
A．当时，则的最小值为4
B．当时，存在点，，使得点为的重心
C．当时，则的最小值为16
D．当时，则
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．不等式的解集是　 　.
13．已知函数是增函数，则实数a的取值范围是　 　．
14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为　 　．
四、解答题解答题（15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分）
15．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）若，求面积的最大值．
16．在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）为边上一点，且，若，求的最大值.
17．在中，内角所对的边长分别是，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
18．某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足.日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式：
（2）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）：求函数的最小值.
19．已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】16
15．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：，，
，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
.
16．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
整理可得，则，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）解：因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得①，
在中，由余弦定理，得②，
①②联立可得，
在中，由余弦定理得，则，即，
，即，则，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最大值为.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即，解得；
（2）解：，，由余弦定理可得：，
由基本不等式可得：，则，当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
18．【答案】（1）解：由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把，，代入，得，解得，则，
显然，也满足函数的解析式，故；
（2）解：由题意可得：，
当，时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时最小值为，
当，时，，
此时函数单调递减，当时函数值最小，最小值为，
综上所述：函数的最小值为元.
19．【答案】（1）解：椭圆的离心率为，则，即；
由，可得，联立，解得，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：（i）设直线的方程为，其中，且，
联立，整理得，
由韦达定理可得，
则
故为定值；
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离，
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立，整理得，由，解得，
平行直线与之间的距离为，即的最大值为，
的面积为，
则的面积的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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