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数学必修一（人教A版）集合与常用逻辑用语 单元测试
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．设x∈R，则“x>0”是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设集合，，则(　　)
A． B．
C． D．
3．对于任意两个复数z，w，如果满足“z-w∈R”或“z-∈R”，那么就称z与w伴随，如果z与w伴随，则w-i与z+i伴随的充要条件是（　　)
A．Rez+ Rew=0 B．Rez-Rew=0 C．Imz+ Imw=0 D．Imz-Imw=0
4．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知a，b为实数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知全集，集合，集合，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知命题，，那么为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
9．已知曲线，则下列说法正确的（　　）
A．若，则曲线的焦距为4
B．若，则曲线表示双曲线，且其渐近线方程为
C．若曲线表示椭圆，则
D．是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件
10．下列说法正确的是（　　）
A．命题“，”是真命题
B．已知关于的不等式的解集为，则
C．函数的最小值为6
D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件
11．下列四个命题中正确的是（　　）
A．已知集合，若，则
B．函数的最小值为2
C．设，若，则
D．不等式成立的一个充分不必要条件是或
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．若集合A={2，a+1}，且-1∈A，则a=　 　.
13．表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则　 　．
14．称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D中任取x，总存在唯一的满足．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为　 　．
①若为函数，则；②是函数；
③是函数；④是函数；
⑤若为函数，则．
四、解答题（15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分）
15．已知集合，
（1）求集合；
（2）若，，求实数m的取值范围．
16．已知不等式的解集为集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
17．设集合．
（1）全集，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．设函数在非空数集M上的取值集合为N，即，若，则称为M上的“集中函数”．
（1）分别判断，是否为上的“集中函数”，并说明理由；
（2）设，若存在实数b，使得为上的“集中函数”，求实数a的取值范围；
（3）若为上的“集中函数”，求证：．
19．对于函数，若满足，，则称在区间上有性质．
（1）函数在区间上　 　性质，函数在区间上　 　性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）
（2）若函数在上有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数．
①判断在上是否有性质，并说明理由．
②设集合满足，定义函数是定义域为的单调增函数．若，请判断是否也属于，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当，解得或，即必要性不成立，
则“x>0”是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解不等式，结合充分、必要条件的定理判断即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合，
集合，则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合N，再根据集合交集运算求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：设复数，，，，
，，
当和伴随时，或，
，，
若和伴随，则或，
即和伴随的充要条件是，则.
故答案为：C.
【分析】设复数，，，，根据共轭复数的定义，结合复数的加减法运算，以及伴随的定义、充分必要条件的定义求解即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：若，则，即充分性成立；
若，取，满足条件，则，不满足，即必要性不成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】由题意，利用基本不等式，结合特殊值法，以及充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意，移项得，
解得，
所以或，
则时，成立，
但当时，不一定成立，
如，满足，但不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A。
【分析】利用不等式的基本性质和举反例，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：易知集合，，，则．
故答案为：C.
【分析】根据集合补集，交集运算求解即可．
7．【答案】A
【解析】【解答】解：原命题，，是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，
所以为，.
故答案为：A.
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题即可求解．
8．【答案】C
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、若，曲线的方程为是焦点在轴上的椭圆，焦距为，故A正确；
B、若，则曲线的方程为是焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故B正确；
C、若曲线表示椭圆，则解得且，故C错误；
D、若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，
又因为，，所以是曲线表示焦点在轴上的双曲线的充分不必要条件，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】若，曲线表示焦点在轴上的椭圆，求得焦距即可判断A； 若，曲线是焦点在轴上的双曲线，求渐进线方程即可判断B；根据椭圆的定义列不等式组求解即可判断C；根据曲线表示双曲线，列式求得m的范围，再结合充分、必要条件的定义即可判断D.
10．【答案】B,D
【解析】【解答】解：A、例如，但，
可知命题“，”是假命题，该选项错误，不合题意；
B、由题意可知：的两根为，且，
则，可得，所以，该选项正确，符合题意；
C、令，可得，
因为在内单调递增，且当时，，
所以函数的最小值为，该选项错误，不合题意；
D、若，则，
可知方程有2个不相等的实根，且，
所以方程有一正根和一负根，即充分性成立；
若方程有一正根和一负根，设为，则，即必要性成立；
综上所述：“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，该选项正确，符合题意；
故答案为：BD.
【分析】举反例x=0可判断A； 由题意得两根为 ，代入到一元二次方程得 可判断B；由换元法将函数化为 ，根据对勾函数可判断C：： 得一元二次方程判别式及韦达定理可判断充分性；：一元二次方程判别式及韦达定理可得，可判断必要性，可判断D.
11．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：对于选项A：因为集合，
若，则或，
当时，，此时集合A中两个元素相同，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，
解得或（舍去），所以，故选项A正确；
对于选项B：因为函数，
令，则，所以，函数可化为，
根据基本不等式，得，当且仅当时，即当时取到等号，
又因为，所以，原函数取不到最小值2，故选项B错误；
对于选项C：因为，若，则，
根据不等式的基本性质，则不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
所以，故选项C正确；
对于选项D：解不等式，则，
解，得或；
因为，所以，
则不等式的解集为或，
因为或真包含于或，
所以，或是不等式成立的一个充分不必要条件，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【解答】根据集合中元素与集合的关系和元素的互异性，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法和取最值时需要注意等号成立的条件，则判断出选项B；根据不等式的基本性质，则判断出选项C；解分式不等式结合充分不必要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．【答案】-2
【解析】【解答】解：集合，且，则，解得，集合.
故答案为：.
【分析】根据元素和集合的关系列式求解即可.
13．【答案】17
【解析】【解答】解：.
故答案为：17.
【分析】根据康托尔集合理论求解即可．
14．【答案】②⑤
【解析】【解答】解：对于①：对，
对任意的，取，满足，
若，则，
所以，
由，得，且是唯一的，
所以为函数，
但，故①错误；
对于②：因为，
其图象可看作由 的图象向右平移个单位，向下平移2个单位得到，
则的图象关于点中心对称，
所以，对定义域内任意有成立，
函数的定义域为，
值域，
函数在上均为单调函数，
对定义域内任意，取也在定义域内，都有，
若满足，则，
由值域知，则 ，
所以，又因为在上均为单调函数，
则满足的是存在且唯一的，
所以是函数，故②正确；
对于③：因为，定义域为，
取，由，得，
则，解得或，
所以不是唯一的，则不是函数，故③错误；
对于④：因为，取，
由，得，
则，
当时均成立，则不是唯一的，
所以不是函数，故④错误；
对于⑤：若为函数，显然，
则满足的是唯一的 ，
由，
得 ，，
则，
一定可得两根，，
显然，
由函数定义，知，
所以，
则恒成立，所以，
解得．故⑤正确.
故答案为：②⑤.
【分析】利用举例法结合已知条件说明命题不成立，则判断出序号①；根据函数定义的证出函数为函数，则判断出序号②；取时，满足的不是唯一的，再根据函数定义，则判断出函数不是函数，从而判断出序号③；取，满足的有无穷多解，再利用“函数”的定义，则判断出函数不是函数，则判断出序号④；由函数定义得，解一元二次方程得出两根，显然，再求导得出恒成立，从而得出实数的取值范围，则判断出序号⑤，进而找出真命题的序号.
15．【答案】（1）解：解不等式，解得，即集合，
当时，，则，即集合，
则；
（2）解：由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
则实数m的取值范围是.
【解析】【分析】（1）解指数不等式求得集合A，根据对数函数的单调性，求对数函数的值域得集合B，再利用集合的并集运算求解即可；
（2）由（1）求出，再分集合是否为空集，结合集合的包含关系列式求m的范围即可.
（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
16．【答案】（1）解：不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）解：由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
【解析】【分析】（1）由题意将代入 ，解一元二次不等式可得求出集合A，解分式不等式得集合B，由补集定义得，交集、并集的定义得解；
（2）由（1）因式分解求出，由交集定义可得或可求出的范围.
（1）不等式，化为，解得，
当时，，不等式化为，解得，
则，或，
所以，.
（2）由（1）知，，，由，
得或，解得或，
所以实数的取值范围或.
17．【答案】（1）解：由集合，可得，
解不等式，可得，即集合，
则；
（2）解：若，可得，
若，则，即，满足；
若，即，则，解得，
综上，.
【解析】【分析】（1）根据集合补集运算求得，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的交集的定义求解即可；
（2）由，可得，分和讨论，结合集合的包含关系列式求解参数的范围.
（1），而，
故.
（2）因为，故，
若即，则；
若，则，故，
综上，.
18．【答案】（1）解：因为是上的增函数，
所以，
又因为，
所以是上的“集中函数”，
因为是上的增函数，
所以有，
又因为不是子集，
所以不是上的“集中函数”.
（2）解：因为在上的值域，
又因为是开口向上的二次函数，对称轴为，
则分3种情况讨论：
当时，在上单调递增，
则函数的值域，
由，
需满足：
则两个不等式相加消去，
得：，
结合，得；
当时，在上单调递减；在上单调递增，
设表示中最大的数，
则值域.
由，
需满足：
因为，，
所以，
则存在满足条件，
因此均成立；
当，此时在上单调递减，
则函数的值域.
由，
需满足：，
两个不等式相加消去，得：，
解得，
结合，得，
综上所述，实数的取值范围是.
（3）证明：因为，
所以，函数的定义域为，
设是内任意两个实数，且，
则，
所以，
则，
因为，
所以，
所以
，
则，
所以在上单调递减，且，
则的值域，
由“集中函数”定义可得，
得：，
，
对变形：，
对变形：，
所以，
令，，
因为，
所以，
则式子变为：，
因为，
所以
，
又因为，
所以.
【解析】【分析】（1）根据幂函数的单调性求出幂函数的值域，在结合集中函数的定义判断出函数是上的“集中函数”和函数不是上的“集中函数".
（2）先判断出二次函数的图象的对称轴为，开口向上，再分类讨论函数的单调性，当或是函数单调，再验证值域包含于，仅、满足题意；当时函数先减后增，存在，使函数的值域包含于，则区间内均满足，从而得出实数a的取值范围.
（3）用指数函数的单调性和对数函数的单调性判断函数的单调性，由“集中函数”定义得出值域，从而转化为对数不等式，再通过指数变形结合基本不等式求最值的方法，从而得出，进而证出不等式成立.
（1）因为是上的增函数，
所以有，
因为，所以是上的“集中函数”.
因为是上的增函数，
所以有，
因为不是子集，所以不是上的“集中函数”.
（2）因为在上的值域，
又因是开口向上的二次函数，对称轴为，则分3种情况讨论：
当时，在上单调递增，
值域，
由，需满足：
两个不等式相加消去得：，结合，得.
当，在递减、递增，
设表示中最大的数，
值域.
由，需满足：
因为，，
所以，
故存在满足条件，因此均成立.
当，此时在上单调递减，值域.
由，需满足：，
两个不等式相加消去得：，解得.
结合，得.
综上所述，实数的取值范围是.
（3），
所以该函数的定义域为，
设是内任意两个实数，且，则有，
，
，
因为，
所以，
所以
所以在上单调递减，且，
所以值域.
由“集中函数”定义可得，得：
，
对变形：，
对变形：，
所以，
令，，
因为，所以，
则式子变为：，
因为，
所以
，而，
所以.
19．【答案】（1）有；没有
（2）解：因为函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知，且，
解得，
所以，
则，
整理得，
所以，
因为当时，，
所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上所述，的取值范围为.
（3）解： ①由（1）可知在上有性质，
所以，
由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，
同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，得，
若，则，
取，
若，则，
所以，
但，这与是增函数矛盾，则，
当，，
所以，
再根据函数的单调性，
则，
记，，…，，…，
所以，
同理可得，…，，…
因为，
所以，
取，
则取自然对数，
所以，
则属于.
【解析】【解答】（1）解：当时，，
则，
所以，在区间上，有性质；
当时，令，
则，
不满足，，
所以在区间上没有性质.
【分析】（1）根据性质的定义判断出在区间上没有性质.
（2）根据性质的定义可知在上恒成立，再利用对数的运算法则和对数式与指数式的互化公式以及不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（3）①根据性质的定义可知，再结合的单调性可知，从而判断出函数在上有性质.
②由且单调递增可知对任意有，任取，假设推导出假设不成立，从而得到，再构造递推序列可得，再分析的递推关系，从而判断出属于.
（1）因为当时，，即，
所以在区间上，有性质；
当时，令，则，
不满足，，所以在区间上没有性质.
（2）函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知且，解得，
所以，即，
整理得，所以，
因为当时，所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上，的取值范围为.
（3）①由（1）可知在上有性质，所以，
又由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，若，则，
取，若，则，所以，
但，这与是增函数矛盾，故，
当，，所以，
再根据的单调性，则，
记，，…，，…，
所以，同理，…，，…
由于，
所以，
取，故取自然对数，
即，所以属于.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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