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河南省南阳市部分学校2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷
一、单选题
1．小明用科学记数法表示为，则□代表的数字是（ ）
A． B． C． D．
2．学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示：
颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色
学生人数 100 180 220 80 250
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数
3．如图，已知直线，，，则的高是（ ）
A． B． C． D．
4．4月6日，“总汇运动棋弈中原”2026年河南省国际象棋（春季）等级赛在开封市青少年活动中心圆满落下帷幕．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“車”的坐标为，“馬”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
8．菱形周长为20，其中一条对角线长为6，则菱形面积是（ ）
A．48 B．40 C．24 D．12
9．如图是某次测试成绩的箱线图．根据图中的信息，下列判断错误的是（ ）
A．本次测试的最高分是99分
B．本次测试的平均分是79分
C．本次测试成绩的上四分位数是88分
D．本次测试成绩在65~88分的人数占了50%
10．如图，在 中，平分，点是的中点，，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可）
12．某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试（百分制），其中笔试占，面试占．其中一名应试者笔试与面试成绩分别为分，分，则该应试者的招聘成绩是_________分．
13．如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为________．
14．为提升作业批改效率，张老师使用智能批改系统辅助批改数学作业．使用该系统后平均每小时批改的题目数是原来平均每小时批改的题目数的1.5倍，且批改120道题目所用时间比原来节省了2小时，求张老师原来平均每小时批改多少道题目．设张老师原来平均每小时批改x道题目，根据题意列方程为_________．
15．如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为___________．
三、解答题
16．计算与解方程．
(1)计算：；
(2)解方程：．
17．某校为推进“书香校园”建设，对本校的甲、乙、丙三个班级的阅读量（单位：本）进行跟踪统计，并对三个班级10个月的阅读量数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
丙班10个月阅读量数据：3，9，8，5，9，13，10，11，9，13．
三个班10个月的阅读量信息统计表
甲 乙 丙
平均数 10 10
中位数 10 10
方差 4.8 9
根据以上信息回答下列问题：
(1)的值为_________，的值为_________；
(2)根据折线统计图可以判断_________；（填“”“”或“”）
(3)请对该校三个班级学生10个月的阅读量的情况作出评价．（写出两条即可）
18．如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)求△ABC的面积．
19．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．

(1)求证：；
(2)若时，求证：四边形是菱形．
20．已知A，B两地相距，甲由A地出发匀速骑自行车前往B地，其与B地之间的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：）之间的关系如图所示．乙由A地出发以的速度匀速驾车前往B地．
(1)甲的速度为_________；
(2)求乙与B地之间的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：）之间的函数关系式．
21．如图，在正方形 中，点 是 上一点，连接 ，点 是线段 的中点，连接，，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
22．【探究任务】关于分式有一个应用广泛的定理——等比定理：若，则．“善思小组”与“智慧小组”从两个方面来论证等比定理．
(1)善思小组用生活常识的方法来验证等比定理：
如图，调制两杯浓度相同的糖水分别为，，其中含糖量分别为， ，那么两杯糖水的浓度分别为，，则；把它们倒入同一个大烧杯，得到大烧杯糖水浓度为 ．
得出结论：无论多少杯浓度相同的糖水合并后，糖水浓度不变．利用这一试验就说明了等比定理成立．
(2)智慧小组用代数推理的方法来证明等比定理：
证明：设，那么，，……，．
……
请你补充完成智慧小组的证明过程；
【拓展应用】
(3)已知，求的值．
23．如图，在四边形 中，， ，，，．动点 从点 出发，以的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以的速度沿折线向终点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)填空：①__________；（用含 的代数式表示）
②__________；
(2)直线 把四边形 分成两部分，当 为何值时，其中的一部分是平行四边形？
试卷第6页，共7页
《河南省南阳市部分学校2025-2026学年八年级下学期数学期末试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C B B C B A
1．D
解：∵ 左起第一个非零数字为，其前面共有个零，
∴ ，
∴ 代表的数字为.
2．C
解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中喜欢红色的学生人数最多，即红色是最受多数女生喜欢的颜色，符合众数代表的统计意义，
∴可以用众数解释学校选用红色的现象．
3．A
解：如图，过点作，过作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即的高是．
4．C
解：根据题意可建立如下坐标系：
∴“炮”的坐标为．
5．C
解：原式
．
6．B
解：∵为第一象限内的点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：B
7．B
解：过点作于点，
∵，
∴为的中点，
∴，
∵点C为的中点，的面积为4，
∴，
∴，
又∵点A是反比例函数图像上一点，
∴，
∴，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴．
8．C
解：如图，，
菱形的周长为20，
，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得，则，
所以菱形的面积．
故选：C．
9．B
A项：由图可知，箱线图最上方的横线（上须末端）对应的数值是99，这代表数据的最大值，故A项判断正确，不符合题意；
B项：箱线图中间的横线代表中位数，而非平均数，图中显示中位数为79，平均数需要所有数据之和除以数据个数，仅凭箱线图无法直接得出平均数，故B项判断错误，符合题意；
C项：由图可知，图中箱体上沿的横线表示本次测试成绩的上四分位数，即为88分，故C项判断正确，不符合题意；
D项：箱线图的箱体部分（从下四分位数到上四分位数）包含了数据集中间的数值，图中下四分位数为65，上四分位数为88，这意味着成绩在65分到88分之间的数据占总人数的，故D项判断正确，不符合题意．
10．A
解：如图，延长交于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴．
11．（答案不唯一）
解：对角线相等的平行四边形是矩形，即；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……．
12．
解：由题意可得，该应试者的招聘成绩为
（分）.
13．20°
解：由折叠的性质知，∠BEF=∠DEF，∠EBC′、∠BC′F都是直角，
∴BE∥C′F，
∴∠EFC′+∠BEF=180°，
又∵∠EFC′=125°，
∴∠BEF=∠DEF=55°，
∴∠BED=110°，
∴∠AEB=180°-∠BED=70°
在Rt△ABE中，可得∠ABE=90°-∠AEB=20°．
故答案为：20°．
14．
解：设张老师原来平均每小时批改x道题目，
则．
15．
解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
如下图，过点作于点，
∵，
∴，解得，
根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，
连接，如图，则，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的长取最小值，
此时，
∴四边形为矩形，
∴，
∴长的最小值为．
故答案为：．
16．(1)
(2)
（1）解：原式；
（2）解：去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
17．(1)9；9
(2)＞
(3)①甲乙两班阅读量的平均数相同，中位数相同，均高于丙班阅读量的平均数与中位数，说明甲乙两班阅读情况相同，都比丙班好；
②甲班阅读量的方差最小，说明甲班的阅读量比较稳定等（答案不唯一，合理即可）．
（1）解：丙班阅读量的平均数为，
即a的值为9．
将丙班阅读量从小到大排序为：3，5，8，9，9，9，10，11，13，13，
处于第5个和第6个数据为9，9，故中位数为，
即b的值为9．
（2）解：根据折线统计图可得，乙班阅读量的离散程度比甲班阅读量的离散程度大，则乙班阅读量的方差大于甲班阅读量的方差，故．
（3）略．
18．(1)y＝2x+1，y＝
(2)
（1）∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，
∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC BC＝．
19．(1)
证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
(2)见解析
方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形
是平行四边形
∵，
∴是菱形．
（1）略
（2）略
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
20．(1)10
(2)
（1）解：甲的速度为；
（2）解：由题意知，乙的行驶时间为：，
，
当时，乙与B地的距离，
当时，设，
将，代入，得：，
解得，
当时，
综上可知，，
21．(1)证明：连接，
∵正方形，
∴，，
∵点 是线段 的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
(2)．
（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)；；
(2)证明见解析
(3)或
（1）解：大烧杯中，糖水总量为，含糖量为，
∵浓度不变，
∴；
（2）证明：设，那么，，，．
∴，
∴；
（3）解：①当时，
由等比定理可得，，
∴，
∴；
②当时，
∴，
；
综上所述，的值为或．
23．(1)①；②13
(2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．
（1）解：①由题意得；
②如图，过点B作于H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，；
（2）解： Q在 上运动时间为，
∵，
∴Q运动时间最长为，
当点Q在 上时，直线把四边形分成两个部分，不可能存在其中的一部分是平行四边形，
当时，Q在 边上，
此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：
①四边形是平行四边形，如图所示：
∵即，
∴只需，
由题意得，，，，
∴，
解得；
②四边形是平行四边形，如图所示：
∵，
∴只需，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
解得．
综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．
答案第12页，共12页
答案第11页，共12页

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