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1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 学习案
一、基础梳理
【1】概念填空
(1)全称量词与存在量词命题的否定：
命题的类型 命题的符号表示 命题的否定的符号表示 命题的否定的类型
全称量词命题 ___ 存在量词命题
存在量词命题 ___ 全称量词命题
【答案】 ， ，
(2)．命题的否定与原命题的真假性：一个命题和它的______不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
【答案】否定
【2】思考1用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？
【答案】不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“存在一个菱形不是平行四边形”.
【3】思考2为什么存在量词命题的否定一定是全称量词命题？
【答案】因为对“有的”，“存在一个”，“至少一个”等词语的否定是“都没有”，“都不存在”，“全都不”等，所以存在量词命题的否定一定是全称量词命题．
【4】思考3 全称量词命题的否定一定是存在量词命题吗？
【答案】是，因为全称量词的否定一定是存在量词，所以全称量词命题的否定一定是存在量词命题．
【5】思考4判断正误．
（1）命题“”的否定是“”．( )
（2）与的真假性相反．( )
（3）从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“”同时否定．( )
【答案】 错误 正确 错误
【详解】（1）“，”的否定是“，”，故该结论错误．
（2）由特称命题的否定是全称命题可得，该结论正确．
（3）由特称命题的否定是全称命题可得，不是对量词否定，只是对“”否定，同时改量词．
【6】思考5 写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）有的梯形是平行四边形；
（3）锐角都相等；
（4）有的梯形是等腰
【分析】（1）先改变量词再否定结论；
（2）先改变量词再否定结论；
（3）省略了量词所有，在否定时需先补充；
（4）先改变量词再否定结论.
【详解】（1）命题的否定：有些矩形不是平行四边形；
（2）命题的否定：所有的梯形都不是平行四边形；
（3）命题省略了量词“所有”，故其否定为：有些锐角不相等；
（4）命题的否定：每一个梯形都不是等腰梯形.
考点归纳
①全称量词命题的否定；②全称量词命题的否定的真假判断；③存在量词命题的否定；④存在量词命题的否定的真假判断；⑤两种命题的否定的真假判断综合应用；⑥两种命题的否定在求参中的应用.
巩固训练
一、单选题
1．设命题：任一实数的平方都不大于0，则命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ）
A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形 D．存在是菱形的矩形
3．命题“”的否定是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题：，则为（ ）
A． B．
C． D．
5．若命题p：，，则（ ）
A．p是真命题，且为，
B．p是真命题，且为，
C．p是假命题，且为，
D．p是假命题，且为，
6．已知命题p：x∈{x|1A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3
7．“至多有三个”的否定是( )
A．至少有三个 B．至少有四个
C．恰有三个 D．一个也没有
8．已知命题：，，命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
二、多选题
9．若命题“，”的否定为真命题，则实数的值可以为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．下列命题是真命题的有（ ）
A．“，”是真命题
B．“，”的否定是真命题
C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题
D．命题“，”的否定是“，或”
11．已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______．
13．“和都是有理数”的否定形式是___________.
14．若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______．
四、解答题
15．写出下列全称量词命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)，方程有实数根；
(3)，，方程都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0．
16．写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)，．
17．写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
(1)，；
(2)有一个素数是偶数；
(3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
18．已知命题，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．
19．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．
(1)若为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围．
四、参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C A C D B B AB ABD BCD
1．D
【详解】设命题：任一实数的平方都不大于0，则命题的否定是：，.
2．B
【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.
【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，
所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形.
3．C
【详解】因为命题为全称量词命题，其否定为．
4．A
【详解】因为存在量词命题的否定为，
所以命题的否定为，．
5．C
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题并判断真假即可．
【详解】由，可得，所以p是假命题，
且为，．
故选：C．
6．D
【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解.
【详解】因命题p： x∈{x|1又是真命题，即x∈{x|1x恒成立，于是得a≥3，
所以实数a的取值范围是a≥3.
故选：D
7．B
【分析】首先明确命题含义，再理解命题的否定的含义，分析至多三个的含义，则写出其否定.
【详解】“至多有三个”的含义是“一个也没有或有一个或有两个或有三个”，那么其否定为“至少有四个”．
故选：B.
8．B
【分析】先分别判断命题和命题的真假，从而得到，的真假，再根据选项求解
【详解】当时，显然不成立，所以是假命题，是真命题．
当时，显然成立，所以命题是真命题，是假命题．
故选：B
9．AB
【分析】首先写出命题的否定，依题意可得，即可求出参数的取值范围，得解.
【详解】命题“”得否定为“”，
所以命题“”为真命题，即，得.
故选：AB.
10．ABD
【分析】结合全称量词命题与存在量词命题的真假逐个分析解答．
【详解】对于A，当时，，是真命题，故A正确；
对于B，显然“”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确；
对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误；
对于D，命题“”的否定为“或”，故D正确，
故选：ABD．
11．BCD
【分析】先根据命题是假命题得到对应的真命题，然后利用判别式完成计算，从而确定出的可能范围.
【详解】因为命题是假命题，
所以可知“,”为真命题，
所以，所以，
又因为“”可以推出“”， “”可以推出“”，
故选：BCD.
12．
【分析】变形得到，成立，从而得到答案
【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题，
可化为，
即，成立，故只需，
故实数m的取值范围为．
13．和不都是有理数
【详解】命题“和都是有理数”等价于“且”，根据复合命题的否定规则，其否定为“或”，即“和不都是有理数”.
14．
【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围.
【详解】原命题的否定是“”，且是真命题，
则，即，解得.
故的取值范围是.
故答案为：
15．(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行
(2)，方程没有实数根
(3)，，使方程的解不唯一或不存在
(4)存在被5整除的整数，末位不是0
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定.
【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：
存在一个平行四边形，它的对边不都平行.
（2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：
，方程没有实数根.
（3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：
，，使方程的解不唯一或不存在。
（4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为：
存在被5整除的整数，末位不是0.
16．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）（2）将存在量词命题否定为全称量词命题即可，举例判断命题的真假.
【详解】（1）命题的否定：所有的素数都不是偶数．
由于2是素数也是偶数，
因此命题的否定为假命题．
（2）命题的否定：，．
因为当时，，
所以此命题的否定为假命题．
17．(1)“，”，假命题
(2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题
(3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题
【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性.
【详解】（1）命题的否定为“，”，
因为，可得命题的否定是假命题．
（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，
由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．
（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，
若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，
那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．
18．
【分析】根据题意可知命题为真命题，利用参变分离结合存在性问题分析求解.
【详解】因为p的否定为假命题，则命题为真命题，
可化为，当且仅当时，等号成立，
即成立，只需即可，
故实数m的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解；
（2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题，
又由方程有两个不相等的实数根，
所以，
所以实数m的取值范围为；
（2）由（1）有为真命题，则，
因为p，q中一真一假，
所以当真，假时，有，
当假，真时，有，
综上所述，，
所以实数m的取值范围为.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
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