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【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题天津卷（网传）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，3}，集合B={-2，0，1}，则∪B=（　　）
A．{-2} B．{-2，2}
C．{0，1，2} D．{-2，0，1，2}
2．设x∈R，则“x>0”是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=-0.91，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（　　）
A．y与x呈负相关 B．当x=10时，y一定为1359
C．当x=10时，y一定小于1359 D．两变量无线性关系
4．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A．x+sinπx B．x-sinπx C．-x+sinπx D．x·sinπx
5．正方体中，下列说法错误的是（　　）
A．AC∥A1C1 B．CC1⊥面ABC
C．面ACD1∥面A1C1B D．面ADD1⊥面ACD1
6．已知函数f（x）=|lnx|.若a=f（20.3），b=f（30.3），c=f（3-0.5），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a7．设x≠0，则最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
8．已知数列{an}的前n项和为则（　　）
A．68 B．56 C．-3 D．-4
9．已知双曲线的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA|=|FP|，∠FAP=30°，则双曲线离心率为（　　）
A．4 B． C． D．
二、填空题：把答案填在题中的横线上。
10．已知i是虚数单位，化简=　 　.
11．在展开式中x3y的系数为　 　.
12．在△ABC中，BC=4，AC=3，cosA=-则sinB=　 　.
13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回的取三次，回答下列问题：
①三次都没取到黄球的概率是　 　；
②在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是　 　.
14．已知记回答下列问题：
①当时，λ+μ=　 　；
②当时，λ+μ的范围是　 　.
15．在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有　 　.
①若M与抛物线焦点重合，则
②
③
④
⑤
三、解答题：解答写出文字说明、证明过程和计算步骤。
16．函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若上，求f（x）的最大值和最小值；
（3）若求f（α）.
17．在长方体中，
（1）求证：BD⊥面CEF.
（2）求面AEF与面CEF的夹角的余弦值：
（3）求三棱锥A-CEF的体积.
18．已知椭圆C的离心率为椭圆被直线x=b截的线段长为
（1）求C的标准方程；
（2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于是椭圆上顶点.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求的值.
19．等差数列与等比数列满足：
（1）求数列的通项公式：
（2）记使得或x=bk}，记为中的元素个数.回答下列问题：
①求
②求.
20．已知
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.
（2）当时，证明
（3）恒成立.求实数a的最大值
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，集合，则，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据补集的定义先求，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当，解得或，即必要性不成立，
则“x>0”是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解不等式，结合充分、必要条件的定理判断即可.
3．【答案】A
【知识点】变量相关关系；线性相关
【解析】【解答】解：由相关系数，可得变量与呈负相关，故A正确；
由，可得当时，，则约为，故B，C错误；
散点图从左到右呈下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，则变量与呈负线性相关，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据相关系数，可得变量与呈负相关即可判断A；根据回归方程，计算时，的值即可判断BC；根据散点图，可得变量与呈负线性相关，即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可得函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，且当时，，
A、当时，，故A错误；
B、当时，，故B错误；
C、函数，满足，即该函数为奇函数，当时，，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由图可得函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，且当时，，计算特殊点处的函数值即可判断ABD；根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再计算处的函数值，即可判断C.
5．【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
取，易知，，，，，，，，则，，，，
A、由，则，故A正确；
B、根据正方体的性质可知平面，故B正确；
C、设平面的法向量为，则，
令，可得，则；
设平面的法向量为，则，
令，可得，则，
因为，所以平面平面，故C正确；
D、易知平面的一个法向量，由C选项可得平面的法向量为，
因为，所以平面与平面不垂直，故D错误.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
6．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数，
函数在上单调递增，则，
因为指数函数在上单调递增，所以，
所以，
因为，且在上单调递增，
所以，即，则.
故答案为：A.
【分析】函数化为分段函数，再根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断大小关系即可.
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为9.
故答案为：B.
【分析】化简，利用基本不等式求最小值即可.
8．【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列的前项和为，满足，
当时，，即；
当时，，即，
因为，所以，
当时，，即，因为，所以，
当时，，即，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】数列的前项和为，满足，分别取，结合，逐步计算即可.
9．【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设右焦点为，连接，
由，可得，由双曲线的定理可得：，
在中，，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，可得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意作出图形，设双曲线的右焦点为，连接，由，结合双曲线的定义可得，，再在中，利用余弦定理求解即可.
10．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据复数的乘方运算求解即可.
11．【答案】8
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，，
令，，则展开式中的系数为.
故答案为：8.
【分析】写出展开式的通项公式，令，求展开式中的系数即可.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
由正弦定理，可得.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
13．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，
易知箱子里共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个，有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，则三次都没取到黄球的概率：；
设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，则，
三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率.
故答案为：；.
【分析】设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，先计算每次取到不是黄球的概率，再根据独立事件概率乘法公式求三次都没取到黄球的概率即可；设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，计算出至少取到一次红球的概率，再利用条件概率公式求解即可.
14．【答案】2；[1，3]
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，可得，
即，则；
当时 ，将，代入，得，
两边平方展开可得，
代入，，记，可得，
令，，，
则原式变为：，
配方得，
因为 ，，所以 ，即 ，解得，
，
则的取值范围为：.
故答案为：2；.
【分析】由，可得，结合，求得和的值，即可得的值；当时 ，将代入得，展开整理可得，令，，，代入求得，即可求出的取值范围.
15．【答案】②④
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设抛物线上任意两点，
当时，，直线垂直于轴，，
当时，直线的斜率，则直线方程为，
令，则直线与轴的交点横坐标，
则直线与轴的交点横坐标（），
①、由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为，
故由式可得，即，故①错误；
②、直线与直线交轴于点，由式可得点横坐标，
则，故②正确；
③、直线交轴于点，直线交轴于点，
由式可得
，
则，即，故③错误；
④、由式可得，
当点或为原点时，则点也重合于原点，此时；
当点与均不为原点时，即，且，
结合②结论可得，
则，故④正确；
⑤、由②得结论，可得，即，
则
，
当时，不成立，故⑤错误.
故答案为：②④.
故答案为：②④.
【分析】设抛物线上任意两点，分和讨论，求得线与轴的交点横坐标（），再利用对应的关系式求解即可判断①②；由由式可得，将长度和面积转化为纵坐标的关系，化简求解即可判断③④⑤.
16．【答案】（1）解：函数，最小正周期；
（2）解：若，，
由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即，
当，即时，函数有最大值，即，
则函数的最大值为，最小值为；
（3）解：若，由，可得，
，，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）直接利用正弦型函数周期计算公式求解即可；
（2）利用整体法，结合正弦函数性质求解即可；
（3）利用同角三角函数基本关系、正弦、余弦的二倍角公式以及两角和的正弦公式化简求值即可.
17．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
因为，所以，即，
又因为，平面，所以平面；
（2）解：，
设平面的法向量为，则，令，则，可得；
由（1）知平面的一个法向量为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为；
（3）解：，，因为，所以，
则的面积为，
由（2）知，平面的一个法向量为，，
点到平面的距离为，
则三棱锥的体积.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，易得相应点的坐标，利用空间向量法求证即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可；
（3）利用向量法求得点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可.
18．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，
又因为，所以，
将代入椭圆方程得，即，解得，即，
又因为椭圆被直线截得的线段长为，所以，解得，从而，
则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知，，则圆的方程为，
设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示：
则圆心到直线的距离，解得，
易知椭圆上顶点，
当时，直线的方程为，联立，
消元整理得，解得或，
当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时，
当时，直线的方程为，联立，
消元整理化简得，解得或，
则当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时，
综上所述，的值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的离心率求得，再根据，可得，然后将代入椭圆方程，结合截的的线段长为，求得基本量，即可得椭圆方程；
（2）由（1）可知，，则圆的方程为，设直线的方程为，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得，易知椭圆上顶点，分别求得直线方程，联立直线和椭圆方程，求得交点坐标，利用斜率公式求解即可.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，即，解得，
则，；
（2）解：（i）由（1）可得数列，的通项分别为，，
易知为偶数，为奇数，则数列和没有相同项，
根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，
小于的正偶数有个，由，解得，，
所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，
所以；
（ii）当时，中小于等于的项有个，
又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，
所以，
所以，
从到共有项，
又为奇数时，
，
所以
，
所以
令①，
则②，
①-②得，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的应用；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，利用等差、等比数列的通项列方程组，求得基本量，即可求得数列的通项公式；
（2）（i）由（1）可得数列，的通项分别为，，易知为偶数，为奇数，则数列和没有相同项，分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；
（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
20．【答案】（1）解：函数定义域为，，
易知，，
则曲线在点处的切线方程为：，即；
（2）解：因为，即，可得，
令，，则，
设，，
当时，则，
当时，则，
因为，则，可得，即，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以在内恒成立，
且，即在内恒成立，
所以在上恒成立；
（3）解：①当时，设，
构造函数，
则，
令，
所以，
由于在上单调递增，
所以，则在上单调递减，
故，则在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立；
令，所以，
所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，
即在上恒成立，
故，
令，则，
对于，令，则，
变形得，
裂项求和得，，
，
对题设不等式左边取对数放缩：
，
，
对题设不等式右边取对数放缩：，
当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；
②当时，若，恒成立，
此时原不等式右侧，只需证明：，
由（2）问结论可得：，
对于二项式展开，
两边取对数，，
又，
因此，，
所以原不等式成立，则的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）不等式，即，构造函数，，求导，再设，分和两种情况讨论，利用导数判断的单调性，求最值，即可证明不等式恒成立；
（3）当时，构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合裂项求和、放缩证明不等式是否成立；当时，若，恒成立，此时原不等式右侧，只需证明：，利用（2）的结论，结合二项式定理证明求解a的最大值即可.
1 / 1【高考真题】2026年普通高等学校招生全国统一考试数学试题天津卷（网传）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，3}，集合B={-2，0，1}，则∪B=（　　）
A．{-2} B．{-2，2}
C．{0，1，2} D．{-2，0，1，2}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，集合，则，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据补集的定义先求，再根据集合的并集运算求解即可.
2．设x∈R，则“x>0”是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当，解得或，即必要性不成立，
则“x>0”是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】解不等式，结合充分、必要条件的定理判断即可.
3．调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数r=-0.91，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（　　）
A．y与x呈负相关 B．当x=10时，y一定为1359
C．当x=10时，y一定小于1359 D．两变量无线性关系
【答案】A
【知识点】变量相关关系；线性相关
【解析】【解答】解：由相关系数，可得变量与呈负相关，故A正确；
由，可得当时，，则约为，故B，C错误；
散点图从左到右呈下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，则变量与呈负线性相关，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据相关系数，可得变量与呈负相关即可判断A；根据回归方程，计算时，的值即可判断BC；根据散点图，可得变量与呈负线性相关，即可判断D.
4．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A．x+sinπx B．x-sinπx C．-x+sinπx D．x·sinπx
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由图可得函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，且当时，，
A、当时，，故A错误；
B、当时，，故B错误；
C、函数，满足，即该函数为奇函数，当时，，故C正确；
D、当时，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由图可得函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，且当时，，计算特殊点处的函数值即可判断ABD；根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再计算处的函数值，即可判断C.
5．正方体中，下列说法错误的是（　　）
A．AC∥A1C1 B．CC1⊥面ABC
C．面ACD1∥面A1C1B D．面ADD1⊥面ACD1
【答案】D
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究平面与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
取，易知，，，，，，，，则，，，，
A、由，则，故A正确；
B、根据正方体的性质可知平面，故B正确；
C、设平面的法向量为，则，
令，可得，则；
设平面的法向量为，则，
令，可得，则，
因为，所以平面平面，故C正确；
D、易知平面的一个法向量，由C选项可得平面的法向量为，
因为，所以平面与平面不垂直，故D错误.
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项求解判断即可.
6．已知函数f（x）=|lnx|.若a=f（20.3），b=f（30.3），c=f（3-0.5），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：函数，
函数在上单调递增，则，
因为指数函数在上单调递增，所以，
所以，
因为，且在上单调递增，
所以，即，则.
故答案为：A.
【分析】函数化为分段函数，再根据指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断大小关系即可.
7．设x≠0，则最小值为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为9.
故答案为：B.
【分析】化简，利用基本不等式求最小值即可.
8．已知数列{an}的前n项和为则（　　）
A．68 B．56 C．-3 D．-4
【答案】C
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列的前项和为，满足，
当时，，即；
当时，，即，
因为，所以，
当时，，即，因为，所以，
当时，，即，因为，所以.
故答案为：C.
【分析】数列的前项和为，满足，分别取，结合，逐步计算即可.
9．已知双曲线的左焦点为F，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足|FA|=|FP|，∠FAP=30°，则双曲线离心率为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设右焦点为，连接，
由，可得，由双曲线的定理可得：，
在中，，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，可得，则.
故答案为：D.
【分析】由题意作出图形，设双曲线的右焦点为，连接，由，结合双曲线的定义可得，，再在中，利用余弦定理求解即可.
二、填空题：把答案填在题中的横线上。
10．已知i是虚数单位，化简=　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据复数的乘方运算求解即可.
11．在展开式中x3y的系数为　 　.
【答案】8
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，，
令，，则展开式中的系数为.
故答案为：8.
【分析】写出展开式的通项公式，令，求展开式中的系数即可.
12．在△ABC中，BC=4，AC=3，cosA=-则sinB=　 　.
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
由正弦定理，可得.
故答案为：.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合正弦定理求解即可.
13．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回的取三次，回答下列问题：
①三次都没取到黄球的概率是　 　；
②在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是　 　.
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，
易知箱子里共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个，有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，则三次都没取到黄球的概率：；
设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，则，
三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率.
故答案为：；.
【分析】设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，先计算每次取到不是黄球的概率，再根据独立事件概率乘法公式求三次都没取到黄球的概率即可；设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，计算出至少取到一次红球的概率，再利用条件概率公式求解即可.
14．已知记回答下列问题：
①当时，λ+μ=　 　；
②当时，λ+μ的范围是　 　.
【答案】2；[1，3]
【知识点】向量的模；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由，可得，
即，则；
当时 ，将，代入，得，
两边平方展开可得，
代入，，记，可得，
令，，，
则原式变为：，
配方得，
因为 ，，所以 ，即 ，解得，
，
则的取值范围为：.
故答案为：2；.
【分析】由，可得，结合，求得和的值，即可得的值；当时 ，将代入得，展开整理可得，令，，，代入求得，即可求出的取值范围.
15．在平面内，O为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，纵坐标分别为yA、yB、yC、yD，直线AB与直线CD交x轴于点P，直线AC交x轴于点M，直线BD交x轴于点N，以下说法正确的有　 　.
①若M与抛物线焦点重合，则
②
③
④
⑤
【答案】②④
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设抛物线上任意两点，
当时，，直线垂直于轴，，
当时，直线的斜率，则直线方程为，
令，则直线与轴的交点横坐标，
则直线与轴的交点横坐标（），
①、由题意直线交轴于点，若与抛物线焦点重合，则其横坐标为，
故由式可得，即，故①错误；
②、直线与直线交轴于点，由式可得点横坐标，
则，故②正确；
③、直线交轴于点，直线交轴于点，
由式可得
，
则，即，故③错误；
④、由式可得，
当点或为原点时，则点也重合于原点，此时；
当点与均不为原点时，即，且，
结合②结论可得，
则，故④正确；
⑤、由②得结论，可得，即，
则
，
当时，不成立，故⑤错误.
故答案为：②④.
故答案为：②④.
【分析】设抛物线上任意两点，分和讨论，求得线与轴的交点横坐标（），再利用对应的关系式求解即可判断①②；由由式可得，将长度和面积转化为纵坐标的关系，化简求解即可判断③④⑤.
三、解答题：解答写出文字说明、证明过程和计算步骤。
16．函数
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若上，求f（x）的最大值和最小值；
（3）若求f（α）.
【答案】（1）解：函数，最小正周期；
（2）解：若，，
由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即，
当，即时，函数有最大值，即，
则函数的最大值为，最小值为；
（3）解：若，由，可得，
，，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）直接利用正弦型函数周期计算公式求解即可；
（2）利用整体法，结合正弦函数性质求解即可；
（3）利用同角三角函数基本关系、正弦、余弦的二倍角公式以及两角和的正弦公式化简求值即可.
17．在长方体中，
（1）求证：BD⊥面CEF.
（2）求面AEF与面CEF的夹角的余弦值：
（3）求三棱锥A-CEF的体积.
【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，
因为，所以，即，
又因为，平面，所以平面；
（2）解：，
设平面的法向量为，则，令，则，可得；
由（1）知平面的一个法向量为，
则，即平面与平面的夹角的余弦值为；
（3）解：，，因为，所以，
则的面积为，
由（2）知，平面的一个法向量为，，
点到平面的距离为，
则三棱锥的体积.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，易得相应点的坐标，利用空间向量法求证即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角的余弦值即可；
（3）利用向量法求得点到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可.
18．已知椭圆C的离心率为椭圆被直线x=b截的线段长为
（1）求C的标准方程；
（2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于是椭圆上顶点.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求的值.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，
又因为，所以，
将代入椭圆方程得，即，解得，即，
又因为椭圆被直线截得的线段长为，所以，解得，从而，
则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知，，则圆的方程为，
设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示：
则圆心到直线的距离，解得，
易知椭圆上顶点，
当时，直线的方程为，联立，
消元整理得，解得或，
当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时，
当时，直线的方程为，联立，
消元整理化简得，解得或，
则当时，，当时，，由于，所以，
则，，此时，
综上所述，的值为.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆的离心率求得，再根据，可得，然后将代入椭圆方程，结合截的的线段长为，求得基本量，即可得椭圆方程；
（2）由（1）可知，，则圆的方程为，设直线的方程为，根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式求得，易知椭圆上顶点，分别求得直线方程，联立直线和椭圆方程，求得交点坐标，利用斜率公式求解即可.
19．等差数列与等比数列满足：
（1）求数列的通项公式：
（2）记使得或x=bk}，记为中的元素个数.回答下列问题：
①求
②求.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，即，解得，
则，；
（2）解：（i）由（1）可得数列，的通项分别为，，
易知为偶数，为奇数，则数列和没有相同项，
根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，
小于的正偶数有个，由，解得，，
所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，
所以；
（ii）当时，中小于等于的项有个，
又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，
所以，
所以，
从到共有项，
又为奇数时，
，
所以
，
所以
令①，
则②，
①-②得，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的应用；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意，利用等差、等比数列的通项列方程组，求得基本量，即可求得数列的通项公式；
（2）（i）由（1）可得数列，的通项分别为，，易知为偶数，为奇数，则数列和没有相同项，分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；
（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.
20．已知
（1）求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程.
（2）当时，证明
（3）恒成立.求实数a的最大值
【答案】（1）解：函数定义域为，，
易知，，
则曲线在点处的切线方程为：，即；
（2）解：因为，即，可得，
令，，则，
设，，
当时，则，
当时，则，
因为，则，可得，即，
可知在内单调递减，且，
当时，，即；当时，，即；
综上所述：当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
所以在内恒成立，
且，即在内恒成立，
所以在上恒成立；
（3）解：①当时，设，
构造函数，
则，
令，
所以，
由于在上单调递增，
所以，则在上单调递减，
故，则在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立；
令，所以，
所以在上单调递增，则，当且仅当时取等，
即在上恒成立，
故，
令，则，
对于，令，则，
变形得，
裂项求和得，，
，
对题设不等式左边取对数放缩：
，
，
对题设不等式右边取对数放缩：，
当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件；
②当时，若，恒成立，
此时原不等式右侧，只需证明：，
由（2）问结论可得：，
对于二项式展开，
两边取对数，，
又，
因此，，
所以原不等式成立，则的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求解即可；
（2）不等式，即，构造函数，，求导，再设，分和两种情况讨论，利用导数判断的单调性，求最值，即可证明不等式恒成立；
（3）当时，构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合裂项求和、放缩证明不等式是否成立；当时，若，恒成立，此时原不等式右侧，只需证明：，利用（2）的结论，结合二项式定理证明求解a的最大值即可.
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