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解答题 数列及其综合应用
数列及其综合应用是高考必考内容。近五年高频考查等差数列、等比数列的基本概念、通项与前n项和公式，以及裂项相消、错位相减等求和方法，命题兼顾基础与核心素养（数学运算、逻辑推理、数学建模），且近年情景更新颖、难度有所提升，常涉及实际应用与跨知识综合。未来考向仍以等差、等比数列核心知识为基础，重点关注数列通项与求和，同时强化与函数、不等式、概率等的交汇，以及新定义、实际情境类创新题型，进一步突出对数学素养的考查。
题型1：分组求和法求数列的前n项和
（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【思路分析】
（1）利用等差数列的基本量法联立方程组求解；（2）利用分组求和法分为等差数列与等比梳理求和
【规范答题】
（1）设等差数列的公差为，
因为，
则，即，解得 ，
所以.
则数列的通项公式为：
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
又因为，所以.
设数列的前项和为，
则
所以数列的前项和为
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列， 其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为数列的前项和，，所以；
当时，，
又适合上式，所以；
（2），
所以数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，
.
综上，.
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见；(2)
【解析】（1），
，又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
，，又
构成以为首项，为公比的等比数列，
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
题型2：裂项相消法求数列的前n项和
（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求前项和.
【思路分析】
（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；
（2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和.
【规范答题】
（1）因为，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，即；
可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）可知，
则，，
可得，
故.
1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，点在曲线上且
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记，求
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）因为点在曲线上，所以且 ，
所以，
结合题设，故数列是首项、公差均为1的等差数列．
（2）由（1）及，知，则．
因为 ，所以，则，
故．
2．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由得，可知，
两式相减得，即，
，∵当时，，
则是首项为1，公差的等差数列，
的通项公式为；
（2），，
.
题型3：错位相减法求数列的前n项和
（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：．
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式．
【思路分析】
（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；
（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.
【规范答题】
（1）证明：由，得，
因为是正项数列，所以，即，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以.故
（2）由（1）知，所以.
所以，即，
，
所以 ，
所以.
故.
1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列中，，，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设的公比为，由，得，
因为成等差数列，所以，所以，
所以，解得（舍），或，
又，所以.
（2）由，得
两边同乘以，得
两式相减，得，
所以．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列前n项和为，且满足，数列满足．
(1)求出
(2)求出数列的前项和
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）因为，
当时，，所以，
当时，可得，
两式相减，得，所以，所以，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
因为，所以．
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减得
，
所以.
题型4：数列与不等式综合应用
（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
【思路分析】
（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解；
（2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解.
【规范答题】
（1）由，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
由，正项等比数列的首项为1，
当公比时，，，不满足；
当公比，且时，，解得，此时.
综上所述，.
（2）由，，则，即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
而，则，此时取得最小值，由于，即，
则实数的最大值为.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等．
1．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由已知可得，
因为，解得，
又，得，所以.
（2）由（1）可知，则，由可得，
令，
，
当时，，
当时，，
则数列的最大项为，故，
即实数的取值范围为.
2．已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)（i）(ⅱ)
【解析】（1），，
又，所以，
又， ，数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则.
（2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：
，
所以.
(ⅱ)由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
题型5：数列中的探究性问题
（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列 若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）由和计算分析即可求解；
（2）先由题意结合（1）中通项公式求出，接着假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，结合等差中项公式分析计算求得得出矛盾，从而得解.
【规范答题】
（1）依题意得，当时，．
由，可得，
两式相减得，
当时，，亦符合，
所以数列是以3为首项，以4为公差得等差数列，故．
（2）在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，
理由如下：
由（1）可得，依题意得，
假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，
则，即
整理得：①
又因为m，k，p成等差数列，则，
代入①式整理得： ，
即，化简得，即，
而m，k，p成等差数列，即，
又因为，，为不同的三项，，故假设不成立．
因此，在数列中不存在不同的三项，，
（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： 反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在；或或或或或
【解析】（1）由，得，
又数列的各项均为正数，则，所以，
又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，于是，
假设存在正整数，使得成等比数列，则，
即，
即，整理得，
因为均为正整数且，
所以的正整数解为：
或或或或或
所以存在正整数，使得成等比数列．
2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)（为常数）；(2)（i）；（ii）不存在满足条件的正整数.
【解析】（1）已知数列的前项和，
当时，，故，
当时，，
由，得：，整理得：，即，
通过累乘法可得：，
验证：，
而，两者相等，故的通项公式为（为常数）；
（2）（i）在和之间插入个数，形成等差数列，共项，
设公差为，
则：解得，
是该等差数列的第项（从开始计数为第项），
故：代入，
得：；
（ii）由（常数列），为（自然数倍数的数列），
分析：
若，则，即，解得，无正整数解，
若，则（为正整数），即，
化简得，由于非整数，故左边非整数，矛盾，
综上，不存在正整数满足条件.
题型6：数列的新定义问题
（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【思路分析】
（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；
（2）利用累加法可求的通项公式．
【规范答题】
（1），其中，
故，故的差分数列为等差数列.
（2）由题设有，
故，由累加法可得，
而，所以，
而也满足该式，故.
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，
，
∴数列满足，即数列是“方特数列”.
（2）当时，，
，满足条件；
当时，，
∵数列是“方特数列”，
∴，.
∴，∴且，
综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为.
（3）当时，由（1）知满足条件，
当且时，，
，
∴，
∴，
，
设，∴，
当时，单调递增；当时，单调递减，∴，
∴，
综上所述，当时，数列是“方特数列”.
2．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
(3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，当时，有；当时，
联立方程，解得或（舍）.
所以数列的通项公式.
由题意知，，则，
联立方程，解得，
所以数列的通项公式．
综上，，.
（2）因为，
所以...①，
①×3得，...②，
①-②得，，
，
化简得：.
（3）由（1）知.
所以，所以．
设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则．故，即．
又因为m，k，p成等差数列，所以，故.
故，化简得，所以.
又因为，所以，故，即.
而，所以.
与假设矛盾．
所以在数列中不存在3项成等比数列．
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解答题 数列及其综合应用
数列及其综合应用是高考必考内容。近五年高频考查等差数列、等比数列的基本概念、通项与前n项和公式，以及裂项相消、错位相减等求和方法，命题兼顾基础与核心素养（数学运算、逻辑推理、数学建模），且近年情景更新颖、难度有所提升，常涉及实际应用与跨知识综合。未来考向仍以等差、等比数列核心知识为基础，重点关注数列通项与求和，同时强化与函数、不等式、概率等的交汇，以及新定义、实际情境类创新题型，进一步突出对数学素养的考查。
题型1：分组求和法求数列的前n项和
已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2、常见类型： （1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列： （2）奇偶并项求和：通项公式为an＝的数列， 其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
1．已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
2．若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
题型2：裂项相消法求数列的前n项和
已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求前项和.
1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
1．已知函数，点在曲线上且
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记，求
2．设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
题型3：错位相减法求数列的前n项和
（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：．
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式．
1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
1．在等比数列中，，，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
2．已知数列前n项和为，且满足，数列满足．
(1)求出
(2)求出数列的前项和
题型4：数列与不等式综合应用
（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解； 二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等．
1．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
2．（24-25高三下·四川江油·三诊）已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
题型5：数列中的探究性问题
（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列 若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．
2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由.
题型6：数列的新定义问题
（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的． 2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
1．已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
2．已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
(3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
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