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湖南省祁阳市浯溪第二中学2025年中考模拟数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的相反数是（　　）
A．2025 B．
C．或 D．﹣2025
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故选：B．
【分析】本题以相反数的定义为背景，考查了求一个有理数的相反数。根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），直接写出给定数的相反数。
2．如图所示几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】主视图是含虚线的两个矩形；故不符合题意；
主视图是圆；故不符合题意；
主视图是三角形；故符合题意；
主视图是矩形；故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．已知，，则的值为（　　）
A．16 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
∴
故选：D．
【分析】根据同底数幂的除法得到，求出，然后利用完全平方公式的变形解答即可．
4．中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】本题以月球探测器的实际距离数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 为整数。解题时需将原数 380000 写成 a 的形式：先确定 a = 3.8，再观察小数点从原数末尾向左移动到了 3 与 8 之间，共移动了 5 位，因此 n = 5。注意 a 必须满足范围要求且 n 的符号由原数绝对值是否大于 1 决定。正确确定 a 与 n 是解答的关键。
5．若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（　　）
A．和3 B．2和3 C．2和 D．和
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于坐标原点对称，
∴，
故选：C．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称变换为背景，考查了关于原点对称的点的坐标变化规律。解题依据是：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。据此可分别建立关于 a 和 b 的等量关系，即 a = -(-2)，b = -3，解出对应数值后对照选项即可。掌握原点对称的坐标特征是解答本题的关键。
6．如图，由AD∥BC可以得到的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，∠DAB+∠ABC=180°，
故选：C．
【分析】本题以平行线的性质为背景，考查了平行线判定定理的应用。根据“两直线平行，同旁内角互补”直接得出相关结论。
7．如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．是等腰三角形 D．垂直平分
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
内角和为，，，
，
，
，
不垂直于，此选项错误，但符合题意；
B、由A选项得，
，
，
，此选项正确，但不符合题意；
C、如图，连接、，
五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
，，
，
∴；
同理可证，
∴，
，
，
由B选项得，
，
，
是等腰三角形．
此选项正确，但不符合题意；
D、，
，
∵，
是的垂直平分线．
此选项正确，但不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形与正五边形拼接成的徽章图案为背景，考查了正多边形的内角计算、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及垂直平分线的判定等多个几何知识点。解题时需逐一验证四个选项：A选项通过计算正五边形内角及等腰三角形底角，判断AC与CF是否垂直；B选项利用同旁内角互补推出平行；C选项通过构造全等三角形得到角度相等，进而利用等角对等边证得等腰；D选项根据到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上进行判断。综合运用这些定理是准确找出错误说法的关键。
8．如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵
，
∴，
设，
，
在中，
，
，故D正确．
故选：D．
【分析】
连接，由条件可得，而，设，结合“等边对等角”和三角形外角的性质可以推出，最后利用三角形内角和定理即可求出角度得到结果.
9．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A
【分析】本题以演讲比赛评分规则为背景，考查了平均数、中位数、众数、方差四个统计量在数据剔除极端值后的稳定性差异。解题时需理解：中位数取决于数据排序后中间位置的一个或两个数的平均值，去掉一个最大值和一个最小值通常不会改变中间位置的数值，因此中位数保持不变；而平均数和方差均受到极端值剔除的影响，众数也可能因数据增减而改变。
10．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，
∴
∴
∴
∴
设，
∵
∴
∴，，
∵，
在中，
∴时，取得最小值，即有最小值
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作轴于点，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，证明，利用相似三角形的性质可得到对应边成比例，分别表示出EC、ED、AE的长，利用勾股定理表示出AD2，利用二次函数的性质可得到AD区最小值时m的值，然后求出ED、EO的长，可得到点D的坐标.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．方程的解是　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x+1）得3x=9，
解得x=3，
检验：当x=3时，x+1≠0，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：x=3.
【分析】方程两边同时乘以（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
13．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴即，
，
∴．
故答案为：3．
【分析】本题以一元二次方程的实数根为背景，考查了方程的根满足方程的基本性质以及根与系数关系的综合运用。解题时先利用根的定义，将 a 代入方程得到 a2- 2a = 1；再借助韦达定理求出两根之积 ab = -1；最后将所求代数式中的 a2 - 2a 和 ab 分别用已知数值替换，计算得出结果。
14．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为　 　．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：点落在图案部分的频率稳定在左右，
此不规则图案的面积大约为，
故答案为：．
【分析】本题以几何概率中的随机投点实验为背景，考查了利用频率估计概率的方法以及矩形面积的计算。解题时需明确：在大量重复试验下，点落在不规则图案内的频率可视为该图案面积与矩形总面积之比的估计值。先求出矩形的总面积，再乘以稳定后的频率值，即可估算出图案的近似面积。
15．如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过B作于P，连接，
由作图知：，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形与尺规作图为背景，考查了角平分线的作法、等腰三角形的判定、相似三角形的性质及勾股定理的应用。解题时先根据作图确定AE平分∠BAD，结合平行四边形性质推出DE＝AD，从而求出各边长度；再通过证明△ABG∽△CFG得到BG的长，利用角度关系推出∠AGB＝90°；最后用勾股定理和等面积法求出高BP，进而得到△BCF的面积。掌握这些基础知识的综合运用是解题的关键。
16．“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）　 　．
【答案】1
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
【分析】本题以步枪瞄准为背景，考查相似三角形的判定与性质。由AB∥FD得△OEB∽△OFD，利用对应边成比例，代入数据（注意单位统一）求出BE，再换算为毫米即可。
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：．
【分析】
先证明得到两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例关系，即可求出对应比值.
18．刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：　 　．
①只有两个数字正确且位置正确；
②只有两个数字正确但位置都不正确；
③四个数字都不正确；
④只有三个数字正确但位置都不正确．
【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由③可知，3、5、2、9四个数字都不正确，
即密码中没有3、5、2、9四个数字；
由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确；
由①可知，6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或4在第二位；
若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。
则数字1在第三位，
即正确的密码是，
故答案为：．
【分析】
通过逻辑推理，结合给出的条件逐步排除推导，最终得到正确结果.
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的化简，掌握基本运算法则是解题的关键。
20．解不等式组：．
【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题以解一元一次不等式组为背景，考查了不等式的基本解法以及解集的口诀确定法。先分别解出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”的规则，找出两个解集的公共部分，最终写出不等式组的解集。掌握移项、合并同类项及系数化为1是解题的关键。
21．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了 学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
【分析】
（1）已知D等级对应的扇形圆心角为，且D等级共有150名学生，利用部分数量除以该部分占总体的比例，即可求出被调查的学生总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三个组的人数，即可得到C组的人数，据此补充条形统计图即可；
（3）用全校总人数乘以样本中参加篮球社团（对应C等级）的人数占比，即可估计出总体中参加篮球社团的人数；
（4）先根据题意列出所有等可能的结果，再找出符合“恰好选中一男一女”要求的结果数，最后根据概率公式计算即可．
22．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的判定方法。
（1）利用平行四边形对边平行推出相似三角形，再通过相似比变形得到等积式；
（2）根据已知比例关系判定两个三角形相似，结合垂直条件得出一个内角为直角，进而由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明。掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
23．为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和W95口罩．
（1）计划W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同，求普通口罩和W95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价6元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为640元，求此时普通口罩每包售价．
【答案】（1）解：设普通口罩每包x元，N95口罩每包售价y元，
根据题意，，
解方程组，得
故普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元．
（2）设普通口罩每包x元，则每包的利润为(x－6)元，销售的数量为，根据题意，得
解得，
∵秉承让利于民的原则，
故：普通口罩每包10元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设普通口罩每包的售价为x元，W95口罩每包的售价为y元，题目给出两个条件：一是W95口罩每包的售价比普通口罩贵16元，二是14包普通口罩和6包W95口罩的总售价相同，根据这两个等量关系，就可以列出关于x、y的二元一次方程组，求解后就能得到两种口罩的售价；
(2) 设调整价格后普通口罩每包售价为x元，此时普通口罩每包的销售利润为(x- 6)元，日均销售量为(360 -20x)包，根据总利润等于每包的销售利润乘以日均销售量，即可列出关于m的一元二次方程，解方程就能得到普通口罩的售价.
（1）解：设普通口罩每包x元，N95口罩每包售价y元，
根据题意，，
解方程组，得
故普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元．
（2）设普通口罩每包x元，则每包的利润为(x－6)元，销售的数量为，根据题意，得
解得，
∵秉承让利于民的原则，
故：普通口罩每包10元．
24．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
（1）由于中且已知，则解直角三角形可得，再结合已知可得得，再由直角三角形两锐角互余可得即的值；
（2）过A点作BC的垂线段AF，解直角三角形要得，再设为，则，再解可得，再由线段的和差关系可得并求解即可得到值．
（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，
过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
25．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m；
（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（3）
解：由题意得即轴，
∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；通过证明求出点E的坐标，进而利用待定系数法求直线CE的解析式；
（2）通过作辅助线，利用中点坐标公式表示出点Q的坐标，结合点Q在直线CE上建立方程求解m；
（3）已知点D、E两点坐标，M在x轴上，N在抛物线上。需分情况讨论DE为边或对角线的情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合N点纵坐标与E点纵坐标的关系求解即可.
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）解：由题意得即轴，
∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
26．在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d．
（1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______；
（2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______；
（3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，，
∵直线的解析式为：，
∴，，
∵直线的解析式为：，
∴当时，，当时，，即：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点在点右侧时，，
∴，
∴四点共圆，
当点在点左侧时，
∴，
∴四点共圆，
∵，点为中点，，
∴为的直径，，，
∴是顶角为的等腰三角形，
∴，
设点，则，
∴，
∵直线与交于P，Q两点，
∴，即，
∵点P的横坐标大于点Q的横坐标，
∴点P在直线下方，
当时，，，解得：，
∴，
∴，即：，
∴，即：，
故答案为：．
【知识点】线段上的两点间的距离；圆周角定理；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：，
（2）解：设点，，
∵点P，Q在直线上，轴，轴，
∴，
将代入，得：，解得：，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，
【分析】
（1）根据“垂点距离”的定义，确定垂足坐标，利用勾股定理计算距离即可；
（2）根据已知条件，可以推断出PQ与x轴和y轴的夹角为45°，因此，当PQ平行于直线y=-x时，MN的长度最小，此时MN的长度等于PQ的长度即可；
（3）通过角度计算证明为等边三角形，确定点B的运动轨迹，分别讨论MN取得最大值（PM，QN与圆相切）和最小值（直线PQ与圆相切于下方）时的几何情形，利用勾股定理或余弦定理计算即可.
1 / 1湖南省祁阳市浯溪第二中学2025年中考模拟数学试卷（二）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．的相反数是（　　）
A．2025 B．
C．或 D．﹣2025
2．如图所示几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知，，则的值为（　　）
A．16 B．4 C． D．
4．中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在公里外月球轨道上进行无人交会对接，数据用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．若点与关于坐标原点对称，则a，b的值分别为（　　）
A．和3 B．2和3 C．2和 D．和
6．如图，由AD∥BC可以得到的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠3+∠4＝90°
C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠ABC+∠BCD＝180°
7．如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．是等腰三角形 D．垂直平分
8．如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
10．如图平面直角坐标系中，、，为线段上一个动点．以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．方程的解是　 　.
13．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
14．小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为，宽为的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则图案部分的频率稳定在附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为　 　．
15．如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为　 　．
16．“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）　 　．
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则　 　．
18．刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：　 　．
①只有两个数字正确且位置正确；
②只有两个数字正确但位置都不正确；
③四个数字都不正确；
④只有三个数字正确但位置都不正确．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．计算：．
20．解不等式组：．
21．某校在课后服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法每人只能加入一个社团，为了 学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为．请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有______人；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
（4）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
22．如图，在中，为对角线，过点B作交于点E，交于点F，交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
23．为抗击疫情，人们众志成城，响应号召，某药店销售普通口罩和W95口罩．
（1）计划W95口罩每包售价比普通口罩贵16元，14包普通口罩和6包W95口罩总售价相同，求普通口罩和W95口罩每包售价；
（2）已知普通口罩每包进价6元，按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天普通口罩的利润为640元，求此时普通口罩每包售价．
24．台风“康妮”来袭，小胜发现校园内一棵大树被吹斜了，他想利用所学知识测算倾斜后的大树顶端A距离地面的高度．他在同一时刻测得如下数据：①大树的影长为；②大树与地面所成锐角大约为；③点处竖直放置的竹杆，其影长为．
（参考数据：，，，）
（1）该时刻太阳光线与水平地面所成夹角为多少度？
（2）小胜收集的数据能否帮助他计算出大树顶端A距离地面的高度？若能，请计算出结果；若不能，请说明理由．
25．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．
（1）求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
（2）如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m；
（3）若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d．
（1）已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______；
（2）如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______；
（3）如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故选：B．
【分析】本题以相反数的定义为背景，考查了求一个有理数的相反数。根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），直接写出给定数的相反数。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】主视图是含虚线的两个矩形；故不符合题意；
主视图是圆；故不符合题意；
主视图是三角形；故符合题意；
主视图是矩形；故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意对选项逐一判断即可求解。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴
∴
故选：D．
【分析】根据同底数幂的除法得到，求出，然后利用完全平方公式的变形解答即可．
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】本题以月球探测器的实际距离数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 为整数。解题时需将原数 380000 写成 a 的形式：先确定 a = 3.8，再观察小数点从原数末尾向左移动到了 3 与 8 之间，共移动了 5 位，因此 n = 5。注意 a 必须满足范围要求且 n 的符号由原数绝对值是否大于 1 决定。正确确定 a 与 n 是解答的关键。
5．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与关于坐标原点对称，
∴，
故选：C．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的对称变换为背景，考查了关于原点对称的点的坐标变化规律。解题依据是：两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。据此可分别建立关于 a 和 b 的等量关系，即 a = -(-2)，b = -3，解出对应数值后对照选项即可。掌握原点对称的坐标特征是解答本题的关键。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠3=∠4，∠DAB+∠ABC=180°，
故选：C．
【分析】本题以平行线的性质为背景，考查了平行线判定定理的应用。根据“两直线平行，同旁内角互补”直接得出相关结论。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
内角和为，，，
，
，
，
不垂直于，此选项错误，但符合题意；
B、由A选项得，
，
，
，此选项正确，但不符合题意；
C、如图，连接、，
五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
，，
，
∴；
同理可证，
∴，
，
，
由B选项得，
，
，
是等腰三角形．
此选项正确，但不符合题意；
D、，
，
∵，
是的垂直平分线．
此选项正确，但不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形与正五边形拼接成的徽章图案为背景，考查了正多边形的内角计算、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及垂直平分线的判定等多个几何知识点。解题时需逐一验证四个选项：A选项通过计算正五边形内角及等腰三角形底角，判断AC与CF是否垂直；B选项利用同旁内角互补推出平行；C选项通过构造全等三角形得到角度相等，进而利用等角对等边证得等腰；D选项根据到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上进行判断。综合运用这些定理是准确找出错误说法的关键。
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：如图，连接，如图所示：
∵
，
∴，
设，
，
在中，
，
，故D正确．
故选：D．
【分析】
连接，由条件可得，而，设，结合“等边对等角”和三角形外角的性质可以推出，最后利用三角形内角和定理即可求出角度得到结果.
9．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A
【分析】本题以演讲比赛评分规则为背景，考查了平均数、中位数、众数、方差四个统计量在数据剔除极端值后的稳定性差异。解题时需理解：中位数取决于数据排序后中间位置的一个或两个数的平均值，去掉一个最大值和一个最小值通常不会改变中间位置的数值，因此中位数保持不变；而平均数和方差均受到极端值剔除的影响，众数也可能因数据增减而改变。
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，
∴
∴
∴
∴
设，
∵
∴
∴，，
∵，
在中，
∴时，取得最小值，即有最小值
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作轴于点，设，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，证明，利用相似三角形的性质可得到对应边成比例，分别表示出EC、ED、AE的长，利用勾股定理表示出AD2，利用二次函数的性质可得到AD区最小值时m的值，然后求出ED、EO的长，可得到点D的坐标.
11．【答案】x≥
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x+1）得3x=9，
解得x=3，
检验：当x=3时，x+1≠0，
∴原方程的解为x=3.
故答案为：x=3.
【分析】方程两边同时乘以（x+1）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程的根.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴即，
，
∴．
故答案为：3．
【分析】本题以一元二次方程的实数根为背景，考查了方程的根满足方程的基本性质以及根与系数关系的综合运用。解题时先利用根的定义，将 a 代入方程得到 a2- 2a = 1；再借助韦达定理求出两根之积 ab = -1；最后将所求代数式中的 a2 - 2a 和 ab 分别用已知数值替换，计算得出结果。
14．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：点落在图案部分的频率稳定在左右，
此不规则图案的面积大约为，
故答案为：．
【分析】本题以几何概率中的随机投点实验为背景，考查了利用频率估计概率的方法以及矩形面积的计算。解题时需明确：在大量重复试验下，点落在不规则图案内的频率可视为该图案面积与矩形总面积之比的估计值。先求出矩形的总面积，再乘以稳定后的频率值，即可估算出图案的近似面积。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过B作于P，连接，
由作图知：，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形与尺规作图为背景，考查了角平分线的作法、等腰三角形的判定、相似三角形的性质及勾股定理的应用。解题时先根据作图确定AE平分∠BAD，结合平行四边形性质推出DE＝AD，从而求出各边长度；再通过证明△ABG∽△CFG得到BG的长，利用角度关系推出∠AGB＝90°；最后用勾股定理和等面积法求出高BP，进而得到△BCF的面积。掌握这些基础知识的综合运用是解题的关键。
16．【答案】1
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
【分析】本题以步枪瞄准为背景，考查相似三角形的判定与性质。由AB∥FD得△OEB∽△OFD，利用对应边成比例，代入数据（注意单位统一）求出BE，再换算为毫米即可。
17．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：．
【分析】
先证明得到两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质列出比例关系，即可求出对应比值.
18．【答案】
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由③可知，3、5、2、9四个数字都不正确，
即密码中没有3、5、2、9四个数字；
由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确；
由①可知，6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或4在第二位；
若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。
则数字1在第三位，
即正确的密码是，
故答案为：．
【分析】
通过逻辑推理，结合给出的条件逐步排除推导，最终得到正确结果.
19．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的化简，掌握基本运算法则是解题的关键。
20．【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题以解一元一次不等式组为背景，考查了不等式的基本解法以及解集的口诀确定法。先分别解出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”的规则，找出两个解集的公共部分，最终写出不等式组的解集。掌握移项、合并同类项及系数化为1是解题的关键。
21．【答案】（1）
（2）解：由题意知，C组人数为：（人），
补充条形统计图如下：
（3）解：（人），
答：这名学生中有人参加了篮球社团，
（4）解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∴一共有种可能的情况，恰好选择一男一女有种，
∴．

【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：∵D所占扇形的圆心角为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
故答案为：；
【分析】
（1）已知D等级对应的扇形圆心角为，且D等级共有150名学生，利用部分数量除以该部分占总体的比例，即可求出被调查的学生总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三个组的人数，即可得到C组的人数，据此补充条形统计图即可；
（3）用全校总人数乘以样本中参加篮球社团（对应C等级）的人数占比，即可估计出总体中参加篮球社团的人数；
（4）先根据题意列出所有等可能的结果，再找出符合“恰好选中一男一女”要求的结果数，最后根据概率公式计算即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的判定方法。
（1）利用平行四边形对边平行推出相似三角形，再通过相似比变形得到等积式；
（2）根据已知比例关系判定两个三角形相似，结合垂直条件得出一个内角为直角，进而由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”完成证明。掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
23．【答案】（1）解：设普通口罩每包x元，N95口罩每包售价y元，
根据题意，，
解方程组，得
故普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元．
（2）设普通口罩每包x元，则每包的利润为(x－6)元，销售的数量为，根据题意，得
解得，
∵秉承让利于民的原则，
故：普通口罩每包10元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设普通口罩每包的售价为x元，W95口罩每包的售价为y元，题目给出两个条件：一是W95口罩每包的售价比普通口罩贵16元，二是14包普通口罩和6包W95口罩的总售价相同，根据这两个等量关系，就可以列出关于x、y的二元一次方程组，求解后就能得到两种口罩的售价；
(2) 设调整价格后普通口罩每包售价为x元，此时普通口罩每包的销售利润为(x- 6)元，日均销售量为(360 -20x)包，根据总利润等于每包的销售利润乘以日均销售量，即可列出关于m的一元二次方程，解方程就能得到普通口罩的售价.
（1）解：设普通口罩每包x元，N95口罩每包售价y元，
根据题意，，
解方程组，得
故普通口罩每包12元，N95口罩每包售价28元．
（2）设普通口罩每包x元，则每包的利润为(x－6)元，销售的数量为，根据题意，得
解得，
∵秉承让利于民的原则，
故：普通口罩每包10元．
24．【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】
（1）由于中且已知，则解直角三角形可得，再结合已知可得得，再由直角三角形两锐角互余可得即的值；
（2）过A点作BC的垂线段AF，解直角三角形要得，再设为，则，再解可得，再由线段的和差关系可得并求解即可得到值．
（1）解：由题意得，，
所以，
因为，所以．
因此．
∴该时刻太阳光线与水平地面所成夹角．
（2）解：能，计算如下，
过点作 ，
因为，所以，
设为，则，
又因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
∴大树顶端A距离地面的高度为10米．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（3）
解：由题意得即轴，
∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；通过证明求出点E的坐标，进而利用待定系数法求直线CE的解析式；
（2）通过作辅助线，利用中点坐标公式表示出点Q的坐标，结合点Q在直线CE上建立方程求解m；
（3）已知点D、E两点坐标，M在x轴上，N在抛物线上。需分情况讨论DE为边或对角线的情况，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合N点纵坐标与E点纵坐标的关系求解即可.
（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
对称轴为直线，
∴点，
∵点，
∴点，
∴，，，
由题意得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴点，
设直线的函数表达式为，
把代入得，解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵点的横坐标为，
∴点，，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
解得（舍去正值），
∴；
（3）解：由题意得即轴，
∵点，
∴点纵坐标为6，
解方程，得，
∴点或，
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当点时，，
∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
当四边形是平行四边形时，点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或．
26．【答案】（1）
（2）
（3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，，
∵直线的解析式为：，
∴，，
∵直线的解析式为：，
∴当时，，当时，，即：，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点在点右侧时，，
∴，
∴四点共圆，
当点在点左侧时，
∴，
∴四点共圆，
∵，点为中点，，
∴为的直径，，，
∴是顶角为的等腰三角形，
∴，
设点，则，
∴，
∵直线与交于P，Q两点，
∴，即，
∵点P的横坐标大于点Q的横坐标，
∴点P在直线下方，
当时，，，解得：，
∴，
∴，即：，
∴，即：，
故答案为：．
【知识点】线段上的两点间的距离；圆周角定理；解直角三角形；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：，
（2）解：设点，，
∵点P，Q在直线上，轴，轴，
∴，
将代入，得：，解得：，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：，
【分析】
（1）根据“垂点距离”的定义，确定垂足坐标，利用勾股定理计算距离即可；
（2）根据已知条件，可以推断出PQ与x轴和y轴的夹角为45°，因此，当PQ平行于直线y=-x时，MN的长度最小，此时MN的长度等于PQ的长度即可；
（3）通过角度计算证明为等边三角形，确定点B的运动轨迹，分别讨论MN取得最大值（PM，QN与圆相切）和最小值（直线PQ与圆相切于下方）时的几何情形，利用勾股定理或余弦定理计算即可.
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