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湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中2025年中考二模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项中只有一个选项符合题目要求．）
1．下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能.1纳米米，200纳米用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，甲、乙两支仪仗队员的平均身高相同时，设两支队员身高数据的方差为，，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
7．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（　　）．
A． B． C． D．
8．如图，是某公园的进口，，，，，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．是方程的解
10．如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分，请将答案写在答题卡相应位置．）
11．若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
12．因式分解：　 　．
13．如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是　 　．
14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　．
15．如图，是的直径，切于点B，交于点D，连接．若，则的度数为　 　．
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是　 　．
17．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则　 　．
18．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为　 　．
三、解答题（共66分）
19．计算：．
20．先化简，再求值.，其中x＝2．
21．某校想了解九年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表：
被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A a
B 16
C 8
D 4
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为84.5分．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为________，________；
（2）小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）成绩不低于80分的学生食品安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有500人，试估计九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当时，写出关于的不等式的取值范围；
（3）连接，，求的面积．
23．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
24．如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
25．如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
26．如图1，内接于，作于点D．
（1）连结，．求证：；
（2）如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数．是无理数．
故选：D．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的概念，即无限不循环小数称为无理数，常见形式包括开方开不尽的数（如）、含的数等。选项A、B、C分别属于负整数、零和分数，均为有理数；只有选项D是开方开不尽的数，属于无理数，故选D。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：200纳米米
故选：C．
【分析】本题以荷叶表面纳米结构的科学背景为切入点，考查了用科学记数法表示较小的数。科学记数法的形式为 a ，其中 1|a| < 10 ， n 为正整数。已知 1 纳米 = 米，则 200 纳米 = 200 米，将其化为标准形式时，将 200 改写为 2 ，再与 相乘得 2 米。
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看，第一列是三个小正方形，第二列是两个小正方形．
故选：A．
【分析】本题以由6个相同正方体组成的立体图形为背景，考查了三视图中的俯视图识别。俯视图是从几何体上方垂直向下观察所得到的平面图形，反映了物体各部分的摆放位置。根据图形可知，从上面看，第一列有三个小正方形上下排列，第二列有两个小正方形上下排列，因此俯视图对应选项A。
4．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由统计图可知，甲队身高数据波动比乙队身高数据的波动小，
所以甲的方差比乙的小，即．
故选：A．
【分析】本题以两支仪仗队队员身高数据的统计图为背景，考查了方差的意义。方差反映一组数据的波动大小，波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。图中甲队队员的身高数据分布更集中，波动较小，乙队队员的身高数据分布更分散，波动较大，因此甲的方差小于乙的方差。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以整式运算为背景，考查幂的运算法则与合并同类项。A选项应为，B选项应为，C选项应为，D选项正确，故选D。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据反比例函数k值的几何意义可得：
．
故选：C．
【分析】本题以反比例函数图象上一点与坐标轴围成的三角形面积为背景，考查了反比例函数 k 的几何意义。根据反比例函数中，直接代入三角形面积求得 k 的值。
7．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，，
．
故选：C．
【分析】本题以“黄金分割”在自然界树叶中的实际应用为背景，考查黄金分割的定义及较长线段与全长之间的数量关系。黄金分割是指将一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值记为。解题的关键是正确识别较长部分 AP，并代入公式 AP =AB 进行计算。
8．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有个出口，其中东面有，，三个出口，
∴恰好从东面的出口出来的概率为，
故选：D．
【分析】本题以公园进出口的实际场景为背景，考查概率公式的简单应用。概率是指某一事件发生的可能性大小，计算公式为所求事件可能出现的结果数除以所有等可能结果的总数。解题的关键是准确数出所有出口的总数以及位于东面出口的个数，然后代入公式计算即可。
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意；
B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意；
C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意；
D. ∵抛物线和直线都经过点，
∴是方程的解，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得：
∵，，，，，，
∴得到规律，
当为奇数时：；
当为偶数时：；
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以等腰直角三角形在方格纸上的规律排列为背景，考查点的坐标规律探索。解题的关键是根据已知点的坐标，分别观察下标为奇数、偶数时点的横纵坐标变化趋势，从而归纳出通项公式，再结合 2025 = 2×1012 + 1 确定对应的 n 值，代入规律求出 的坐标。
11．【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，
∴ ，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3.
【分析】要使分式有意义，则分母不等于0，由此建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题以多项式的因式分解为背景，考查了提公因式法的应用。找出各项的公因式 a，提取后得到结果。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴；
或∵，
∴；
故答案为：或．
【分析】本题以平行线的判定为背景，考查学生根据图形特征添加条件使两直线平行的能力。解题的关键是掌握平行线的常用判定方法，如同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，并结合图中已标注的角的位置关系，选择一个合理的条件即可，答案不唯一。
14．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
由题意可得：25(1+x)2=36，
整理得，25x2+50x-11=0，
解得：x1=0.2，x2=-2.2(舍去)；
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
故答案为：20%.
【分析】已知初始值、终值和增长期数，可通过复利公式建立方程求解增长率.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵切于点B，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形两直角互余求解．
16．【答案】或
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
和与的相似比为2，
点B的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】本题以网格中格点三角形的位似变换为背景，考查位似图形的性质。以原点为位似中心，将图形按相似比 k 放大时，对应点的坐标变化规律为：将原图形各顶点的横、纵坐标分别乘以 k 或 -k，得到两个关于原点对称的位似图形。解题的关键是正确写出点 B 的原坐标，并按要求进行坐标运算。
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
， ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图与性质、三角形的内角和定理. 本题的解题逻辑是：先根据等腰三角形两底角相等求出底角，再利用垂直平分线的性质得到，最后在直角三角形中计算的度数.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点，
则即为的最小值，
由轴对称的性质可得：
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形中的动点问题为背景，考查利用轴对称变换求两条线段和的最小值，涉及勾股定理、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定等知识。解题的关键是作定点关于直线的对称点，将 AE + DE 转化为 A'E + DE，利用两点之间线段最短确定最小值，再结合已知条件构造直角三角形进行计算。
19．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的化简，掌握基本运算法则是解题的关键。
20．【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
21．【答案】（1）40，72
（2）解：小王的说法不正确，理由如下：由（1）可得：，
∴这40人成绩的中位数为第20和第21个数据和的平均数，即为，
∴小王的说法不正确，因为平均数只是整体的分布水平，而中位数才代表了这组数据中间位置的真实情况
（3）解：由题意得：
（人）；
答：九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
样本容量为；；
故答案为40；72；
【分析】本题以扇形统计图和频数分布表为载体，考查样本容量、扇形圆心角度数、中位数的意义以及用样本估计总体。
（1）根据B组频数16人及其所占百分比40%，可求出样本容量，再结合C组频数8人计算其所占百分比，进而得到扇形统计图中对应的圆心角度数。
（2）先由样本容量减去B、C、D三组频数得出A组频数，再确定中位数所在位置并计算其值。中位数反映一组数据的中间水平，而平均数易受极端值影响，据此判断小王的说法是否正确。
（3）根据“成绩不低于80分为良好”的标准，将B组和A组人数相加得到样本中良好人数，再乘以九年级总人数500人占样本容量的倍数，即可估计全年级良好学生人数。
（1）解：由题意得：
样本容量为；；
故答案为40；72；
（2）解：小王的说法不正确，理由如下：
由（1）可得：，
∴这40人成绩的中位数为第20和第21个数据和的平均数，即为，
∴小王的说法不正确，因为平均数只是整体的分布水平，而中位数才代表了这组数据中间位置的真实情况；
（3）解：由题意得：
（人）；
答：九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人．
22．【答案】（1）解：将点代入，得，
点的坐标为．
将代入，得，即．
该反比例函数的表达式为；
（2）解：将点代入，得，
解得，
的取值范围是或；
（3）解：将代入，得，
点的坐标为．
由（1），（2）知，，
的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查待定系数法求反比例函数表达式、利用函数图象解不等式以及坐标系中三角形面积的计算。
（1）将点 A(-3， a) 代入一次函数求出 a，再将点 A 坐标代入反比例函数求出 m 即可。
（2）先由点 B(b， 3) 在反比例函数图象上求出 b，再结合两函数图象在 x < 0 范围内的交点横坐标，写出一次函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围。
（3）先求出一次函数与 y 轴的交点 D，再将 △ AOB 的面积转化为△AOD 与 △ BOD 的面积之差（或利用割补法），代入坐标计算即可。
（1）解：将点代入，得，
点的坐标为．
将代入，得，即．
该反比例函数的表达式为；
（2）解：将点代入，得，
解得，
的取值范围是或；
（3）解：将代入，得，
点的坐标为．
由（1），（2）知，，
的面积．
23．【答案】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，可表示出甲数据中心的数据迁移速度，再根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲数据中心工作小时，可表示出乙数据中心工作的时间，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 可得到关于y的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，
则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时；
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时．
24．【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
E为的中点，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形
（2）解：如图，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以梯形与角平分线为背景，综合考查菱形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用。
（1）利用角平分线和平行线证出 ABD =ADB，得 AB = AD；再根据 E 为 AB 中点且 BC = 2BE 推出 AB = BC，从而得到一组邻边相等的平行四边形，即可证四边形 ABCD 为菱形。
（2）过点 A 作 AG BD，在 Rt ABG 中利用 cos ABD 求出 BG，再由等腰三角形三线合一得 BD = 2BG；结合 BEDC 证，利用对应边成比例求出 BF 与 BD 的数量关系，代入计算即可。
（1）证明：，
，
平分，
，
，
E为的中点，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：如图，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
设直线DC的解析式为：，把代入，
得：，
∴k=2.
∴，
令x=0，可得：y=-12，
即直线DC与y轴的交点为（0，-12），
∴.
∴，
∵ 点P为直线上方抛物线上的一个动点，
∴过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，如图所示：
则，
∴AE=2，
∴E(0，﹣4).
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴直线PQ的解析式为：y=x－4.
由得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，且对称轴为直线.
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）两点式写出函数解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）利用割补法求出△DAC的面积，继而可根据求得△PAC的面积，再过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，于是有，再根据面积公式即可求得点E的坐标；求得直线AC的解析式，再根据平行线的性质可得直线PQ的解析式，最后联立得并求解，即可得到点P的横坐标.
（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查圆周角定理、三角形内角和与外角性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）由 AD BC 得 ADC = 90，结合直角三角形两锐角互余及圆周角定理AOB = 2 C，通过等量代换即可证出 AOB + 2 DAC = 180。
（2）设CAD =，根据已知条件用 表示出相关角度，证得 BF = AF，再结合 OA = OB、OF = OF，利用 SSS 证明，从而得出BFO =AFO，即 OF 平分 AFB。
（3）连接 AE，过点 E 作 EM AB 交 BC 延长线于点 N。通过角度计算证出 AB = BE，进而证明得 ME = BD、AD = MB =；再证 EG = EN，结合 BD + EG = 3 推出 MN = 3；利用求出 ME = 2，即 BD = 2；最后在 Rt BDF 中，由 BF = AF = AD - DF =- DF，根据勾股定理列方程解得。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
1 / 1湖南省湘潭市岳塘区湘钢二中2025年中考二模数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项中只有一个选项符合题目要求．）
1．下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数．是无理数．
故选：D．
【分析】本题以实数的分类为背景，考查了无理数的概念，即无限不循环小数称为无理数，常见形式包括开方开不尽的数（如）、含的数等。选项A、B、C分别属于负整数、零和分数，均为有理数；只有选项D是开方开不尽的数，属于无理数，故选D。
2．科学家通过高倍显微镜发现，荷叶表面布满了小乳突，每个乳突由许许多多直径约为200纳米的细小突起组成，这种细微的纳米结构，使水珠粒子不易与荷叶表面接触，导致荷叶具有独特的自洁、防水、防污的功能.1纳米米，200纳米用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：200纳米米
故选：C．
【分析】本题以荷叶表面纳米结构的科学背景为切入点，考查了用科学记数法表示较小的数。科学记数法的形式为 a ，其中 1|a| < 10 ， n 为正整数。已知 1 纳米 = 米，则 200 纳米 = 200 米，将其化为标准形式时，将 200 改写为 2 ，再与 相乘得 2 米。
3．如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是从上面看，第一列是三个小正方形，第二列是两个小正方形．
故选：A．
【分析】本题以由6个相同正方体组成的立体图形为背景，考查了三视图中的俯视图识别。俯视图是从几何体上方垂直向下观察所得到的平面图形，反映了物体各部分的摆放位置。根据图形可知，从上面看，第一列有三个小正方形上下排列，第二列有两个小正方形上下排列，因此俯视图对应选项A。
4．如图，甲、乙两支仪仗队员的平均身高相同时，设两支队员身高数据的方差为，，则下列关系正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由统计图可知，甲队身高数据波动比乙队身高数据的波动小，
所以甲的方差比乙的小，即．
故选：A．
【分析】本题以两支仪仗队队员身高数据的统计图为背景，考查了方差的意义。方差反映一组数据的波动大小，波动越大，方差越大；波动越小，方差越小。图中甲队队员的身高数据分布更集中，波动较小，乙队队员的身高数据分布更分散，波动较大，因此甲的方差小于乙的方差。
5．下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】本题以整式运算为背景，考查幂的运算法则与合并同类项。A选项应为，B选项应为，C选项应为，D选项正确，故选D。
6．如图，点M为反比例函数图象上的一点，过点M作轴，垂足为A，若的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据反比例函数k值的几何意义可得：
．
故选：C．
【分析】本题以反比例函数图象上一点与坐标轴围成的三角形面积为背景，考查了反比例函数 k 的几何意义。根据反比例函数中，直接代入三角形面积求得 k 的值。
7．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为的黄金分割点，，
．
故选：C．
【分析】本题以“黄金分割”在自然界树叶中的实际应用为背景，考查黄金分割的定义及较长线段与全长之间的数量关系。黄金分割是指将一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，比值记为。解题的关键是正确识别较长部分 AP，并代入公式 AP =AB 进行计算。
8．如图，是某公园的进口，，，，，是不同的出口，若小华从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有个出口，其中东面有，，三个出口，
∴恰好从东面的出口出来的概率为，
故选：D．
【分析】本题以公园进出口的实际场景为背景，考查概率公式的简单应用。概率是指某一事件发生的可能性大小，计算公式为所求事件可能出现的结果数除以所有等可能结果的总数。解题的关键是准确数出所有出口的总数以及位于东面出口的个数，然后代入公式计算即可。
9．如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．是方程的解
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：A.根据图象可知，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，，，故该选项错误，不符合题意；
B.由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，故该选项错误，不符合题意；
C. 由图象可知，当时，，故该选项错误，不符合题意；
D. ∵抛物线和直线都经过点，
∴是方程的解，故该选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次函数图象的性质，抛物线与坐标轴及直线交点的性质逐项进行判断即可．
10．如图，在一单位为1的方格纸上，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，……的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得：
∵，，，，，，
∴得到规律，
当为奇数时：；
当为偶数时：；
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以等腰直角三角形在方格纸上的规律排列为背景，考查点的坐标规律探索。解题的关键是根据已知点的坐标，分别观察下标为奇数、偶数时点的横纵坐标变化趋势，从而归纳出通项公式，再结合 2025 = 2×1012 + 1 确定对应的 n 值，代入规律求出 的坐标。
二、填空题（每小题3分，共24分，请将答案写在答题卡相应位置．）
11．若分式 有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】x≠3
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式 有意义，
∴ ，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3.
【分析】要使分式有意义，则分母不等于0，由此建立关于x的不等式，然后求出不等式的解集。
12．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题以多项式的因式分解为背景，考查了提公因式法的应用。找出各项的公因式 a，提取后得到结果。
13．如图，请你写出一个条件使得（不再标注其他字母或数字），你写的条件是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴；
或∵，
∴；
故答案为：或．
【分析】本题以平行线的判定为背景，考查学生根据图形特征添加条件使两直线平行的能力。解题的关键是掌握平行线的常用判定方法，如同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，并结合图中已标注的角的位置关系，选择一个合理的条件即可，答案不唯一。
14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增，缴税数额也相应递增．已知该公司2022年缴税25万元，2024年缴税36万元，那么该公司这两年缴税的年平均增长率是　 　．
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
由题意可得：25(1+x)2=36，
整理得，25x2+50x-11=0，
解得：x1=0.2，x2=-2.2(舍去)；
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
答：该公司这两年缴税的年平均增长率是20%，
故答案为：20%.
【分析】已知初始值、终值和增长期数，可通过复利公式建立方程求解增长率.
15．如图，是的直径，切于点B，交于点D，连接．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
∵切于点B，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据圆周角定理求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形两直角互余求解．
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，将按相似比2放大，则点B的对应点的坐标是　 　．
【答案】或
【知识点】位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
和与的相似比为2，
点B的对应点的坐标是：或．
故答案为：或．
【分析】本题以网格中格点三角形的位似变换为背景，考查位似图形的性质。以原点为位似中心，将图形按相似比 k 放大时，对应点的坐标变化规律为：将原图形各顶点的横、纵坐标分别乘以 k 或 -k，得到两个关于原点对称的位似图形。解题的关键是正确写出点 B 的原坐标，并按要求进行坐标运算。
17．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，
， ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的尺规作图与性质、三角形的内角和定理. 本题的解题逻辑是：先根据等腰三角形两底角相等求出底角，再利用垂直平分线的性质得到，最后在直角三角形中计算的度数.
18．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点，
则即为的最小值，
由轴对称的性质可得：
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
即：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形中的动点问题为背景，考查利用轴对称变换求两条线段和的最小值，涉及勾股定理、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定等知识。解题的关键是作定点关于直线的对称点，将 AE + DE 转化为 A'E + DE，利用两点之间线段最短确定最小值，再结合已知条件构造直角三角形进行计算。
三、解答题（共66分）
19．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的化简，掌握基本运算法则是解题的关键。
20．先化简，再求值.，其中x＝2．
【答案】解：原式
当x＝2时，
原式 ．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=2代入即可求出答案.
21．某校想了解九年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（百分制）整理成如下不完整的统计图表：
被抽取学生的测试成绩分布表 被抽取学生的测试成绩扇形统计图
组别 成绩/分 频数
A a
B 16
C 8
D 4
备注信息：①B组的成绩（单位：分）分别为：80，80，82，82，84，85，85，86，87，87，87，88，88，88，89，89；②本次抽取学生成绩的平均分为84.5分．
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为________，________；
（2）小王说：“我的成绩是85分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由．
（3）成绩不低于80分的学生食品安全知识掌握情况良好，若九年级学生约有500人，试估计九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数．
【答案】（1）40，72
（2）解：小王的说法不正确，理由如下：由（1）可得：，
∴这40人成绩的中位数为第20和第21个数据和的平均数，即为，
∴小王的说法不正确，因为平均数只是整体的分布水平，而中位数才代表了这组数据中间位置的真实情况
（3）解：由题意得：
（人）；
答：九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
样本容量为；；
故答案为40；72；
【分析】本题以扇形统计图和频数分布表为载体，考查样本容量、扇形圆心角度数、中位数的意义以及用样本估计总体。
（1）根据B组频数16人及其所占百分比40%，可求出样本容量，再结合C组频数8人计算其所占百分比，进而得到扇形统计图中对应的圆心角度数。
（2）先由样本容量减去B、C、D三组频数得出A组频数，再确定中位数所在位置并计算其值。中位数反映一组数据的中间水平，而平均数易受极端值影响，据此判断小王的说法是否正确。
（3）根据“成绩不低于80分为良好”的标准，将B组和A组人数相加得到样本中良好人数，再乘以九年级总人数500人占样本容量的倍数，即可估计全年级良好学生人数。
（1）解：由题意得：
样本容量为；；
故答案为40；72；
（2）解：小王的说法不正确，理由如下：
由（1）可得：，
∴这40人成绩的中位数为第20和第21个数据和的平均数，即为，
∴小王的说法不正确，因为平均数只是整体的分布水平，而中位数才代表了这组数据中间位置的真实情况；
（3）解：由题意得：
（人）；
答：九年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数为350人．
22．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）当时，写出关于的不等式的取值范围；
（3）连接，，求的面积．
【答案】（1）解：将点代入，得，
点的坐标为．
将代入，得，即．
该反比例函数的表达式为；
（2）解：将点代入，得，
解得，
的取值范围是或；
（3）解：将代入，得，
点的坐标为．
由（1），（2）知，，
的面积．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】本题以一次函数与反比例函数图象的交点为背景，考查待定系数法求反比例函数表达式、利用函数图象解不等式以及坐标系中三角形面积的计算。
（1）将点 A(-3， a) 代入一次函数求出 a，再将点 A 坐标代入反比例函数求出 m 即可。
（2）先由点 B(b， 3) 在反比例函数图象上求出 b，再结合两函数图象在 x < 0 范围内的交点横坐标，写出一次函数值小于反比例函数值时 x 的取值范围。
（3）先求出一次函数与 y 轴的交点 D，再将 △ AOB 的面积转化为△AOD 与 △ BOD 的面积之差（或利用割补法），代入坐标计算即可。
（1）解：将点代入，得，
点的坐标为．
将代入，得，即．
该反比例函数的表达式为；
（2）解：将点代入，得，
解得，
的取值范围是或；
（3）解：将代入，得，
点的坐标为．
由（1），（2）知，，
的面积．
23．年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时．
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
【答案】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，可表示出甲数据中心的数据迁移速度，再根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”可得到关于x的方程，解方程即可求解.
（2）设甲数据中心工作小时，可表示出乙数据中心工作的时间，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 可得到关于y的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时，
则甲数据中心的数据迁移速度为小时，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时；
（2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，
根据题意，得，
解得：，
即甲数据中心至少需要工作小时．
24．如图，在四边形中，，平分，E为的中点，连接交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
平分，
，
，
E为的中点，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形
（2）解：如图，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以梯形与角平分线为背景，综合考查菱形的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用。
（1）利用角平分线和平行线证出 ABD =ADB，得 AB = AD；再根据 E 为 AB 中点且 BC = 2BE 推出 AB = BC，从而得到一组邻边相等的平行四边形，即可证四边形 ABCD 为菱形。
（2）过点 A 作 AG BD，在 Rt ABG 中利用 cos ABD 求出 BG，再由等腰三角形三线合一得 BD = 2BG；结合 BEDC 证，利用对应边成比例求出 BF 与 BD 的数量关系，代入计算即可。
（1）证明：，
，
平分，
，
，
E为的中点，，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：如图，过点作交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；
（2）如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标；
（3）当时，y的取值范围是，且，求a的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）解：∵，
∴当时，，
∴，
∵，
设直线DC的解析式为：，把代入，
得：，
∴k=2.
∴，
令x=0，可得：y=-12，
即直线DC与y轴的交点为（0，-12），
∴.
∴，
∵ 点P为直线上方抛物线上的一个动点，
∴过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，如图所示：
则，
∴AE=2，
∴E(0，﹣4).
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
∴直线PQ的解析式为：y=x－4.
由得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，且对称轴为直线.
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）两点式写出函数解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标即可；
（2）利用割补法求出△DAC的面积，继而可根据求得△PAC的面积，再过点P作PQ//AC交抛物线另一边与点Q，交y轴与点E，于是有，再根据面积公式即可求得点E的坐标；求得直线AC的解析式，再根据平行线的性质可得直线PQ的解析式，最后联立得并求解，即可得到点P的横坐标.
（3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，C，
∴，
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，
取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：，
∵，
∴，
∴点到的距离等于点到的距离，
由（1）知：，
∴，
∴设直线的解析式为：，
把代入，得：，解得：，
∴，当时，，
∴，
∴，
∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点，
令，解得：或；
故点的横坐标为：；
（3）∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，，解得：或（舍去）；
当时，则：，解得：（舍去）或；
综上：或．
26．如图1，内接于，作于点D．
（1）连结，．求证：；
（2）如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分；
（3）在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查圆周角定理、三角形内角和与外角性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）由 AD BC 得 ADC = 90，结合直角三角形两锐角互余及圆周角定理AOB = 2 C，通过等量代换即可证出 AOB + 2 DAC = 180。
（2）设CAD =，根据已知条件用 表示出相关角度，证得 BF = AF，再结合 OA = OB、OF = OF，利用 SSS 证明，从而得出BFO =AFO，即 OF 平分 AFB。
（3）连接 AE，过点 E 作 EM AB 交 BC 延长线于点 N。通过角度计算证出 AB = BE，进而证明得 ME = BD、AD = MB =；再证 EG = EN，结合 BD + EG = 3 推出 MN = 3；利用求出 ME = 2，即 BD = 2；最后在 Rt BDF 中，由 BF = AF = AD - DF =- DF，根据勾股定理列方程解得。
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N，
由（2）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
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