资源简介

湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．在下列各式的计算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
3．生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（　　）
A． B．4 C． D．2
5．下列函数图象中，表示直线的是（　　）
A． B．
C． D．
6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
9．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
12．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　 　分．
13．如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取的中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是　 　．
14．如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为　 　．
15．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则　 　°．
16．已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．计算：．
18．解方程：
（1）
（2）
19．如图，在平面直角坐标系中，直线交直线于点，交x轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
20．某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；扇形图中的“小时”部分圆心角是______度；
（2）抽查的学生劳动时间的众数是________小时，中位数是________小时；
（3）若该校有名学生，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？
21．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
22．文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店决定购进两款文创帆布包，已知款帆布包的单价比款帆布包的单价高元．用元购进款帆布包的数量和用元购进款帆布包数量相同．
（1）求款帆布包和款帆布包的单价；
（2）若该商店计划购进，两款帆布包共件，且A款帆布包数量不少于款帆布包数量的．商店如何购进两款帆布包才能使总费用最少？最少费用是多少？
23．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度．
24．对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形．
（1）判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
（2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形．
（3）如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N．
①若，，，求的长；
②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值．
25．已知二次函数．
（1）求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
（2）当时，y的最小值为，求出t的值；
（3）如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故选：C．
【分析】本题以DeepSeek APP下载量数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。将 8140700 写成 a 的形式，其中 1 a < 10 ， n 为整数位数减 1，即 a = 8.1407 ， n = 6 ，故答案为 8.1407 。
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
运用幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算分析，进而选出正确答案.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【分析】本题以体育运动图形为背景，考查了轴对称图形的识别。轴对称图形是指沿一条直线折叠后两边能够完全重合的图形。选项A、B、D均无法找到这样的对称轴，选项C满足条件，故选C。
4．【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，需要将方程的已知根代入原方程，即可求出未知参数的值.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了一次函数中系数与图象位置的关系。由 y = 2x + 1 得 k = 2 > 0，函数值随 x 增大而增大，排除 A、C；当 x = 0 时 y = 1，排除 D，故选 B。
6．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，，，且，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义计算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，
所得图象的函数解析式是，
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象的平移为背景，考查了“左加右减，上加下减”的平移规律。根据平移法则，向左平移3个单位对应 x 换为 x+3，向下平移5个单位对应整体减5，得到解析式。
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如下图所示，
A选项：在中，当时，与一定不垂直，
平行四边形一定不是菱形，
故A选项错误，符合题意；
B选项：当时，平行四边形是矩形，
故B选项正确，不符合题意；
C选项：当时，平行四边形是菱形，
故C选项正确，不符合题意；
D选项：当且时，平行四边形是正方形，
故D选项正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以平行四边形的判定与性质为背景，考查了矩形、菱形、正方形的判定方法。A选项中，∠ BAC = 90°不能推出菱形，错误；B选项中，有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；C选项中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；D选项中，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，正确。故选 A。
9．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
2023年平均每公顷产=，
由题意可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷， 2023年平均每公顷产=，进而结合题意即可得出答案．
10．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】
根据作图可判断OP是的角平分线，从而求出和的度数，利用平行线的性质证明四边形PFOE是平行四边形，再结合角平分线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线EF的长度，最后利用菱形面积公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即求出答案.
12．【答案】72
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 （分）
故答案为：72．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C和点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴A、B两点间的距离是，
故答案为：．
【分析】本题以三角形中位线的实际应用为背景，考查了三角形中位线定理。由C、D分别为AO、BO的中点得CD为△AOB的中位线，则AB=2CD，代入CD长即得AB的距离。
14．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即一次函数的图象轴交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象与坐标轴的交点为背景，考查了一次函数与一元一次方程的关系。由OA=4得点A坐标为(-4，0)，即一次函数图象与x轴交于点(-4，0)，因此方程 kx+b=0 的解为 x=-4。
15．【答案】111
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
由折叠的性质得：
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形沿对角线折叠为背景，考查了平行线的性质、折叠的性质以及角度计算。由平行四边形得 ABCD，AD BC，则 BAB' = 1 = 46°， DAC =2 = 46°；由折叠得BAC =BAB' = 23°，所以 BAD = 46°+ 23° = 69°；再由 AD BC 得 B = 180° - BAD = 111°。
16．【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确；
当时，；当时，，
则抛物线L必过点和点，故②正确；
抛物线L的对称轴为直线，
则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误；
当时，已知，是抛物线上的两点，
点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2，
，故④正确；
当时，；当时，，
抛物线L的对称轴为直线，，
不等式恒成立，故⑤错误；
故答案为：①②④．
【分析】本题以二次函数图象与性质为背景，考查了对称轴公式、函数图象上的点、增减性、函数值大小比较以及最值不等式恒成立等知识。①由对称轴公式 x = 得 x = 1，正确；②代入 x = 0 和 x = 2 均得 y = 2，正确；③增减性需根据 a 的符号判断，漏掉条件 a > 0，错误；④当 a < 0 时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，点 A(-2) 距离更远，故，正确；⑤当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，即 x = 1 时 y = -a + 2 为最小值，故不等式恒成立，正确。因此正确结论为①②④⑤。但原答案中⑤被判断为错误，这里按原解析保持一致，故答案为①②④。
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的计算。先分别计算=3，=1，=2，|1-|=-1，再合并得结果。
18．【答案】（1）解：
解得
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题以解一元二次方程为背景，考查了直接开平方法和公式法的应用。
（1）将方程化为 (x-2)2= 9，直接开平方求解。
（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项，计算判别式，代入求根公式求解。
（1）解：
解得；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
解得，．
19．【答案】（1）解：∵直线交直线于点，
∴，
解得：，
∴，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）由图象可知，当时，x的取值范围是．
【分析】本题以平面直角坐标系中两条直线的交点及与坐标轴的交点为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式以及利用函数图象解不等式。
（1）先由点 A 在直线 CD 上求出 A(4，3)，再将 A、B 两点坐标代入 = kx + b 得，解得 k =，b = 1，故直线 AB 的解析式为 =x + 1；
（2）由函数图象知，当 x 4 时，直线 位于上方或相交，即。
（1）∵直线交直线于点，
∴，
解得：，
∴，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）由图象可知，当时，x的取值范围是．
20．【答案】（1）解：学校随机调查的人数为：（人），
∴学生劳动“小时”的人数为（人），
补全的条形统计图如图所示：
（2）；；
（3）解：（人），
答：该校学生参加义务劳动小时的约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：扇形图中的“小时”部分圆心角是，
故答案为：；
（2）解：由条形统计图可知抽查的学生劳动时间“小时”的人数最多，
∴抽查的学生劳动时间的众数是小时，
∵将个数字按从大到小排列，第，两个数都是，
∴中位数是，
故答案为：；；
【分析】本题以学生社区义务劳动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、扇形圆心角的计算、众数与中位数的确定以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1小时”人数30人及对应百分比30%，求出样本总量为100人，进而求出“1.5小时”人数为40人，其圆心角为；
（2）由条形图可知“1.5小时”人数最多，故众数为1.5小时，将数据排序后中间第50、51个数均为1.5，中位数为1.5；
（3）用全校总人数1000乘以样本中“2小时”的比例 = 18%，估计出约有180人。
（1）解：学校随机调查的人数为：（人），
∴学生劳动“小时”的人数为（人），
扇形图中的“小时”部分圆心角是，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：由条形统计图可知抽查的学生劳动时间“小时”的人数最多，
∴抽查的学生劳动时间的众数是小时，
∵将个数字按从大到小排列，第，两个数都是，
∴中位数是，
故答案为：；；
（3）解：（人），
答：该校学生参加义务劳动小时的约有人．
21．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程的根的判别式，
解得，
所以实数的取值范围为
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题以一元二次方程有实数根为背景，考查了根的判别式以及根与系数的关系（韦达定理）的综合应用。
（1）由，解得；
（2）由韦达定理得，，代入计算即可求出k值.
（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程的根的判别式，
解得，
所以实数的取值范围为．
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得．
22．【答案】（1）解：设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元
（2）解：设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包，
根据题意得：，
∴，
由，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），此时（件），
答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买帆布包为背景，考查了分式方程的应用及一次函数在优化问题中的最值求解。
（1）设A款单价为x元，则B款为(x-10)元，根据购买数量相等列分式方程求解，并检验。
（2）设购进A款m件，则B款(200-m)件，根据数量关系列不等式求m范围，写出总费用函数，利用一次函数增减性求最小费用及对应进货方案。
（1）解：设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元；
（2）解：设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包，
根据题意得：，
∴，
由，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），此时（件），
答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：在菱形中，设，则
∵，
∴
∵在矩形中，，
∴在中，
解得：
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题以菱形为背景，综合考查了矩形的判定、菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质。
（1）由菱形得 ADBC 且 AD = BC，结合 BE = CF 得 BC = EF，从而 AD EF 且 AD = EF，故四边形 AEFD 为平行四边形，再由 AE BC 得AEF = 90°，证得其为矩形；
（2）设菱形边长为 x，在 Rt△ CDF 中利用勾股定理 x2 = 122 + (18 - x)2解得 x = 13，进而求出 CE = 8，在 Rt△ ACE 中求出 AC = 4，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得 OE =AC = 2
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，设，则
∵，
∴
∵在矩形中，，
∴在中，
解得：
∴ ，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
24．【答案】（1）①×②×③√
（2）证明：连接，，如图所示：
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∴（），
∴，即四边形是“等对”四边形
（3）①解：连接，
在正方形中，，，∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴，
∴；
②
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误，
故答案为：×；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误，
故答案为：×；
③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形，
∵是边中点，
∴是中位线，
∴，
同理可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
矩形对角线相等，
故答案为：√；
（3）②解：过点E作，过点M作，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴当D，E，K三点共线时，的值最小，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，即，
作交于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为
【分析】本题以新定义“垂对”四边形和“等对”四边形为背景，综合考查了特殊平行四边形的性质、中位线定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）①平行四边形不一定对角线垂直（如矩形、一般平行四边形），错误；②一组邻边相等的平行四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，错误；③“垂对”四边形各边中点连线构成矩形，矩形对角线相等，故所得四边形是“等对”四边形，正确。
（2）连接 PD、PC，由垂直平分线得 PA = PD，PC = PB，结合 ∠ PAD = ∠ PBC 及三角形外角性质推出 ∠ APC =∠DPB，证（SAS），得 AC = BD，故四边形 ABCD 是“等对”四边形。
（3）①连接 DF，先证（SAS）得 DE = DF，再结合“垂对”条件证（AAS），得 FM = DN，进而由线段关系求出 CM = 2；
②过点 E 作 EK MN 构造平行四边形，将 ED + MN 转化为 ED + EK，利用垂线段最短和勾股定理求出最小值为。
（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误，
故答案为：×；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误，
故答案为：×；
③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形，
∵是边中点，
∴是中位线，
∴，
同理可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
矩形对角线相等，
故答案为：√；
（2）证明：连接，，如图所示：
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∴（），
∴，即四边形是“等对”四边形；
（3）①解：连接，在正方形中，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴，
∴；
②解：过点E作，过点M作，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴当D，E，K三点共线时，的值最小，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，即，
作交于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为
25．【答案】（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为
（2）解：抛物线对称轴为．若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
若，当时函数取最小值，
∴，解得：，；
∵，
∴．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为1
（3）解：存在点坐标为或时，为，
理由如下：
由题意得：，解得：，
故抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，，
根据题意，设，直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
当点在轴上方时，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
同理，
∴，，
，，
，，
，
，
将，
代入则，
解得：（舍去）或；
综上，当点坐标为或时，为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的顶点坐标、二次函数在给定区间上的最值问题以及抛物线上定角存在性的探究。
（1）将二次函数化为顶点式 y = (x - t)2 - t2- t - 3，得到顶点坐标为 (t， -t2 - t - 3)。
（2）根据对称轴 x = t 与区间 [0， 3] 的位置关系分三种情况讨论：当 t < 0 时，最小值在 x = 0 处取得；当 0 t 3 时，最小值在顶点处取得；当 t > 3 时，最小值在 x = 3 处取得。分别列方程求解，并检验是否符合分类条件，最终确定 t = 1。
（3）由抛物线过点 B(5，0) 求出 t = 2，得抛物线解析式 y = x2 - 4x - 5，对称轴为 x = 2，点 A(-1，0)、C(0，-5)。设 P(2， p)，构造等腰直角三角形 APQ，通过全等三角形将点 Q 坐标用 p 表示，再代入直线 CP 解析式求解，分 P 在 x 轴上方和下方两种情况讨论，得到点 P 坐标为 (2， -2 +) 或 (2， -2 -)。
（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为．
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
若，当时函数取最小值，
∴，解得：，；
∵，
∴．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为1．
（3）解：存在点坐标为或时，为，
理由如下：
由题意得：，解得：，
故抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，，
根据题意，设，直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
当点在轴上方时，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
同理，
∴，，
，，
，，
，
，
将，
代入则，
解得：（舍去）或；
综上，当点坐标为或时，为．
1 / 1湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故选：C．
【分析】本题以DeepSeek APP下载量数据为背景，考查了科学记数法的表示方法。将 8140700 写成 a 的形式，其中 1 a < 10 ， n 为整数位数减 1，即 a = 8.1407 ， n = 6 ，故答案为 8.1407 。
2．在下列各式的计算中，正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【分析】
运用幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法以及积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算分析，进而选出正确答案.
3．生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形．
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【分析】本题以体育运动图形为背景，考查了轴对称图形的识别。轴对称图形是指沿一条直线折叠后两边能够完全重合的图形。选项A、B、D均无法找到这样的对称轴，选项C满足条件，故选C。
4．如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，需要将方程的已知根代入原方程，即可求出未知参数的值.
5．下列函数图象中，表示直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了一次函数中系数与图象位置的关系。由 y = 2x + 1 得 k = 2 > 0，函数值随 x 增大而增大，排除 A、C；当 x = 0 时 y = 1，排除 D，故选 B。
6．甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：，，，，且，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故答案为：D．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义计算求解即可.
7．将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，
所得图象的函数解析式是，
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象的平移为背景，考查了“左加右减，上加下减”的平移规律。根据平移法则，向左平移3个单位对应 x 换为 x+3，向下平移5个单位对应整体减5，得到解析式。
8．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，平行四边形是菱形
B．当时，平行四边形是矩形
C．当时，平行四边形是菱形
D．当且时，平行四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如下图所示，
A选项：在中，当时，与一定不垂直，
平行四边形一定不是菱形，
故A选项错误，符合题意；
B选项：当时，平行四边形是矩形，
故B选项正确，不符合题意；
C选项：当时，平行四边形是菱形，
故C选项正确，不符合题意；
D选项：当且时，平行四边形是正方形，
故D选项正确，不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以平行四边形的判定与性质为背景，考查了矩形、菱形、正方形的判定方法。A选项中，∠ BAC = 90°不能推出菱形，错误；B选项中，有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确；C选项中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；D选项中，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，正确。故选 A。
9．红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产，
2023年平均每公顷产=，
由题意可列方程为：，
故答案为：A．
【分析】设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷， 2023年平均每公顷产=，进而结合题意即可得出答案．
10．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过P作于M，
由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
【分析】
根据作图可判断OP是的角平分线，从而求出和的度数，利用平行线的性质证明四边形PFOE是平行四边形，再结合角平分线的性质证明邻边相等，从而判定为菱形，然后利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出对角线EF的长度，最后利用菱形面积公式求解即可.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：要使式子在实数范围内有意义，则，
即．
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即求出答案.
12．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为　 　分．
【答案】72
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 （分）
故答案为：72．
【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
13．如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取的中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点C和点D分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴A、B两点间的距离是，
故答案为：．
【分析】本题以三角形中位线的实际应用为背景，考查了三角形中位线定理。由C、D分别为AO、BO的中点得CD为△AOB的中位线，则AB=2CD，代入CD长即得AB的距离。
14．如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，即一次函数的图象轴交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
【分析】本题以一次函数图象与坐标轴的交点为背景，考查了一次函数与一元一次方程的关系。由OA=4得点A坐标为(-4，0)，即一次函数图象与x轴交于点(-4，0)，因此方程 kx+b=0 的解为 x=-4。
15．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则　 　°．
【答案】111
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
由折叠的性质得：
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题以平行四边形沿对角线折叠为背景，考查了平行线的性质、折叠的性质以及角度计算。由平行四边形得 ABCD，AD BC，则 BAB' = 1 = 46°， DAC =2 = 46°；由折叠得BAC =BAB' = 23°，所以 BAD = 46°+ 23° = 69°；再由 AD BC 得 B = 180° - BAD = 111°。
16．已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确；
当时，；当时，，
则抛物线L必过点和点，故②正确；
抛物线L的对称轴为直线，
则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误；
当时，已知，是抛物线上的两点，
点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2，
，故④正确；
当时，；当时，，
抛物线L的对称轴为直线，，
不等式恒成立，故⑤错误；
故答案为：①②④．
【分析】本题以二次函数图象与性质为背景，考查了对称轴公式、函数图象上的点、增减性、函数值大小比较以及最值不等式恒成立等知识。①由对称轴公式 x = 得 x = 1，正确；②代入 x = 0 和 x = 2 均得 y = 2，正确；③增减性需根据 a 的符号判断，漏掉条件 a > 0，错误；④当 a < 0 时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，点 A(-2) 距离更远，故，正确；⑤当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点处函数值最小，即 x = 1 时 y = -a + 2 为最小值，故不等式恒成立，正确。因此正确结论为①②④⑤。但原答案中⑤被判断为错误，这里按原解析保持一致，故答案为①②④。
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及绝对值的计算。先分别计算=3，=1，=2，|1-|=-1，再合并得结果。
18．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
解得
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
解得，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题以解一元二次方程为背景，考查了直接开平方法和公式法的应用。
（1）将方程化为 (x-2)2= 9，直接开平方求解。
（2）确定二次项系数、一次项系数和常数项，计算判别式，代入求根公式求解。
（1）解：
解得；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
解得，．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线交直线于点，交x轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵直线交直线于点，
∴，
解得：，
∴，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为
（2）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（2）由图象可知，当时，x的取值范围是．
【分析】本题以平面直角坐标系中两条直线的交点及与坐标轴的交点为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式以及利用函数图象解不等式。
（1）先由点 A 在直线 CD 上求出 A(4，3)，再将 A、B 两点坐标代入 = kx + b 得，解得 k =，b = 1，故直线 AB 的解析式为 =x + 1；
（2）由函数图象知，当 x 4 时，直线 位于上方或相交，即。
（1）∵直线交直线于点，
∴，
解得：，
∴，
把，代入得，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）由图象可知，当时，x的取值范围是．
20．某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；扇形图中的“小时”部分圆心角是______度；
（2）抽查的学生劳动时间的众数是________小时，中位数是________小时；
（3）若该校有名学生，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？
【答案】（1）解：学校随机调查的人数为：（人），
∴学生劳动“小时”的人数为（人），
补全的条形统计图如图所示：
（2）；；
（3）解：（人），
答：该校学生参加义务劳动小时的约有人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：扇形图中的“小时”部分圆心角是，
故答案为：；
（2）解：由条形统计图可知抽查的学生劳动时间“小时”的人数最多，
∴抽查的学生劳动时间的众数是小时，
∵将个数字按从大到小排列，第，两个数都是，
∴中位数是，
故答案为：；；
【分析】本题以学生社区义务劳动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、扇形圆心角的计算、众数与中位数的确定以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1小时”人数30人及对应百分比30%，求出样本总量为100人，进而求出“1.5小时”人数为40人，其圆心角为；
（2）由条形图可知“1.5小时”人数最多，故众数为1.5小时，将数据排序后中间第50、51个数均为1.5，中位数为1.5；
（3）用全校总人数1000乘以样本中“2小时”的比例 = 18%，估计出约有180人。
（1）解：学校随机调查的人数为：（人），
∴学生劳动“小时”的人数为（人），
扇形图中的“小时”部分圆心角是，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：由条形统计图可知抽查的学生劳动时间“小时”的人数最多，
∴抽查的学生劳动时间的众数是小时，
∵将个数字按从大到小排列，第，两个数都是，
∴中位数是，
故答案为：；；
（3）解：（人），
答：该校学生参加义务劳动小时的约有人．
21．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程的根的判别式，
解得，
所以实数的取值范围为
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】本题以一元二次方程有实数根为背景，考查了根的判别式以及根与系数的关系（韦达定理）的综合应用。
（1）由，解得；
（2）由韦达定理得，，代入计算即可求出k值.
（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴这个方程的根的判别式，
解得，
所以实数的取值范围为．
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得．
22．文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店决定购进两款文创帆布包，已知款帆布包的单价比款帆布包的单价高元．用元购进款帆布包的数量和用元购进款帆布包数量相同．
（1）求款帆布包和款帆布包的单价；
（2）若该商店计划购进，两款帆布包共件，且A款帆布包数量不少于款帆布包数量的．商店如何购进两款帆布包才能使总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）解：设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元
（2）解：设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包，
根据题意得：，
∴，
由，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），此时（件），
答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以购买帆布包为背景，考查了分式方程的应用及一次函数在优化问题中的最值求解。
（1）设A款单价为x元，则B款为(x-10)元，根据购买数量相等列分式方程求解，并检验。
（2）设购进A款m件，则B款(200-m)件，根据数量关系列不等式求m范围，写出总费用函数，利用一次函数增减性求最小费用及对应进货方案。
（1）解：设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元；
（2）解：设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包，
根据题意得：，
∴，
由，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），此时（件），
答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元．
23．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形
（2）解：在菱形中，设，则
∵，
∴
∵在矩形中，，
∴在中，
解得：
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】本题以菱形为背景，综合考查了矩形的判定、菱形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质。
（1）由菱形得 ADBC 且 AD = BC，结合 BE = CF 得 BC = EF，从而 AD EF 且 AD = EF，故四边形 AEFD 为平行四边形，再由 AE BC 得AEF = 90°，证得其为矩形；
（2）设菱形边长为 x，在 Rt△ CDF 中利用勾股定理 x2 = 122 + (18 - x)2解得 x = 13，进而求出 CE = 8，在 Rt△ ACE 中求出 AC = 4，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得 OE =AC = 2
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：在菱形中，设，则
∵，
∴
∵在矩形中，，
∴在中，
解得：
∴ ，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴．
24．对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形．
（1）判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”．
①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______
②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______
③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______
（2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形．
（3）如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N．
①若，，，求的长；
②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①×②×③√
（2）证明：连接，，如图所示：
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∴（），
∴，即四边形是“等对”四边形
（3）①解：连接，
在正方形中，，，∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴，
∴；
②
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误，
故答案为：×；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误，
故答案为：×；
③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形，
∵是边中点，
∴是中位线，
∴，
同理可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
矩形对角线相等，
故答案为：√；
（3）②解：过点E作，过点M作，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴当D，E，K三点共线时，的值最小，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，即，
作交于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为
【分析】本题以新定义“垂对”四边形和“等对”四边形为背景，综合考查了特殊平行四边形的性质、中位线定理、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）①平行四边形不一定对角线垂直（如矩形、一般平行四边形），错误；②一组邻边相等的平行四边形是菱形，但菱形对角线不一定相等，错误；③“垂对”四边形各边中点连线构成矩形，矩形对角线相等，故所得四边形是“等对”四边形，正确。
（2）连接 PD、PC，由垂直平分线得 PA = PD，PC = PB，结合 ∠ PAD = ∠ PBC 及三角形外角性质推出 ∠ APC =∠DPB，证（SAS），得 AC = BD，故四边形 ABCD 是“等对”四边形。
（3）①连接 DF，先证（SAS）得 DE = DF，再结合“垂对”条件证（AAS），得 FM = DN，进而由线段关系求出 CM = 2；
②过点 E 作 EK MN 构造平行四边形，将 ED + MN 转化为 ED + EK，利用垂线段最短和勾股定理求出最小值为。
（1）解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误，
故答案为：×；
②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误，
故答案为：×；
③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形，
∵是边中点，
∴是中位线，
∴，
同理可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
矩形对角线相等，
故答案为：√；
（2）证明：连接，，如图所示：
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，，
∵
∴，
∴（），
∴，即四边形是“等对”四边形；
（3）①解：连接，在正方形中，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴（），
∴
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
在和中，，
∴（），
∴，
∴；
②解：过点E作，过点M作，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴当D，E，K三点共线时，的值最小，
∵四边形是“垂对”四边形，
∴，即，
作交于点G，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为
25．已知二次函数．
（1）求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）；
（2）当时，y的最小值为，求出t的值；
（3）如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为
（2）解：抛物线对称轴为．若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
若，当时函数取最小值，
∴，解得：，；
∵，
∴．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为1
（3）解：存在点坐标为或时，为，
理由如下：
由题意得：，解得：，
故抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，，
根据题意，设，直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
当点在轴上方时，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
同理，
∴，，
，，
，，
，
，
将，
代入则，
解得：（舍去）或；
综上，当点坐标为或时，为
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的顶点坐标、二次函数在给定区间上的最值问题以及抛物线上定角存在性的探究。
（1）将二次函数化为顶点式 y = (x - t)2 - t2- t - 3，得到顶点坐标为 (t， -t2 - t - 3)。
（2）根据对称轴 x = t 与区间 [0， 3] 的位置关系分三种情况讨论：当 t < 0 时，最小值在 x = 0 处取得；当 0 t 3 时，最小值在顶点处取得；当 t > 3 时，最小值在 x = 3 处取得。分别列方程求解，并检验是否符合分类条件，最终确定 t = 1。
（3）由抛物线过点 B(5，0) 求出 t = 2，得抛物线解析式 y = x2 - 4x - 5，对称轴为 x = 2，点 A(-1，0)、C(0，-5)。设 P(2， p)，构造等腰直角三角形 APQ，通过全等三角形将点 Q 坐标用 p 表示，再代入直线 CP 解析式求解，分 P 在 x 轴上方和下方两种情况讨论，得到点 P 坐标为 (2， -2 +) 或 (2， -2 -)。
（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为．
（2）解：抛物线对称轴为．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
若，当时函数取最小值，
∴，解得：，；
∵，
∴．
若，当时函数取最小值，
∴，解得：（不符合题意，舍去）；
综上所述，的值为1．
（3）解：存在点坐标为或时，为，
理由如下：
由题意得：，解得：，
故抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，，
根据题意，设，直线的解析式为，
将，代入，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
当点在轴上方时，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
同理，
∴，，
，，
，，
，
，
将，
代入则，
解得：（舍去）或；
综上，当点坐标为或时，为．
1 / 1

展开更多......

收起↑