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湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题以平行四边形为背景，考查了平行四边形的性质以及平行线的性质。由平行四边形 ABCD 得 ADBC，则 A 与B 互为同旁内角，和为 180°，代入A = 70°得 B = 110°。
2．正比例函数的图象经过点，则k的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：正比例函数的解析式为，已知图象经过点，
将点的坐标代入解析式，得，
解得，
故选：B．
【分析】本题以正比例函数图象经过已知点为背景，考查了待定系数法求正比例函数解析式。将点 (-1， 2) 代入 y = kx 得 2 = k (-1)，解得 k = -2。
3．若，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以算术平方根的性质为背景，考查了= a 成立的条件是 a0。由 = x-1 得 x-10，解得 x 1。
4．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式才能合并，可对A作出判断；两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简，可对B作出判断；利用二次根式除法法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断；
5．长沙是一座充满历史底蕴和现代文明的城市，市内有湖南省博物院、湖南省科学技术馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南地质博物馆等研学景点，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，8，11，7，（单位：人），则这组数据的中位数是（　　）
A．12 B．8 C．11 D．7
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将各小组人数按从小到大的顺序排列，得到：7，8，11，12，12，
共有5个数据（奇数个），中位数为第3个数，
排序后的第3个数是11，因此这组数据的中位数为11．
故选：C．
【分析】本题以研学小组人数统计为背景，考查了中位数的求法。先将数据按从小到大排序，数据个数为奇数时，中位数为中间位置的那个数。
6．如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，
，，
，
故选：C．
【分析】本题以直角三角形外作正方形为背景，考查了勾股定理的应用及正方形面积公式。由正方形面积得两条直角边的平方分别为5和9，利用勾股定理求出BC的长。
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
【分析】由图1、 图2 可知相同深度，由图可知：液体 1 的压强， 然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可.
8．下列说法，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形
D．矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故答案为：说法错误；
B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故答案为：说法错误；
C、两条对角线相等的菱形是正方形，故答案为：说法正确；
D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故答案为：说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的判定定理可对A作出判断；利用菱形的判定定理，可对B作出判断；利用正方形的判定定理，可对C作出判断；利用矩形，菱形的性质，可对D作出判断.
9．如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　）
A． B．当时，
C． D．的解集是
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、直线的图象经过第二、三、四象限，，故A正确，不合题意；
B、由条件可知方程的解是，故B正确，不合题意；
C、直线的图象与y轴交于正半轴，，故C正确，不合题意；
D、结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方，不等式的解集为，故D错误，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以一次函数图象的交点为背景，考查了一次函数的图象与性质、方程的解与不等式解集的关系。由图象得直线 = ax - 1 经过二、三、四象限，故 a < 0，A正确；两直线交点横坐标为 -5，则当 x = -5 时，B正确；直线 = mx + b 与 y 轴交于正半轴，故 b > 0，C正确；由图象可知，当 x -5 时，故 D 中解集 x -5 错误。故选 D。
10．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，
得，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得
故选：．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了菱形的判定与性质以及菱形面积公式的应用。由作图可得 OA = OB = AC = BC，故四边形 OACB 为菱形，其面积等于对角线乘积的一半，即 OC AB = 16，代入 OC = 8 得 AB = 4。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若 有意义，则x的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
13．一列数据：1，2，5，x，7的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．
【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意得，，则这组数据的众数是．
故答案为：．
【分析】本题以平均数和众数为背景，考查了平均数的逆用以及众数的确定。由平均数4和总个数5得总和为20，减去已知四个数1、2、5、7得 x = 5，数据中5出现两次，次数最多，故众数为5。
14．将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为　 　．
【答案】y=2x﹣3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为y=2x+b．
把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，解得 b=﹣3．
所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3．
故答案是：y=2x﹣3．
【分析】本题以一次函数图象的平移为背景，考查了平移前后直线斜率不变的性质。设平移后的解析式为 y = 2x + b，代入点 (2，1) 得 1 = 4 + b，解得 b = -3，故解析式为 y = 2x - 3。
15．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为　 　元．
【答案】4
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这件商品每件的原价为a元，
当购买的件数x超过10件时，所付的款数，
整理得：，
根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上，
，
解得：
答：这件商品每件的原价为4元．
故答案为：4．
【分析】本题以分段计费的实际问题为背景，考查了一次函数模型的应用以及从函数图象中提取信息的能力。设每件原价为 a 元，当 x > 10 时，付款总额 y = 10a + 0.8a(x - 10) = 0.8ax + 2a。由图象知点 (30， 104) 在该函数图象上，代入得 104 = 0.8a × 30 + 2a，解得 a = 4。
16．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为　 　．
【答案】9或25
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：将沿翻折得到，
，，
①如图1，当点E在线段上时，
，
，，E三点共线.
，
.
，
；
②如图2，当点E在的延长线上时，
，，，
.
设，则，
，
，
，
解得，
，
综上，的值为9或
故答案为：9或
【分析】本题以长方形中的折叠问题为背景，考查了翻折的性质、勾股定理以及分类讨论思想。分两种情况：当点 E 在线段 DC 上时，由 △ ABD 为直角三角形得 B， D'， E 三点共线，利用面积法或勾股定理求出 DE = 9；当点 E 在 DC 延长线上时，设 CE = x，由勾股定理列方程解得 x = 8，则 DE = 25。综上，DE 的长为 9 或 25。
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、零指数幂以及二次根式的乘除运算。先分别计算：= 1，=3，再合并同类项得。
18．若，求的值．
【答案】解：，
，，
，，

【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题以非负数的性质为背景，考查了算术平方根的非负性及代数式求值。由算术平方根的非负性及平方的非负性，两个非负数之和为0则每个均为0，分别求出x、y的值，再代入计算。
19．已知关于的函数．
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若，求该函数图象与轴的交点坐标．
【答案】（1）解：是的正比例函数，
，
解得．
故的值为：3．
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
当时，该函数图象与轴的交点坐标为．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入表达式，解方程即可求出答案.
20．如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，，
（1）证明：是直角三角形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：，，，
，
是直角三角形
（2）解：是直角三角形，，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题以三角形中的边长为背景，考查了勾股定理及其逆定理的应用。
（1）由 BD2 + AD2 = 62 + 82 = 102 = AB2，根据勾股定理逆定理得 △ABD 是直角三角形；
（2）由ADB = 90° 得，故 BC = BD + CD = 21。
（1）证明：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：是直角三角形，，
，
21．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
输入x … 0 1 …
输出y … m 1 7 …
（1）______；
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；
（3）当时，利用正确的数据求出函数的表达式．
【答案】（1）
（2）1，2
（3）解： 将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：当时，，
故答案为：
（2）解：表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
【分析】本题以“函数求值机”为背景，考查了分段函数求值、一次函数的特点以及待定系数法求解析式。
（1）当 x = -3 时，由 x < -2 代入 y = 4x 得 m = -12；
（2）当 x -2 时，y 应随 x 均匀变化，观察数据发现 x = 0 时 y = 1 错误，应为 2；
（3）利用待定系数法，代入 x = -1， y = -3 和 x = 1， y = 7 解得 k = 5，b = 2，故表达式为 y = 5x + 2(x -2)。
（1）解：当时，，
故答案为：
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
（3）将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
22．AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下：
七、八年级学生代表成绩的平均数与方差
平均数 方差
七年级
八年级
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
【答案】（1）七
（2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人，
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
【分析】本题以人工智能知识竞赛成绩统计为背景，考查了方差的意义、条形统计图的补全以及用样本估计总体的统计思想。
（1）对比七、八年级方差，七年级方差更小，故成绩更整齐；
（2）由中位数与众数相同及每个得分人数均不少于1人，推断出2分和3分的人数分别为1人和4人，从而补全条形图；
（3）先计算样本中七年级和八年级成绩不低于4分的人数，再按比例估计全校600人中约有240人达到该标准。
（1）解：，
学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
（2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人，
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人．
23．如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题以等边三角形和直角三角形为背景，综合考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理以及周长的计算。
（1）由等边三角形高线得 BD = DC， BAD = 30°，结合 ED = AD 和 AF AB 推出 △ ADF 为等边三角形，得 ED = DF，从而四边形 BECF 为平行四边形；
（2）由 AB = 4 求得 AD = 2，在 Rt△ ABF 中利用勾股定理得 BF = 2，再证 BE = BD = 2，最后利用平行四边形周长公式 2(BF + BE) 求出周长为 4 + 4。
（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
24．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
【答案】解：（1）②④；
（2）证明：如图，连接、，
四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
，
四边形是等角线四边形．
（3）解：，，，
，
点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点，
是的垂直平分线，
，
根据题意，分两种情况：
Ⅰ当点在的上方时，如图，连接，
四边形为等角线四边形，
，
，
．
Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
四边形为等角线四边形，
．
，
，
，
综上，这个等角线四边形的面积为10或
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意；
②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意；
③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意；
④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意；
故答案为：②④；
【分析】本题以新定义“等角线四边形”为背景，综合考查了特殊四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及分类讨论思想。
（1）根据对角线相等的四边形定义，矩形和正方形的对角线相等，故答案为②④。
（2）在正方形 ABCD 中，由 BG = CF 得 DF = CG，连接 AF、DG，通过 SAS 证明，得 AF = DG，所以四边形 ADFG 是对角线相等的四边形，即为等角线四边形。
（3）先由勾股定理求出 AC = 2，点 D 在 AB 的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点 D 在 AB 上方时，利用勾股定理求出 DE = 4，面积；当点 D 在 AB 下方时，构造矩形并利用勾股定理求出相关长度，面积。故四边形面积为 10 或。
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标；
（3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由．
【答案】（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，其中，则，，
，，
，
解得或，
点的坐标为或
（3）解：为边时，如图：
由表达式得，
菱形的边长为，
设，
，
，
解得（舍去）或，
，
轴，，
；
当为对角线时，连接交轴于，如图：
四边形是菱形，
直线是线段的垂直平分线，
，
在中，令得，
，
是线段的垂直平分线，
，
综上所述，的坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以一次函数图象的交点及菱形存在性问题为背景，综合考查了待定系数法求解析式、坐标系中线段长度的计算以及菱形的判定与分类讨论。
（1）将点 C 代入 求出其坐标，再代入解得，得到直线 AB 的表达式。
（2）设 D(m， 0)（m > 0），用含 m 的式子表示 E、F 的纵坐标，得到，结合 OD = m 和已知条件 EF + OD =，分类讨论去掉绝对值符号，解得 或 m =，从而得到点 D 的坐标。
（3）分两种情况讨论菱形：当 OB 为边时，由 OM = OB = 列出方程求出点 M 坐标，再利用平移或平行关系求得点 N；当 OB 为对角线时，对角线互相垂直平分，直线 MN 是 OB 的垂直平分线，先求出中点 P，再求出点 M 坐标，进而得到点 N 坐标。
（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，其中，则，，
，，
，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：为边时，如图：
由表达式得，
菱形的边长为，
设，
，
，
解得（舍去）或，
，
轴，，
；
当为对角线时，连接交轴于，如图：
四边形是菱形，
直线是线段的垂直平分线，
，
在中，令得，
，
是线段的垂直平分线，
，
综上所述，的坐标为或．
1 / 1湖南省长沙市宁乡市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在平行四边形中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．正比例函数的图象经过点，则k的值是（　　）
A． B． C．1 D．2
3．若，则x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．长沙是一座充满历史底蕴和现代文明的城市，市内有湖南省博物院、湖南省科学技术馆、湖南湘绣博物馆、隆平水稻博物馆、湖南地质博物馆等研学景点，某班同学分小组到以上五个地方进行研学，人数分别为：12，8，11，7，（单位：人），则这组数据的中位数是（　　）
A．12 B．8 C．11 D．7
6．如图，在中，，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体的密度与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．下列说法，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的菱形是正方形
D．矩形、菱形都具有“对角线相等”的性质
9．如图所示，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　）
A． B．当时，
C． D．的解集是
10．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若 有意义，则x的取值范围是　 　
12．平面直角坐标系中，点 到原点的距离是　 　.
13．一列数据：1，2，5，x，7的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．
14．将直线平移后经过点（2，），则平移后的直线解析式为　 　．
15．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为　 　元．
16．如图，长方形中，，，点E为射线上一动点（不与点D重合），将沿翻折得到，连接，若为直角三角形，则的长为　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．若，求的值．
19．已知关于的函数．
（1）若y是x的正比例函数，求m的值；
（2）若，求该函数图象与轴的交点坐标．
20．如图，在中，D是上任意一点，连结，若，，，
（1）证明：是直角三角形；
（2）求的长．
21．如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．将该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值记录在下面表格中．
输入x … 0 1 …
输出y … m 1 7 …
（1）______；
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是______，应改为______；
（3）当时，利用正确的数据求出函数的表达式．
22．AI的迅猛发展在多个领域影响着我们的生活．某校七、八年级利用课余时间举办了人工智能知识竞赛活动，并从七、八年级各随机抽取了10名学生代表的成绩（满分：5分）进行了整理、描述和分析，相关信息如下．
a：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人．
b：七年级10名学生代表成绩的条形统计图（尚不完整），八年级名学生代表成绩的扇形统计图及七、八年级学生代表成绩的平均数与方差对比表格如下：
七、八年级学生代表成绩的平均数与方差
平均数 方差
七年级
八年级
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）学生代表成绩比较整齐的是______年级．（填“七”或“八”）
（2）补全条形统计图．
（3）若共600名学生参与竞赛，根据七年级和八年级学生代表的成绩，请估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数．
23．如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求四边形的周长．
24．定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
理解：
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形；
运用：
（3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）点D为x轴正半轴上一点，过点D作x轴的垂线，与直线，分别交于点E，F，当时，求点D的坐标；
（3）点M为线段上一点，点N为x轴上方的平面内一点．若以O，B，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】本题以平行四边形为背景，考查了平行四边形的性质以及平行线的性质。由平行四边形 ABCD 得 ADBC，则 A 与B 互为同旁内角，和为 180°，代入A = 70°得 B = 110°。
2．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：正比例函数的解析式为，已知图象经过点，
将点的坐标代入解析式，得，
解得，
故选：B．
【分析】本题以正比例函数图象经过已知点为背景，考查了待定系数法求正比例函数解析式。将点 (-1， 2) 代入 y = kx 得 2 = k (-1)，解得 k = -2。
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以算术平方根的性质为背景，考查了= a 成立的条件是 a0。由 = x-1 得 x-10，解得 x 1。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和 不能合并，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，正确；
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式才能合并，可对A作出判断；两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简，可对B作出判断；利用二次根式除法法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质，可对D作出判断；
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将各小组人数按从小到大的顺序排列，得到：7，8，11，12，12，
共有5个数据（奇数个），中位数为第3个数，
排序后的第3个数是11，因此这组数据的中位数为11．
故选：C．
【分析】本题以研学小组人数统计为背景，考查了中位数的求法。先将数据按从小到大排序，数据个数为奇数时，中位数为中间位置的那个数。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，
，，
，
故选：C．
【分析】本题以直角三角形外作正方形为背景，考查了勾股定理的应用及正方形面积公式。由正方形面积得两条直角边的平方分别为5和9，利用勾股定理求出BC的长。
7．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴．
故选A．
【分析】由图1、 图2 可知相同深度，由图可知：液体 1 的压强， 然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大解答即可.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故答案为：说法错误；
B、两条对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故答案为：说法错误；
C、两条对角线相等的菱形是正方形，故答案为：说法正确；
D、矩形、菱形都具有“对角线平分”的性质，故答案为：说法错误；
故答案为：C.
【分析】利用矩形的判定定理可对A作出判断；利用菱形的判定定理，可对B作出判断；利用正方形的判定定理，可对C作出判断；利用矩形，菱形的性质，可对D作出判断.
9．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、直线的图象经过第二、三、四象限，，故A正确，不合题意；
B、由条件可知方程的解是，故B正确，不合题意；
C、直线的图象与y轴交于正半轴，，故C正确，不合题意；
D、结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方，不等式的解集为，故D错误，符合题意．
故选：D．
【分析】本题以一次函数图象的交点为背景，考查了一次函数的图象与性质、方程的解与不等式解集的关系。由图象得直线 = ax - 1 经过二、三、四象限，故 a < 0，A正确；两直线交点横坐标为 -5，则当 x = -5 时，B正确；直线 = mx + b 与 y 轴交于正半轴，故 b > 0，C正确；由图象可知，当 x -5 时，故 D 中解集 x -5 错误。故选 D。
10．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，
得，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得
故选：．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查了菱形的判定与性质以及菱形面积公式的应用。由作图可得 OA = OB = AC = BC，故四边形 OACB 为菱形，其面积等于对角线乘积的一半，即 OC AB = 16，代入 OC = 8 得 AB = 4。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得： .
故答案为： .
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】作 轴于 ，则 ， .
则根据勾股定理，得 .
故答案为： .
【分析】根据点P的坐标可求出点P到x轴和y轴的距离，再利用勾股定理求出OP的长。
13．【答案】5
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：由题意得，，则这组数据的众数是．
故答案为：．
【分析】本题以平均数和众数为背景，考查了平均数的逆用以及众数的确定。由平均数4和总个数5得总和为20，减去已知四个数1、2、5、7得 x = 5，数据中5出现两次，次数最多，故众数为5。
14．【答案】y=2x﹣3
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设平移后直线的解析式为y=2x+b．
把（2，1）代入直线解析式得1=2×2+b，解得 b=﹣3．
所以平移后直线的解析式为y=2x﹣3．
故答案是：y=2x﹣3．
【分析】本题以一次函数图象的平移为背景，考查了平移前后直线斜率不变的性质。设平移后的解析式为 y = 2x + b，代入点 (2，1) 得 1 = 4 + b，解得 b = -3，故解析式为 y = 2x - 3。
15．【答案】4
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设这件商品每件的原价为a元，
当购买的件数x超过10件时，所付的款数，
整理得：，
根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上，
，
解得：
答：这件商品每件的原价为4元．
故答案为：4．
【分析】本题以分段计费的实际问题为背景，考查了一次函数模型的应用以及从函数图象中提取信息的能力。设每件原价为 a 元，当 x > 10 时，付款总额 y = 10a + 0.8a(x - 10) = 0.8ax + 2a。由图象知点 (30， 104) 在该函数图象上，代入得 104 = 0.8a × 30 + 2a，解得 a = 4。
16．【答案】9或25
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：将沿翻折得到，
，，
①如图1，当点E在线段上时，
，
，，E三点共线.
，
.
，
；
②如图2，当点E在的延长线上时，
，，，
.
设，则，
，
，
，
解得，
，
综上，的值为9或
故答案为：9或
【分析】本题以长方形中的折叠问题为背景，考查了翻折的性质、勾股定理以及分类讨论思想。分两种情况：当点 E 在线段 DC 上时，由 △ ABD 为直角三角形得 B， D'， E 三点共线，利用面积法或勾股定理求出 DE = 9；当点 E 在 DC 延长线上时，设 CE = x，由勾股定理列方程解得 x = 8，则 DE = 25。综上，DE 的长为 9 或 25。
17．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了二次根式的化简、零指数幂以及二次根式的乘除运算。先分别计算：= 1，=3，再合并同类项得。
18．【答案】解：，
，，
，，

【知识点】二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题以非负数的性质为背景，考查了算术平方根的非负性及代数式求值。由算术平方根的非负性及平方的非负性，两个非负数之和为0则每个均为0，分别求出x、y的值，再代入计算。
19．【答案】（1）解：是的正比例函数，
，
解得．
故的值为：3．
（2）解：当时，该函数的表达式为，
令，得，
解得，
当时，该函数图象与轴的交点坐标为．
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例函数的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征将y=0代入表达式，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，，，
，
是直角三角形
（2）解：是直角三角形，，
，
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题以三角形中的边长为背景，考查了勾股定理及其逆定理的应用。
（1）由 BD2 + AD2 = 62 + 82 = 102 = AB2，根据勾股定理逆定理得 △ABD 是直角三角形；
（2）由ADB = 90° 得，故 BC = BD + CD = 21。
（1）证明：，，，
，
是直角三角形；
（2）解：是直角三角形，，
，
21．【答案】（1）
（2）1，2
（3）解： 将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
【知识点】函数自变量的取值范围；分段函数；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：当时，，
故答案为：
（2）解：表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
【分析】本题以“函数求值机”为背景，考查了分段函数求值、一次函数的特点以及待定系数法求解析式。
（1）当 x = -3 时，由 x < -2 代入 y = 4x 得 m = -12；
（2）当 x -2 时，y 应随 x 均匀变化，观察数据发现 x = 0 时 y = 1 错误，应为 2；
（3）利用待定系数法，代入 x = -1， y = -3 和 x = 1， y = 7 解得 k = 5，b = 2，故表达式为 y = 5x + 2(x -2)。
（1）解：当时，，
故答案为：
（2）表格中有一个y的值记录错误，这个错误的y值是1，应改为
故答案为：1，
（3）将，和，分别代入，
得，
解得，
当时，函数的表达为
22．【答案】（1）七
（2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人，
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
【分析】本题以人工智能知识竞赛成绩统计为背景，考查了方差的意义、条形统计图的补全以及用样本估计总体的统计思想。
（1）对比七、八年级方差，七年级方差更小，故成绩更整齐；
（2）由中位数与众数相同及每个得分人数均不少于1人，推断出2分和3分的人数分别为1人和4人，从而补全条形图；
（3）先计算样本中七年级和八年级成绩不低于4分的人数，再按比例估计全校600人中约有240人达到该标准。
（1）解：，
学生代表成绩比较整齐的是七年级；
故答案为：七；
（2）解：七年级10名学生代表成绩的中位数和众数相同，且每个得分的人数均不少于1人，
分和3分的人数分别有1人和4人，
补全条形统计图如下：
（3）解：抽取的八年级学生的成绩不低于4分的人数有人，
（人），
答：估计参与竞赛的学生的成绩不低于4分的人数有人．
23．【答案】（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定
【解析】【分析】本题以等边三角形和直角三角形为背景，综合考查了等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理以及周长的计算。
（1）由等边三角形高线得 BD = DC， BAD = 30°，结合 ED = AD 和 AF AB 推出 △ ADF 为等边三角形，得 ED = DF，从而四边形 BECF 为平行四边形；
（2）由 AB = 4 求得 AD = 2，在 Rt△ ABF 中利用勾股定理得 BF = 2，再证 BE = BD = 2，最后利用平行四边形周长公式 2(BF + BE) 求出周长为 4 + 4。
（1）证明：是等边的边上的高，
，，
，
，
，
，
为等边三角形三角形，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形的周长为：．
24．【答案】解：（1）②④；
（2）证明：如图，连接、，
四边形是正方形，
，，
，
，
∴，
，
四边形是等角线四边形．
（3）解：，，，
，
点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点，
是的垂直平分线，
，
根据题意，分两种情况：
Ⅰ当点在的上方时，如图，连接，
四边形为等角线四边形，
，
，
．
Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点，
，
，，
四边形是矩形，
，，
四边形为等角线四边形，
．
，
，
，
综上，这个等角线四边形的面积为10或
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意；
②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意；
③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意；
④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意；
故答案为：②④；
【分析】本题以新定义“等角线四边形”为背景，综合考查了特殊四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及分类讨论思想。
（1）根据对角线相等的四边形定义，矩形和正方形的对角线相等，故答案为②④。
（2）在正方形 ABCD 中，由 BG = CF 得 DF = CG，连接 AF、DG，通过 SAS 证明，得 AF = DG，所以四边形 ADFG 是对角线相等的四边形，即为等角线四边形。
（3）先由勾股定理求出 AC = 2，点 D 在 AB 的垂直平分线上，分两种情况讨论：当点 D 在 AB 上方时，利用勾股定理求出 DE = 4，面积；当点 D 在 AB 下方时，构造矩形并利用勾股定理求出相关长度，面积。故四边形面积为 10 或。
25．【答案】（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，其中，则，，
，，
，
解得或，
点的坐标为或
（3）解：为边时，如图：
由表达式得，
菱形的边长为，
设，
，
，
解得（舍去）或，
，
轴，，
；
当为对角线时，连接交轴于，如图：
四边形是菱形，
直线是线段的垂直平分线，
，
在中，令得，
，
是线段的垂直平分线，
，
综上所述，的坐标为或
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；菱形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；分类讨论
【解析】【分析】本题以一次函数图象的交点及菱形存在性问题为背景，综合考查了待定系数法求解析式、坐标系中线段长度的计算以及菱形的判定与分类讨论。
（1）将点 C 代入 求出其坐标，再代入解得，得到直线 AB 的表达式。
（2）设 D(m， 0)（m > 0），用含 m 的式子表示 E、F 的纵坐标，得到，结合 OD = m 和已知条件 EF + OD =，分类讨论去掉绝对值符号，解得 或 m =，从而得到点 D 的坐标。
（3）分两种情况讨论菱形：当 OB 为边时，由 OM = OB = 列出方程求出点 M 坐标，再利用平移或平行关系求得点 N；当 OB 为对角线时，对角线互相垂直平分，直线 MN 是 OB 的垂直平分线，先求出中点 P，再求出点 M 坐标，进而得到点 N 坐标。
（1）解：把代入得：，
，
把代入得：，
解得，
直线的表达式为；
（2）解：，其中，则，，
，，
，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：为边时，如图：
由表达式得，
菱形的边长为，
设，
，
，
解得（舍去）或，
，
轴，，
；
当为对角线时，连接交轴于，如图：
四边形是菱形，
直线是线段的垂直平分线，
，
在中，令得，
，
是线段的垂直平分线，
，
综上所述，的坐标为或．
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