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湖南省长沙市雨花区雅礼实验毓秀学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
1．-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
2．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（　　）
A．89 B．94 C．95 D．98
4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．下列函数不是一次函数的是(　　)
A． B． C． D．
6．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，在中，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　)
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C．且 D．
11．计算的结果为　 　．
12．一元二次方程的二次项系数是　 　．
13．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为　 　．
14．将直线向上平移2个单位后得到直线解析式为　 　．
15．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　 　．
16．若一元二次方程的两个根是，，则的值是　 　．
17．计算：．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．一次函数的图象经过点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．
20．跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148
152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求的周长；
（2）求及的面积．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
（1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
（2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元．
23．如图，在中，D，E分别是线段，的中点，连结并延长至点F，使，连结FC．
（1）证明：．
（2）证明：四边形是平行四边形．
（3）若，求四边形的周长．
24．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
（1）方程__________（填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
（3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
25．如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）四边形的周长为______；
（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题以长城总长为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 等于原数整数位数减1。将 6700000 写成 6.7 即可。
3．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：89、92、95、96、98，
∴中位数为95.
故答案为：C.
【分析】首先将数据按照由小到大的顺序进行排列，如何找出最中间的数据即为中位数.
4．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：．
故选：A．
【分析】本题以二次根式的定义域为背景，考查了二次根式有意义的条件。根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，因此 x 0。
5．【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、不是一次函数，所以本选项符合题意；
B、是一次函数，所以本选项不符合题意；
C、是正比例函数，也是一次函数，所以本选项不符合题意；
D、是一次函数，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以一次函数的概念为背景，考查了学生对一次函数定义的理解。一次函数的一般形式为 y = kx + b（k 0），其中正比例函数是特殊情况。选项A中 y =是反比例函数，不符合一次函数定义，故选A。
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.3x2与4x3不是同类项，不能合并，不符合题意；
B.原式= ，不符合题意；
C.原式= ，不符合题意；
D.原式=，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，提公因式法分解因式计算求解即可。
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设共有位同学聚会，则由题意可列方程为：．
故选：B．
【分析】本题以握手问题为背景，考查了组合数与一元二次方程的应用。设共有 x 位同学，每两人握手一次，总握手次数为组合数，代入已知次数列方程。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故选：C．
【分析】本题以一元二次方程有实数根为背景，考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用。由二次项系数不为0得 k0，由判别式 0 得 1-4k 0，解不等式组求 k 的取值范围。
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】本题以二次根式的乘法运算为背景，考查了平方差公式的应用。根据平方差公式 (a-b)(a+b)=a2-b2，直接计算得结果。
12．【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数是2.
故答案为：2.
【分析】本题以一元二次方程的一般形式为背景，考查了二次项系数的识别。根据一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 中 a 为二次项系数，直接读出给定方程中的 a 值。
13．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的面积等于对角线积的一半，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以菱形面积为背景，考查了菱形面积等于对角线乘积的一半这一性质。已知两条对角线长度，直接代入公式计算。
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后的解析式为：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数上下平移规则：对于一次函数 y = kx + b：向上平移 m 个单位：y = kx + b +m；向下平移 m 个单位：y = kx + b - m，即可得出答案
15．【答案】100
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【分析】由图形可知，三个正方形的边长构成直角三角形的三边，根据勾股定理，斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和。
16．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
【分析】本题以一元二次方程根与系数的关系为背景，考查了韦达定理的直接应用。对于方程 x2 - 4x + 3 = 0，有 = 4，= 3，代入所求代数式即可得到结果。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂的运算。先分别计算各项：|-2|=2，=2，=1，=3，再按顺序进行加减即可。
18．【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
∴，
或，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题以解一元二次方程为背景，考查了直接开平方法和因式分解法的应用。
（1）将方程化为 (x-3)2 = 25 后，两边直接开平方求解；
（2）将左边分解为 (x-1)(x-5)=0，再令每个因式为零得出方程的解。
（1）解：，
，
；
（2）解：，
∴，
或，
．
19．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点．
则，
解得，
∴一次函数解析式为
（2）解：令，解得，将代入，则，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标和，
根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下：
两坐标轴围成的三角形面积为
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题以待定系数法求一次函数解析式为背景，考查了一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及三角形面积的计算。
（1）通过将已知两点坐标代入解析式，联立方程组解出 k 和 b；
（2）分别令 x=0 和 y=0 求出与坐标轴的交点，再利用直角三角形面积公式求解。
（1）解：∵一次函数的图象经过点和点．
则，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：令，解得，将代入，则，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标和，
根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下：
两坐标轴围成的三角形面积为．
20．【答案】（1），
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
【分析】本题以七年级学生跳绳测试为背景，考查了众数、中位数的求法，用样本估计总体及中位数在数据分布中的意义。
（1）根据数据找出出现次数最多的数得众数，排序后取中间两个数的平均值得中位数。
（2）用样本中达到优秀（≥165次）的人数比例乘以总人数，估计总体优秀人数。
（3）将个人成绩与中位数比较，判断是否超过一半学生。
（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
21．【答案】（1）解：由勾股定理得，，
，
，
的周长
（2）解：，
是直角三角形，且，
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题以正方形网格为背景，考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算。
（1）利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再相加得到周长；
（2）通过验证两边平方和等于第三边平方，判定 ABC 为直角三角形且 ABC = 90，再根据直角边乘积的一半求出面积。
（1）解：由勾股定理得，，
，
，
的周长；
（2）解：，
是直角三角形，且，
．
22．【答案】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
答：4月份投入图书购置经费为86.4万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题以图书馆图书购置经费增长为背景，考查了一元二次方程在增长率问题中的应用。
（1）设平均增长率为 x，根据“1月份投入50万元，3月份投入72万元”列方程 50(1+x)2= 72，解出 x 并舍去不合题意的解；
（2）在3月份投入72万元的基础上，再乘以 (1+20%) 即可得到4月份的投入金额。
（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
答：4月份投入图书购置经费为86.4万元．
23．【答案】（1）证明：∵E是线段的中点，
，
在和中，
，
（2）解：∵D，E分别是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
∴四边形是平行四边形
（3）解：在中，，
则四边形的周长
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题以三角形中位线和全等三角形为背景，考查了全等三角形的判定（SAS）、平行四边形的判定与性质以及周长的计算。
（1）利用中点得 EA = EC，结合对顶角相等和已知 DE = EF，证明；
（2）由中位线性质得 DE BC 且 BC = 2DE，结合 DF = 2DE 推出 DFBC 且 DF = BC，从而证得四边形 DFCB 是平行四边形；
（3）根据 BC = BA = 6 及中点性质求出 BD = 3，再代入平行四边形周长公式计算。
（1）证明：∵E是线段的中点，
，
在和中，
，
；
（2）∵D，E分别是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）在中，，
则四边形的周长．
24．【答案】（1）不是
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）2
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【分析】（1）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义进行判断即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据公式法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，可得，将x=-1代入方程可得，即，再整体代入，即可求出答案.
（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：∵矩形，，
∴，，，
由平移可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴四边形是菱形
（2）
（3）矩形周长为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；平移的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，连接，
由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由（）可得，，
∴四边形是菱形，
∵，
则由勾股定理得：
，
∴四边形的周长为，
故答案为：；
（3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：
∴矩形的周长为或．
【分析】本题以矩形对角线的平移变换为背景，考查了菱形的判定、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及图形剪拼后矩形周长的计算。
（1）通过平移得出 ADBC' 且 AD = BC'，结合 B' 为 BD 中点及 ADB = 60证得 △ ADB' 为等边三角形，从而得到一组邻边相等，证得四边形 ABC'D 是菱形；
（2）在 Rt△ ABD 中利用勾股定理求出边长 AB，再乘以4得到周长；
（3）根据菱形对角线剪拼成矩形的不同方式，分类讨论得出所有可能的矩形周长。
（1）证明：∵矩形，，
∴，，，
由平移可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由（）可得，，
∴四边形是菱形，
∵，
则由勾股定理得：
，
∴四边形的周长为，
故答案为：；
（3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：
∴矩形的周长为或．
1 / 1湖南省长沙市雨花区雅礼实验毓秀学校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
1．-2的倒数是（　　）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是-
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。
2．作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】本题以长城总长为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 等于原数整数位数减1。将 6700000 写成 6.7 即可。
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（　　）
A．89 B．94 C．95 D．98
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据按照由小到大的顺序排列为：89、92、95、96、98，
∴中位数为95.
故答案为：C.
【分析】首先将数据按照由小到大的顺序进行排列，如何找出最中间的数据即为中位数.
4．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：．
故选：A．
【分析】本题以二次根式的定义域为背景，考查了二次根式有意义的条件。根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数，因此 x 0。
5．下列函数不是一次函数的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解：A、不是一次函数，所以本选项符合题意；
B、是一次函数，所以本选项不符合题意；
C、是正比例函数，也是一次函数，所以本选项不符合题意；
D、是一次函数，所以本选项不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以一次函数的概念为背景，考查了学生对一次函数定义的理解。一次函数的一般形式为 y = kx + b（k 0），其中正比例函数是特殊情况。选项A中 y =是反比例函数，不符合一次函数定义，故选A。
6．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
7．如图，在中，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
8．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.3x2与4x3不是同类项，不能合并，不符合题意；
B.原式= ，不符合题意；
C.原式= ，不符合题意；
D.原式=，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，提公因式法分解因式计算求解即可。
9．某班组织了一次小型同学聚会，参与的同学每两人之间都握了一次手，所有人共握了次手．设共有位同学聚会，则满足的关系式为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设共有位同学聚会，则由题意可列方程为：．
故选：B．
【分析】本题以握手问题为背景，考查了组合数与一元二次方程的应用。设共有 x 位同学，每两人握手一次，总握手次数为组合数，代入已知次数列方程。
10．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．且 B．且 C．且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且，
故选：C．
【分析】本题以一元二次方程有实数根为背景，考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用。由二次项系数不为0得 k0，由判别式 0 得 1-4k 0，解不等式组求 k 的取值范围。
11．计算的结果为　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：．
【分析】本题以二次根式的乘法运算为背景，考查了平方差公式的应用。根据平方差公式 (a-b)(a+b)=a2-b2，直接计算得结果。
12．一元二次方程的二次项系数是　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：一元二次方程的二次项系数是2.
故答案为：2.
【分析】本题以一元二次方程的一般形式为背景，考查了二次项系数的识别。根据一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 中 a 为二次项系数，直接读出给定方程中的 a 值。
13．如图，在菱形中，两条对角线，，则此菱形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的面积等于对角线积的一半，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以菱形面积为背景，考查了菱形面积等于对角线乘积的一半这一性质。已知两条对角线长度，直接代入公式计算。
14．将直线向上平移2个单位后得到直线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后的解析式为：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数上下平移规则：对于一次函数 y = kx + b：向上平移 m 个单位：y = kx + b +m；向下平移 m 个单位：y = kx + b - m，即可得出答案
15．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　 　．
【答案】100
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64．
故答案为：100．
【分析】由图形可知，三个正方形的边长构成直角三角形的三边，根据勾股定理，斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和。
16．若一元二次方程的两个根是，，则的值是　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
【分析】本题以一元二次方程根与系数的关系为背景，考查了韦达定理的直接应用。对于方程 x2 - 4x + 3 = 0，有 = 4，= 3，代入所求代数式即可得到结果。
17．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、算术平方根、零指数幂和负整数指数幂的运算。先分别计算各项：|-2|=2，=2，=1，=3，再按顺序进行加减即可。
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
（2）解：，
∴，
或，
．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题以解一元二次方程为背景，考查了直接开平方法和因式分解法的应用。
（1）将方程化为 (x-3)2 = 25 后，两边直接开平方求解；
（2）将左边分解为 (x-1)(x-5)=0，再令每个因式为零得出方程的解。
（1）解：，
，
；
（2）解：，
∴，
或，
．
19．一次函数的图象经过点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点．
则，
解得，
∴一次函数解析式为
（2）解：令，解得，将代入，则，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标和，
根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下：
两坐标轴围成的三角形面积为
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题以待定系数法求一次函数解析式为背景，考查了一次函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及三角形面积的计算。
（1）通过将已知两点坐标代入解析式，联立方程组解出 k 和 b；
（2）分别令 x=0 和 y=0 求出与坐标轴的交点，再利用直角三角形面积公式求解。
（1）解：∵一次函数的图象经过点和点．
则，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：令，解得，将代入，则，
∴一次函数与坐标轴的交点坐标和，
根据两点确定一直线画出一次函数的图象如下：
两坐标轴围成的三角形面积为．
20．跳绳是某校体育活动的特色项目．体育组为了了解七年级学生1分钟跳绳次数情况，随机抽取20名七年级学生进行1分钟跳绳测试（单位：次），数据如下：
100　　110　　114　　114　　120　　122　　122　　131　　144　　148
152　　155　　156　　165　　165　　165　　165　　174　　188　　190
对这组数据进行整理和分析，结果如下：
平均数 众数 中位数
145
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：______，______；
（2）学校规定1分钟跳绳165次及以上为优秀，请你估计七年级240名学生中，约有多少名学生能达到优秀？
（3）某同学1分钟跳绳152次，请推测该同学的1分钟跳绳次数是否超过年级一半的学生？说明理由．
【答案】（1），
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
【分析】本题以七年级学生跳绳测试为背景，考查了众数、中位数的求法，用样本估计总体及中位数在数据分布中的意义。
（1）根据数据找出出现次数最多的数得众数，排序后取中间两个数的平均值得中位数。
（2）用样本中达到优秀（≥165次）的人数比例乘以总人数，估计总体优秀人数。
（3）将个人成绩与中位数比较，判断是否超过一半学生。
（1）解：这组数据中，165出现了4次，出现次数最多
∴，
这组数据从小到大排列，第10个和11个数据分别为，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵跳绳165次及以上人数有7个，
∴估计七年级240名学生中，有个优秀，
（3）解：∵中位数为，
∴某同学1分钟跳绳152次，可推测该同学的1分钟跳绳次数超过年级一半的学生．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求的周长；
（2）求及的面积．
【答案】（1）解：由勾股定理得，，
，
，
的周长
（2）解：，
是直角三角形，且，
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】本题以正方形网格为背景，考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算。
（1）利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再相加得到周长；
（2）通过验证两边平方和等于第三边平方，判定 ABC 为直角三角形且 ABC = 90，再根据直角边乘积的一半求出面积。
（1）解：由勾股定理得，，
，
，
的周长；
（2）解：，
是直角三角形，且，
．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
（1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
（2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元．
【答案】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
答：4月份投入图书购置经费为86.4万元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】本题以图书馆图书购置经费增长为背景，考查了一元二次方程在增长率问题中的应用。
（1）设平均增长率为 x，根据“1月份投入50万元，3月份投入72万元”列方程 50(1+x)2= 72，解出 x 并舍去不合题意的解；
（2）在3月份投入72万元的基础上，再乘以 (1+20%) 即可得到4月份的投入金额。
（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为；
（2）解：4月份投入图书购置经费为（万元），
答：4月份投入图书购置经费为86.4万元．
23．如图，在中，D，E分别是线段，的中点，连结并延长至点F，使，连结FC．
（1）证明：．
（2）证明：四边形是平行四边形．
（3）若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵E是线段的中点，
，
在和中，
，
（2）解：∵D，E分别是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
∴四边形是平行四边形
（3）解：在中，，
则四边形的周长
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题以三角形中位线和全等三角形为背景，考查了全等三角形的判定（SAS）、平行四边形的判定与性质以及周长的计算。
（1）利用中点得 EA = EC，结合对顶角相等和已知 DE = EF，证明；
（2）由中位线性质得 DE BC 且 BC = 2DE，结合 DF = 2DE 推出 DFBC 且 DF = BC，从而证得四边形 DFCB 是平行四边形；
（3）根据 BC = BA = 6 及中点性质求出 BD = 3，再代入平行四边形周长公式计算。
（1）证明：∵E是线段的中点，
，
在和中，
，
；
（2）∵D，E分别是线段的中点，
是的中位线，
，
，
，
∴四边形是平行四边形；
（3）在中，，
则四边形的周长．
24．定义：已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则称此类方程为“差积方程”．
例如：，
即，
解得，，
∵，
是差积方程．
（1）方程__________（填是或不是）“差积方程”；
（2）若关于的方程是“差积方程”，求出的值．
（3）若关于的方程是“差积方程”，且它的一个实数根为，则__________．
【答案】（1）不是
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）2
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【分析】（1）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义进行判断即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据公式法解方程，再根据“差积方程”定义建立方程，可得，将x=-1代入方程可得，即，再整体代入，即可求出答案.
（1）解：，
即，
解得：，
，
∴不是差积方程；
（2）解：，
即，
解得：，，
∵是差积方程，
，
即或．
解得：或；
（3）解：，
解得：，
，，
∵是差积方程，
，
即，
即，
∵它的一个实数根为，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
25．如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到的位置，使为中点，连接，，，，如图②．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）四边形的周长为______；
（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．
【答案】（1）证明：∵矩形，，
∴，，，
由平移可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴四边形是菱形
（2）
（3）矩形周长为或
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；平移的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，连接，
由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由（）可得，，
∴四边形是菱形，
∵，
则由勾股定理得：
，
∴四边形的周长为，
故答案为：；
（3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：
∴矩形的周长为或．
【分析】本题以矩形对角线的平移变换为背景，考查了菱形的判定、等边三角形的性质、勾股定理的应用以及图形剪拼后矩形周长的计算。
（1）通过平移得出 ADBC' 且 AD = BC'，结合 B' 为 BD 中点及 ADB = 60证得 △ ADB' 为等边三角形，从而得到一组邻边相等，证得四边形 ABC'D 是菱形；
（2）在 Rt△ ABD 中利用勾股定理求出边长 AB，再乘以4得到周长；
（3）根据菱形对角线剪拼成矩形的不同方式，分类讨论得出所有可能的矩形周长。
（1）证明：∵矩形，，
∴，，，
由平移可得，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵为中点，
∴中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴ ，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
由平移可得，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
由（）可得，，
∴四边形是菱形，
∵，
则由勾股定理得：
，
∴四边形的周长为，
故答案为：；
（3）解：将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：
∴矩形的周长为或．
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