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河北保定市博野县部分校联考2025-2026学年高一下学期6月期末考试
数学试题
一、单选题
1．已知，是复数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
5．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，公路一侧有一幢楼，公路与楼底在同一平面上，小明在公路上行走，在点处测得楼顶的仰角为，行走100米到达处，测得楼顶的仰角为，再行走100米到达点处，测得楼顶的仰角为，则楼的高为（ ）
参考数据：.
A．米 B．米 C．300米 D．米
8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且是等边三角形，点分别为棱的中点，且，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的极差为
B．该组数据的70%分位数为
C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数
D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差
10．在复平面内，复数，对应的点分别为，，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则，关于轴对称
C．若，则
D．若，且，是关于的方程的两个根（，），则
11．如图，是边长为2的正六边形的中心，是正六边形边上的动点，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为6
D．的取值范围为
三、填空题
12．某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________．
13．如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________.
14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，，．
(1)若，求实数的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
16．甲、乙两人参加猜灯谜比赛，每局比赛甲、乙各猜一个灯谜，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则平局，规定先胜2局的一方赢得奖品并结束此次比赛．已知每局比赛甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，在每局比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各局结果也互不影响．
(1)求每局比赛中甲获胜的概率，乙获胜的概率及甲、乙平局的概率；
(2)求此次比赛进行3局就结束的概率．
17．某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按，，，，分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中在内的评分的平均数为64.5，方差为14，在内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在内的评分的平均数与方差．
18．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若，的面积为．
（ⅰ）求的周长；
（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．
19．如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1．A
解析：由题意.
2．D
解析：因为向量，，且，则，解得.
3．B
解析：若两个平面平行 ，平面内任意一条直线都与另一平面无交点，因为 ，所以必有 ,即：由 能推出 ，必要性成立;
已知 ，，, 若直线 ，两条平行线同时平行于平面 ，
此时平面 可以和平面 相交, 故仅 不能推出 ，充分性不成立.
则“”是“”的必要不充分条件.
4．C
解析：设袋中红球有个，
利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6，
由题意可得：，解得，
所以袋中约有红球12个.
5．D
解析：如图，连接，因为平面，所以平面，
平面，所以，
又分别是的中点，所以，
所以直线与所成角为（或其补角），
因为，
所以.
6．B
解析：不超过的质数有共8个，
任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，
所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，
从8个质数中任选2个不同的质数有种，
所以，所求概率为.
7．A
解析：由题可知，
则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，两式相加，
得，即，
解得.
8．C
解析：
因为是等边三角形，取的中点为,则
又平面，所以平面
因为平面，所以，
又点分别为棱的中点，且，故，
，
又平面，
所以平面.
设外接圆的圆心为，半径为，
易得，由正弦定理
所以球的半径，
所以球的表面积为.故选C.
9．AD
解析：该组数据的极差为，A正确；
因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误；
原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误；
剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确．
10．BC
解析：若，则，故A错误；
因为，，所以，则，关于轴对称，故B正确；
若，则，则，故C正确；
由题意得，，则，故D错误.
11．ACD
解析：A：正六边形的中心为，各边长为，所以，
在正六边形中，向量两两之间的夹角均为，
根据向量加法的几何意义，三个长度相等且两两夹角为的向量之和为零向量，
即，正确，
B：根据向量加法的三角形法则，有，，
两式相加得：，
由A知，所以，
代入上式得：，
因为，所以，而不是，错误，
C：要使的值最大，即求在方向上的投影与的乘积最大，
因为的长度为，需要让在上的投影最大，
当动点在边上运动时，随着点从移向，在方向上的投影逐渐增大，
当点与点重合时，即，
在正六边形中，是顶角为的等腰三角形，底边，底角，
向量在上的投影长度为，
所以的最大值为，正确，
D：对于平面内任意一点和正六边形的中心，
由，
同理
，
所以
，
同A分析有，
故原式，
已知中心到各顶点的距离均为，则后一项为，故原式，
当点在边上运动时，的最小值为边心距，此时，
的最大值为半径，此时，因此，
所以原式的取值范围为，正确.
12．48
解析：由题意得，，得
13．
解析：依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接，
则线段就是绳的最短长度，此时，由，
得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为.
14．
解析：因为，所以，整理得，
所以或，
若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立，
所以，则，，由得，
，
设，，
因为，所以，，所以，
所以.
15．(1)
(2)
解析：（1）因为，所以，
所以，
即，
解得．
（2）由题意得，
，
设向量与的夹角为，
则．
即向量与的夹角的余弦值为.
16．(1)，，
(2)
解析：（1）设每局比赛中，甲获胜为事件，乙获胜为事件，甲、乙平局为事件，
则，，
．
（2）设比赛进行3局就结束为事件，第局比赛中甲获胜为事件，第局比赛中乙获胜为事件，，
则，
所以
．
17．(1)，74.5．
(2)平均数为70.5，方差为35
解析：（1）根据题意，，解得．
，
估计这200名客户的满意度评分的平均数为74.5．
（2）由频率分布直方图可知评分在，的频率比为，
则样本中在内的评分的平均数为，
样本中在内的评分的方差为
18．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）．
解析：（1）因为
由正弦定理，为外接圆半径.
所以，即，
所以，
又，所以．
（2）（ⅰ），解得．
由余弦定理，得，所以，
所以的周长为．
（ⅱ）设，，，，，
所以，则，
所以，
同理可得，所以:
，
当且仅当，即，时等号成立，所以．
又在中，，
在，，
所以．
19．(1)证明：如图，连接，交于点，连接．
在三棱台中，，所以，
又是棱的中点，是线段的中点，所以，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面．
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，．
因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
又，，，
在中，，则，
所以，即二面角的余弦值为．
（3）因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离．
设点到平面的距离为，
，
，
由，得，解得，
设直线与平面所成角为，所以，

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