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山西省运城市河津市2023-2024学年下学期期末质量监测八年级数学试卷
一、单选题
1．剪纸，又称为刻纸，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的民间艺术，它是我国古老的传统艺术之一，以下剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．无论x取何值，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．1
9．如图，中，，D，E分别是，的中点，，，则的长为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．7
10．某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点O中心对称的点的坐标为_______．
12．化简的结果是_______．
13．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为_______．
14．如图，与中，，，，连接，并延长交于点P，过点D作于点G，若，则_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在的延长线上时，边的延长线交于点，则线段的长度为_______．
三、解答题
16．（1）因式分解：；
（2）利用因式分解计算：；
（3）解分式方程：．
17．先化简：，再从1，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18．如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由．
19．下面是按一定规律排列的一列等式：
①；②；③；④
(1)根据上面等式的规律补全等式：；
(2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______；
(3)请证明（2）中等式的正确性；
(4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果：
．
20．如图，在中，点，分别在，的延长线上，与的角平分线分别交直线于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形．
21．2024年WTT常规挑战赛太原站，于2024年5月20日—26日在太原市滨河体育中心体育馆如期进行．精彩的比赛激发我市诸多乒乓球爱好者的喜爱．某单位计划为职工购买A，B两种品牌的红双喜狂飚套胶．经调查，A品牌套胶比B品牌每块贵40元，用800元购买A品牌套胶和用600元购买B品牌套胶的数量相同．
(1)求A，B两种品牌套胶的单价；
(2)若该单位为职工购买A，B两种品牌套胶共20块，购买B品牌套胶的数量不超过A品牌套胶的数量，问购买A，B两种品牌套胶各多少块时，可使所需费用最少？最少为多少元？
22．阅读下面材料，完成相应任务：
配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ．
任务一：
（1）运用配方法将多项式因式分解；
（2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数．
任务二：
“创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的．
（3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程；
（4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可）
①分类讨论 ②数形结合 ③整体思想
23．综合与实践
问题情境：
如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点F．
（1）判断线段与的数量关系，并说明理由；
（2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是_________．
操作计算：
在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，解答下列问题：
（3）如图3，当点G，H首次分别落在边，上时，求线段的长；
（4）四边形在绕点O顺时针方向旋转过程中，当所在的直线经过点B时，请直接写出线段的长．
参考答案
1．B
【详解】解：轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形．
选项A：该图形是轴对称图形（存在对称轴），但不是中心对称图形（绕某点旋转后不能与原图重合），故A不符合．
选项B：该图形是轴对称图形（存在对称轴），也是中心对称图形（绕对称中心旋转后与原图重合），故B符合．
选项C：该图形是轴对称图形（存在对称轴），但不是中心对称图形（绕某点旋转后不能与原图重合），故C不符合．
选项D：该图形不是轴对称图形（不存在对称轴），是中心对称图形（绕对称中心旋转后与原图重合），故D不符合．
故选：B．
2．B
【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意；
B、是因式分解，符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意；
D、等式右边含有分式，不符合题意；
故选B．
3．D
【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．C
【详解】解：选项A，当，即时，分母为，分式无意义．
选项B，当，即时，分母为，分式无意义．
选项C，因为，所以，分母一定不为，分式一定有意义．
选项D，当，即时，分母为，分式无意义．
故选：．
5．C
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示出解集如图：
故选C．
6．D
【详解】解：如图，连接，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴边与重合，则α的最小值为，
故选：D．
7．D
【详解】解：设这个正多边形的边数为，则：，
解得：，
∴这个正多边形的内角和为；
故选D．
8．C
【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，
∴当时，的值最小，此时．
∵，
∴的最小值为．
故选：．
9．A
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴．
故选：A．
10．B
【详解】解：设购买机器人的数量为x套，则购买无人机的数量为套，根据题意得：
．
故选：B．
11．
【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标为．
故答案为：．
12．或
【详解】解：原式
．
故答案为：或．
13．
【详解】解：由一次函数的图象与轴交于点，且图象从左到右呈下降趋势，可知当时，．
故答案为：．
14．
【详解】解：设交于，
∵，
∴，
在与中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．5
【详解】解：连接，设与轴相交于点，如图所示：
点，点，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，轴，
点，
，
设，，
由旋转的性质得：，，，，，
，
，，
点的坐标为，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
点，，三点共线，
，
设直线的表达式为：，
将点代入，得：，
直线的表达式为：，
，
设直线的表达式为：，
将点代入，得：，
直线的表达式为：，
设点的坐标为，
，，，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
点的坐标为，
设直线的表达式为：，
将点代入，得：，
解得：，
直线的表达式为：，
对于，当时，，
点的坐标为，
，
．
故答案为：．
16．（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1）原式
（2）原式．
（3）解：方程两边都乘，得，
移项、化简，得，
解得，
检验：当时，，
所以，是原方程的解．
17．，当时，原式
【详解】解：原式
．
当或2时，分式无意义，所以取．
当时，
原式．
18．线段垂直平分，见解析
【详解】解：线段垂直平分．
证明：，，
，
又，
，
，
点，在线段的垂直平分线上，
线段垂直平分．
19．(1)；
(2)
(3)证明见解析
(4)
【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为，
∴等式为：，
故答案为：；；
（2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是，
∴第个等式为：，
故答案为：；
（3）证明：左边
，
∴左边右边，
∴原等式成立；
（4）解：
．
20．见解析
【详解】证明：在中，，，，
．
，，，，
，，
，分别平分与，
，，
，
，
，，
∴，
四边形是平行四边形．
21．(1)A，B两种品牌套胶的单价分别是160元/块，120元/块
(2)当购买A品牌套胶10块，B品牌套胶10块时，所需费用最少，最少费用为2800元
【详解】（1）设A品牌套胶的单价是x元/块，则B品牌套胶的单价是元/块．
根据题意，得，
解得．
经检验是方程的解且符合实际．
此时．
答：A，B两种品牌套胶的单价分别是160元/块，120元/块．
（2）设购买A品牌套胶m块，购买B品牌套胶块，共需费用为w元．
根据题意，得，解得．
．
，
w随m的增大而增大，
当m取最小值时，w最小．
又，
当时，．
此时．
答：当购买A品牌套胶10块，B品牌套胶10块时，所需费用最少，最少费用为2800元．
22．（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）③
【详解】本题考查了用配方法分解因式，掌握因式分解的完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）将多项式，再，使构成完全平方式，再运用平方差公式分解即可；
（2）将多项式，再，使构成完全平方式，原式化为，再根据平方的非负性判断即可；
（3）设，则原式化为，进一步按配方法分解，分解后将代入即可得解；
（4）将看作一个整体，这种解题方法是整体思想，据此回答即可．
解：任务一：
（1）原式
（2）原式
．
一定是一个非负数，
一定是一个正数．
即原式的值一定是一个正数．
任务二：
（3）设，则原式化为
．
（4）③．
故答案为：③．
23．（1），见解析；（2）平行四边形；（3）；（4）或
【详解】解：（1），理由如下：
在中，，，
，，
，
．
（2）四边形的形状是平行四边形，
理由：在中，，，
，，
，
，
由（1）知，
四边形的形状是平行四边形，
（3）如图，连接，过点O作于点M．则．
在中，，，，
．
，．
在中，，．
．
在中，，，
．
．
在图2中，点O，G分别是，的中点，
是的中位线，
，
如图，在中，，
．
．
．
（4）①如图，当点B在的延长线上时，连接，，过点O作于点P，则，
在图2中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
如图，在中，，
．
在中，，
．
．
②如图，当点B在的延长线上时，连接，过点O作于点P．
由上面结论可知，
，，
，
综上：或．

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