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第 二十八章 圆
28.1 圆的基本概念和性质
学习目标
1.理解圆的定义；
2.理解弧、弦等与圆有关的概念；
3.掌握和运用点和圆的三种位置关系，利用点到圆心的距离（d）与半径（r）判断位置关系.
学习重难点
理解弧、弦等与圆有关的概念.
掌握和运用点和圆的三种位置关系，利用点到圆心的距离（d）与半径（r）判断位置关系.
难点
重点
情景引入
这些图片中都有哪种图形？
观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
思考
·
r
O
A
怎样来定义这种图形？
圆的定义
探索新知
知识点1
如图，平面上到定点的距离等于定长（的长）的所有点组成的图形，叫作圆．定点叫作圆心，线段叫作圆的半径.
定义
O
A
决定圆的位置.
决定圆的大小.
确定一个圆的两要素：圆心和半径.
以为圆心的圆，记作“⊙ ”，读作“圆”.
思考
从画圆的过程中，你能说出圆上的点有什么特征吗？
①圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径r)；
②平面内到定点(圆心)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上．
例1
下列说法中, 错误的有（ ）
①经过点P 的圆有无数个；
②以点P 为圆心的圆有无数个；
③半径为3 cm 且经过点P 的圆有无数个；
④以点P 为圆心，3 cm 长为半径的圆有无数个.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
解析：确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个.故①②③都正确，④错误.故选A.
A
例题示范
归纳总结
1.圆指的是圆周，而不是圆面.
2.确定一个圆要紧扣圆的“两要素”，即圆心和半径，两者缺一不可．
3.“圆上的点”指圆周上的点.
4.圆上各点到圆心的距离都等于半径.
弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．如图，以 ， 为端点的弧记作，读作“弧 ”．
︵
与圆有关的概念
知识点2
探索新知
弦和直径
连接圆上任意两点的线段（如图中的线段）叫作弦.经过圆心的弦叫作直径.
C
A
B
·
O
直径和弦有什么关系？
D
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是圆内最长的弦.但弦不一定是直径．
注意
半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫作半圆.
半圆是弧，但弧不一定是半圆.
优弧与劣弧
大于半圆的弧（如图中的，一般用三个字母表示）叫作优弧；
小于半圆的弧（如图中的和）叫作劣弧．
︵
︵
︵
下列每组中的两个圆能重合吗？
O1
O2
（1）
（2）
不重合
重合
能够重合的两个圆叫作等圆.
A
B
r
r
等圆的半径相等.
等圆
O
（1）
（2）
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧.
O1
O2
B
A
D
C
等弧
长度相等的弧是等弧吗？
例2
下列语句中：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，弧不一定是半圆. 正确的有_________ .
解：直径是弦，故①正确；直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，故②错误；半径相等的两个半圆能互相重合，所以是等弧，故③正确；能够完全重合的两条弧才是等弧，故④错误；半圆是弧，弧不一定是半圆，故⑤正确.答案为：①③⑤.
例题示范
①③⑤
1.弦与直径的关系：直径是过圆心最长的弦，但弦不一定是直径.
2.弧与半圆的关系：半圆是弧，但弧不一定是半圆.
3. 弦与弧的关系：①弦是圆上两点间的线段，有无数条；弧是圆上两点间的部分，是曲线，也有无数条.
②每条弧对一条弦；而每条弦对的弧有两条:一条优弧、一条劣弧或两个半圆.
4.等弧不等同于长度相等的弧.
归纳总结
点与圆的位置关系
知识点3
观察与思考
足球运动员踢出的地滚球在球场上滚动，在其穿越中间圆形区域的过程中，如果把足球看成一个点，圆形区域的外沿看成一个圆，那么点与圆有怎样的位置关系呢
探索新知
点C在圆外
点A在圆内
点B在圆上
d＜r
d r
d＞r
位置关系
数量关系
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号的左边可以推出右边，同时从符号的右边也可以推出左边.
如图，⊙的半径为r，点到圆心的距离为d.
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，我们得到：
归纳总结
（1）点在圆内 d＜r.
（2）点在圆上 d＝r.
（3）点在圆外 d＞r.
例3
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5 cm，BC= 4 cm.以点A为圆心、3 cm为半径画圆，并判断:
(1)点C与⊙A 的位置关系.
(2)点B与⊙A的位置关系.
(3)AB的中点D与⊙A的位置关系.
解：已知⊙A的半径r=3 cm.
（1）因为AC===3（cm）=r，所以点C在⊙A上.
例题示范
（2）因为AB=5 cm＞3 cm=r，所以点B在⊙A外.
（3）因为DA=AB=2.5 cm＜3 cm=r，所以点D在⊙A内.
随堂演练
D
1.下列说法正确的是（ ）
A.直径是弦，弦是直径
B.半圆是弧，弧是半圆
C.弦是圆上两点之间的部分
D.半径不是弦，直径是最长的弦
2.如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
A
B
C
D
O
F
E
1
2
4
4
3.已知⊙O的面积为25π：
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2）若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则PO .
4.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm, 则这个圆的半径是 .
圆外
圆内
5
≤5
7 cm或3 cm
1.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F，G，H 分别为边AB，BC，CD，DA 的中点，那么点E，F，G，H 是否在同一个圆上？请说明理由.
拓展提升
解：点E，F，G，H 在同一个圆上，理由如下：
如图，连接OE，OF，OG，OH.
∵四边形ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=DA，AC ⊥ BD.
又∵ E 为AB 边的中点，∴OE = AB.
同理可得，OF = BC，OG = CD，OH = DA.
∴ OE =OF =OG =OH.
∴点E，F，G，H 在以点O 为圆心，OE 为半径的圆上.
课堂小结
与圆相关的概念
圆心、半径、弧、弦、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫作圆．
点与圆的位置关系
点在圆内
d＜r
点在圆上
d r
点在圆外
d＞r
圆的基本概念和性质

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