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第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角
第1课时
学习目标
1.掌握圆的中心对称性.
2.理解圆心角的概念.
3.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.
学习重难点
圆心角、弧、弦之间的关系定理.
运用圆心角、弧、弦之间的关系定理解决问题.
难点
重点
回顾复习
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
经过三角形三个顶点的圆，叫作三角形的外接圆.
外接圆的圆心叫作三角形的外心.
这个三角形叫作圆的内接三角形.
三角形的外心心是三边垂直平分线的交点.
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
O
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？
O'
圆心是它的对称中心.
圆是中心对称图形.
完全重合
180°
探索新知
知识点1
圆的中心对称性
探究
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心.将上面一个圆旋转任意角度，两个圆还能重合吗？
(O')
O
30°
60°
120°
210°
旋转不变性
把圆绕圆心旋转任意角度，两个圆仍然完全重合.
如图，∠ AOB 是AB所对的圆心角，
AB是∠ AOB 所对的弧，
线段AB是∠ AOB 所对的弦.
探索新知
圆心角的定义
知识点2
︵
︵
顶点在圆心的角叫作圆心角.
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
（1）
（4）
（3）
（2）
（1）（2）（3）不是圆心角，（4）是圆心角.
如图,在⊙O 中，当圆心角∠AOB=∠COD时，它们所对的AB和CD、弦AB和CD之间各有怎样的关系
探究
B
O
A
D
C
圆心角、弧、弦之间的关系
知识点3
︵
︵
探索新知
请用图形的旋转说明你的猜想.
B
O
A
D
C
可以发现：同圆中，当圆心角∠AOB＝∠COD时，
所对的弦AB＝CD， 所对的AB＝CD.
设∠AOC＝α，将△AOB顺时针旋转α，则AO 与CO重合，BO 与DO重合，从而AB与CD重合，AB 与CD重合.
所以，AB=CD，AB=CD.
⌒
⌒
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⌒
可以发现，等圆中，当∠AOB＝∠COD时，AB＝CD， ，
等量关系依然成立.
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠COD，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
B
A
● O
C
D
● O'
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.
定理
前提
B'
A'
O
B
A
AB=A'B'
∠AOB ∠A'OB'
前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢！
OM=OM'
M'
M
大家谈谈
在同圆或等圆中，若两条弧(或弦)相等，则它们所对的圆心角是否相等，所对的弦(或弧)是否相等 为什么要强调同圆或等圆
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
其关系可表示为
简记为：知一推二
圆心角相等
所对的弧相等
所对的角相等
例1
已知：如图，AB为⊙ O 的直径， 点M，N分别在AO，BO上，CM AB，DN AB，分别交⊙ O于点C，D，且AD＝BC．求证：CM＝DN．
证明：如图，连接OC，OD.
∵ AD＝BC，即AC＋CD＝CD＋BD，
∴AC＝BD．∴∠ AOC= ∠ BOD.
在Rt△CMO和Rt△DNO中，
∵CM AB，DN AB，∴∠ CMO= ∠ DNO＝90°．
又∵OC＝OD，∠AOC= ∠ BOD.
∴△CMO≌△DNO .∴CM＝DN．
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例题示范
随堂演练
D
1.如果两个圆心角相等，那么( )
A.这两个圆心角所对的弦相等
B.这两个圆心角所对的弧相等
C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D.以上说法都不对
A
2.AB是⊙O的直径，BC=CD=DE,∠AOE=72°，则∠COD的度数是( )
A．36° B．72°
C．108° D．48°
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3.如图，在⊙O 中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= ．
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40°
4.如图， 在 ⊙O中， AB = CD， 则在① AB=CD；② AC=BD；
③∠ AOC= ∠ BOD；④AC = BD中，正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
１.如图， 已知AB、CD为⊙O的两条弦， AD＝BC，
求证:AB＝CD.
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︵
.
C
A
B
D
O
证明：如图，连接AO，BO，CO，DO.
∵AD＝BC，∴∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+∠BOD，
即∠AOB=∠COD，
∴AB＝CD.
︵
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拓展提升
2.在☉O中，2 AOB COD，那么 成立吗？CD 2AB呢？若成立，请说明理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
O
解： 成立，CD 2AB 不成立.理由如下：
取 的中点E，连接OE，CE，DE ，
易得 AOB COE DOE，
所以 ，从而 .
AB CE DE，
在△CDE中，CE+DE CD，
即CD 2AB.
课堂小结
圆心角弧、弦
定理及推论
圆心角相等
圆心角的概念
所对的弧相等
所对的弦相等
知一推二
前提：在同圆或等圆中
圆的中心对称性
旋转不变性

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