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第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角
第2课时
学习目标
1.理解圆周角的概念.
2.探究并掌握圆周角定理及其推论.
3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及其推论.
运用圆周角定理及其推论解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.
顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.
2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点.
A
复习引入
顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角.
圆周角必须满足两个条件：
①顶点在圆上；
②两边都与圆相交.
两个条件同时具备，缺一不可.
圆周角的概念
探索新知
知识点1
如图中的∠APB就是一个圆周角，∠APB所对的弧是AB．
图中还有哪些角是圆周角 它们分别对应哪条弧
︵
∠APC→AC；∠BPC→BC；∠PBC→PC；∠PCB→PAB；
︵
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︵
︵
如图，在⊙O上取两点A，B，P为AEB上的动点(不与点A，B重合)，圆心角∠AOB，圆周角∠APB所对的弧都是AB.
(1)用量角器测量∠AOB和∠APB的大小，它们有怎样的数量关系 当点Р移动后，再测量∠AP'B的大小，并与∠AOB的大小进行比较．由此猜想，AB所对圆心角与圆周角有怎样的大小关系.
探究
︵
圆周角定理
知识点2
︵
︵
测量后，发现：∠APB=∠AOB.
∠AP'B=∠AOB.
猜想：AB所对的圆心角是圆周角的2倍.
︵
探索新知
（2）随着点P的移动，圆心O和圆周角的位置可以分为几种不同的情形，说出你的判断，并画出相应的图形.
按照圆心O和圆周角的位置可以分为以下3种不同的情形：
A
B
O
P
A
B
O
P
A
B
O
P
（3）当圆心O在∠APB 的一条边上时，∠AOB 与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由.
A
B
O
P
理由：如图，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP．
又∵∠AOB=∠OPB+∠OBP，
∴∠AOB=2∠APB，即∠APB=∠AOB．
（4）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（3）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
以圆心O在∠APB 的内部为例，进行说明.
证明：如图，连接 PO，并延长交⊙O 于点 D．
∵OA=OP=OB，
∴∠OPA=∠OAP，∠OPB=∠OBP．
又∵∠AOD=∠OPA+∠OAP，∠BOD=∠OPB+∠OBP,
∴∠AOD+∠BOD=∠OPA+∠OAP+∠OPB+∠OBP,
即∠AOB=（∠OPA+∠OPB），∠AOB=2∠APB.
∴∠APB=∠AOB.
A
B
O
P
D
（3）中的结论还成立，即∠APB=∠AOB．
请同学们自行证明，当圆心O在∠APB 外部的情况
A
B
O
P
圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠OAB＝46°，
∴∠AOB=180°－2∠OAB＝180°－2×46°＝88°．
∴∠ACB=∠AOB＝44°．
例题示范
大家谈谈
如图，∠P，∠P′，∠P"都是⊙ 上同一条弧(即AB)所对的圆周角．这些圆周角之间有怎样的关系 请说明理由.
圆周角定理的推论
探索新知
知识点3
︵
根据圆周角定理可知，∠P= ∠AOB ，∠P′=∠AOB ，
∠P"=∠AOB，∴∠P=∠P′=∠P".
同弧所对的圆周角相等．
等弧所对的圆周角相等吗？
∠ADC ∠BAD
等弧所对的圆周角相等.
B
A
O
D
C
∠AOC ∠BOD
思考
同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等吗？
B
A
O
D
C
ADC BAD
AOC BOD
同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等.
思考
同弧或等弧所对的圆周角相等.
同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等.
归纳总结
解读
1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.“同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角.
随堂演练
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
D
2.如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=( )
A.15° B.40°
C.45° D.35°
3.如图，AB为⊙O 的直径，点C,D在AB异侧的⊙O上，AD=AC,连接CD,OC,BD．若∠COB=40°，则∠ABD的度数为 .
70°
︵
︵
4.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.
解：△ABC是等边三角形. 证明如下：
∵∠APC=∠ABC=60°，
∠CPB=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
１.如图，BC为半圆O的直径，点F是BC上一动点(点F 不与B，C 重合)，A是弧BF上的中点，设∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并给予证明.
拓展提升
解：(1)连接OA，交BF于点M.
∵A是弧BF上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C= ∠AOB= ×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°- α.
证明：由(1)知∠BOM＝90°-α.
又∠C＝β＝ ∠AOB,
∴β＝ (90°-α)＝45°- α.
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的推论
圆周角定理

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