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第 二十八章 圆
28.3 圆心角和圆周角
第3课时
学习目标
1.探究并掌握圆周角定理的推论.
2.掌握圆内接四边形的定义及性质.
3.利用圆内接四边形的定义及性质解决简单的几何问题.
学习重难点
圆内接四边形的定义及性质.
利用圆内接四边形的定义及性质解决简单的几何问题.
难点
重点
回顾复习
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等.
A
B
O
C
圆周角
圆周角定理：
圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半.
（1）如图，弦AB是⊙ 的直径，半圆AEB所对的圆周角∠C是多少度
观察与思考
圆周角定理的推论
因为弦AB是直径，半圆AEB所对的圆心角∠AOB是平角，由圆周角定理，∠C是直角
探索新知
知识点1
︵
（2）反过来，若∠C是直角，则其所对的弦是直径吗
反过来，若∠C是直角，则∠AOB=180°，所以点A，O，B在一条直线上，AB是直径.
︵
直径(或半圆)所对的圆周角是直角.
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳总结
分析：
如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ACD 60°， ADC 70°. 求∠APC的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则 ACB 90°，
DCB ACB ACD 90° 60° 30°.
又∵ BAD ∠DCB 30°，
∴ APC BAD ADC 30° 70° 100°.
APC BAD ADC
70°
BCD ACB ACD

90°

60°

练习
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫作圆内接四边形，这个圆叫作四边形的外接圆.
B
A
C
D
O
圆内接四边形
定义
知识点2
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探索新知
·
归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形.
（1）当圆心О在对角线AC上时，∠ABC与∠ADC的和是多少度 ∠DAB与∠DCB的和是多少度
一起探究
（1）由圆周角定理的推论，得∠ABC+∠ADC＝90°+90°=180°.
由四边形的内角和定理，得∠DAB+∠DCB＝360°-180°=180°（也可由圆周角定理得出）.
归纳
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图，四边形ABCD为⊙O 的内接四边形.
（2）当圆心О不在四边形的对角线上时，连接OA，OC.
①ADC和ABC所对圆心角的和等于多少度 ∠ABC与∠ADC的和是多少度
一起探究
② ∵ADC和ABC 所对圆心角的和是360°，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
同理：∠DAB+∠DCB＝180°.
︵
︵
②∠DAB与∠DCB的和是多少度
①ADC和ABC所对圆心角的和等于360°.
︵
︵
︵
︵
圆内接四边形的对角互补.
归纳总结
圆内接四边形的性质
例3
例题示范
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ DCE为四边形ABCD的一个外角.
求证：∠ DCE=∠ BAD.
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ BAD+∠ BCD=180°.
∵∠ BCD+∠ DCE=180°，
∴∠ DCE=∠ BAD.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 .
解读
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
1.如图，四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形，已知
∠ BOD=100°，则∠ BCD 的度数为( )
A. 50° B. 80° C. 100° D. 130°
2.如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD= .
D
随堂演练
50°
︵
︵
3.如图，以△ ABC 的一边AB 为直径的半圆与其他两边AC，BC 的交点分别为D，E，且DE = BE，试判断△ ABC 的形状，并说明理由.
︵
︵
解：△ ABC 为等腰三角形. 理由如下：
如图，连接AE.
∵DE = BE ，∴∠ CAE= ∠ BAE.
∵ AB 为半圆O 的直径，
∴∠ AEB= ∠ AEC=90° .
又∵ AE=AE，
∴△ ABE ≌△ ACE(ASA).
∴ AB=AC.
∴△ ABC 为等腰三角形.
拓展提升
1.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A=80°，则∠C的度数是 （ ）
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
B
2.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=______.
140°
3.证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
A
B
C
O
已知：△ABC中，OB是AC边的中线，
且OB AC.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：由题意得：OA OB OC.
即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上.
∵AC是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角是90°可得：
ABC 90°，即△ABC是直角三角形.
A
B
C
O
课堂小结
圆周角
圆内接四边形
定义
圆周角定理的推论
性质

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