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第二十八章 圆
28.4 垂径定理
1.通过探究了解圆的轴对称性.
2.理解垂径定理及其推论，并能运用其定理和推论解决问题.
学习目标
学习重难点
重点
理解垂径定理及其推论.
难点
能够运用垂径定理及其推论解决问题.
回顾复习
什么是轴对称图形？
如果一个图形沿某条直线 后，直线两旁的部分能够完全 ，那么这个图形就叫作轴对称图形.
对折
重合
线段
角
矩形
等腰三角形
等腰梯形
菱形
正方形
我们学过哪些轴对称图形？
… …
圆是轴对称图形吗？
把一张圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，直径两侧的半圆能够互相重合吗？重复做几次，你发现了什么？
探究
能够互相重合　
下面我们来证明这个结论.
圆的轴对称性
知识点1
探索新知
发现：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴．　
已知：CD是⊙O 中任意一条直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E.
B
O
A
C
D
E
连接OA，OB.则OA＝OB．
∴△OAB是等腰三角形.
又∵CD⊥AB，
∴AE=BE.
即CD 是AB 的垂直平分线.
这就是说对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD 的对称点，即⊙O关于直线CD 对称.
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴.
O
直径是是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
圆有无数条对称轴.
解读
下列说法中，不正确的是( )
A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D.
D
练习
垂径定理
探索新知
如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.
如果将⊙O沿CD所在的直线对折，哪些线段重合，哪些弧重合？由此你能得出什么结论.
知识点2
探究
重合的弧：AD与BD，AC与BC
重合的线段：AE与BE
︵
︵
︵
︵
通过探究，我们发现：
重直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC.
证明：如图，连接OA，OB.
在△OAB中，∵OA=OB，OE AB，
∴AE=BE，∠AOE=∠BOE.
∴AD=BD.
∵∠AOC=180°-∠AOE，∠BOC=180°-∠BOE，
∴∠AOC=∠BOC.
∴AC=BC.
下面我们来证明这个结论.
直径
垂直于弦
平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
条件
结论
垂径定理
几何语言：
∴AE=BE,
AD=BD,
AC=BC.
∵CD是直径, CD⊥AB，
C
D
.
O
A
E
B
∟
●
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形：
垂径指垂直于弦的直径、半径、过圆心的直线或线段.
如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.
（1）若AE=BE，能判断CD与AB垂直？AD与BD（或AC与BC）相等吗 请说明理由.
（2）若AD＝BD（或AC＝BC），能判断CD与AB垂直，AE与BE相等吗？请说明理由.
又∵AE=BE，OE=OE,
∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
由垂径定理，得AD =BD，AC =BC.
垂径定理的推论
知识点3
探索新知
解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO.
（2）请同学们自证.
在⊙O中，设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E．若把AE=BE，CD⊥AB，AD=BD中的一项作为条件，则可得到另外两项结论:
平分弦（非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
实际上，垂直于弦，平分弦，直径，平分弦所对的一条弧，平分弦所对的另一条弧这5个条件中，任知2个，可得另3个。
补充说明
已知：如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
例1
设⊙O的半径为r.
∵CD为⊙O的直径，AB CD，
∴AE=BE.
∵AB=8,∴AE=BE=4.
在Rt △ OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED，
即r2=（r-2）2+42.
解得r=5，从而2r=10.
所以直径CD的长为10.
例题示范
解：如图，连接OA.
已知：如图，CD为⊙O 的直径，AB为弦，且AB CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD 的长.
例1
设⊙O的半径为r.
∵CD为⊙O的直径，AB CD，
∴AE=BE.
∵AB=8,∴AE=BE=4.
在Rt △ OAE中，OA2=OE2+AE2，OE=OD-ED，
即r2=（r-2）2+42.
解得r=5，从而2r=10.
所以直径CD的长为10.
例题示范
解：如图，连接OA.
在河北省赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥——赵州桥，距今已有1 400多年的历史．赵州桥开创了中国桥梁建造的崭新局面，是我国古代劳动人民智慧的结晶．赵州桥的桥拱是圆弧形的，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，跨度(弧所对弦的长)为37.4 m，求桥拱所在圆的半径.(结果精确到0.1 m)
例2
解：如图，设桥拱所在圆的半径为r m，用AB表示桥拱，AB所在圆的圆心为O.经过点O作弦AB的垂线，垂足为D，与AB交于点C．连接OA，OB.
∵OC⊥AB，
∴D是线段AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
∵AB=37.4 m，CD=7.2 m，
∴AD=AB=×37.4=18.7(m)，OD=OC-CD=(r-7.2)m.
在Rt△ODA中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即r2=18.72+(r-7.2)2.解这个方程，得r≈27.9.
所以，赵州桥桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
随堂演练
1.如 图，在 ⊙O 中，弦 AB 的长为 8，圆心 O 到 AB 的距离为 3，则 ⊙O的半径为 （ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
2.如图，矩形ABCD的 边 AB 过 ⊙O的圆心， E，F 分别为 AB，CD 与 ⊙O的 交 点 ，若 AE=3 cm，AD=4 cm，DF= 5 cm，则⊙O的直径等于______.
10 cm
3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线AB 上的两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
证明：如图，过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M.
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解：连接OC.
∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m.
设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= .
即⊙O的半径为 m.
拓展提升
课堂小结
垂径定理的推论
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
垂径定理
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
圆的轴对称性

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