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(共28张PPT)
一、 空间向量及其运算
导学1　空间向量及其线性运算
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　空间向量的有关概念
1. 空间向量
(1)定义：在空间，把具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的　大小　叫做向量的长度或　模　.
大小
方向
大小
模
2. 空间向量的表示
空间向量用字母　a，b，c，…　表示，也用　有向线段　表示，有向线段的　长度　表示空间向量的　模　，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 　，其模记为　|a|　或 　|| 　.
a，b，c，…
有向线段
长度
模
|a|
||
3. 几类特殊向量
特殊向量 定义
零向量 长度为　0　的向量，记为　0　
单位向量 模为　1　的向量
相反向量 与a长度　相等　而方向　相反　的向量，记为－a
共线向量或 平 行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相　平行　或　重合　的向量.
规定：零向量与任意向量　平行　.
相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量
0
0
1
相等
相反
平行
重合
平行
相同
相等
例1　(1)给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为　②③　.
②③
【解析】 ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个.
(2)如图所示，在分别以长方体ABCD－A'B'C'D'的
顶点为起点和终点的向量中：
①试写出与向量相等的所有向量；
②试写出向量的所有相反向量.
解： ①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有及.
②向量的相反向量有.
[反思感悟]　解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
(2)注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②虽然单位向量的方向不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同.若两个向量的模相等，方向相反，则它们为相反向量.
知识点二
知识点二　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加 法 a＋b=
减 法 a－b=
数 乘 当λ＞0时，λa=λ； 当λ＜0时，λa=λ； 当λ=0时，λa=　0　
0
运 算 律 交换律：a＋b=　b＋a　；
结合律：a＋(b＋c)=　(a＋b)＋c　，
λ(μa)=　(λμ)a　；
分配律：(λ＋μ)a=　λa＋μa　，
λ(a＋b)=　λa＋λb　
b＋a
(a＋b)＋c
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
例2　(1)如图所示，已知长方体ABCD－A'B'C'D'.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果.
①；②.
解： ①.
②=().
向量如图所示.
(2)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱
B1C1的中点，=2.设=a，=b，=c，
试用向量a，b，c表示向量和.
解： 连接AB1，AC1，则=a＋c，
=b＋c，∵D是棱B1C1的中点，∴()=ab＋c.∵=2，∴abc，则=abc.
[反思感悟]　解决条件求值问题的两个技巧
知识点三
知识点三　空间向量共线与共面的充要条件
例3　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.证明：四边形EFGH是梯形.
证明： ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴，则()= ()=，∴∥，且||= ||≠||.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
[反思感悟]　对于空间内三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明P，A，B三点共线
(1)存在实数λ，使=λ成立.
(2)对空间内任一点O，有=xy(x＋y=1).
例4　如图所示，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，证明：E，F，G，H四点共面.
证明： 如图所示，连接PE，PF，PG，PH并延长，
分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，Q，R，
则M，N，Q，R分别为所在边的中点，作四边形
MNQR，则该四边形为平行四边形，连接MQ，EG，
EF，EH.
易知，∴()= ()()=，
∴与共面，又它们有公共点E，∴E，F，G，H四点共面.
[反思感悟]　对于空间内四点P，M，A，B，可通过证明下列结论来证明P，M，A，B四点共面
(1)存在实数x，y，使=xy成立.(2)对空间内任一点O，有xy(x，y∈R).
(3)对空间内任一点O，有=xyz(x＋y＋z=1).
随堂巩固
1. 化简，结果是(　 　)
A.
B.
C. 0
D.
C
2. 下列条件中，空间点M，A，B，C一定共面的是(　 　)
A. =2
B.
C. =0
D. =0
C
3. 已知四边形ABCD，O为空间内任意一点，且，则四边形ABCD是(　 　)
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
A
4. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若=a，=b，=c，则= c　.
abc1.1 导学1　空间向量及其线性运算
知识点一　空间向量的有关概念
1. 空间向量
(1)定义：在空间，把具有 和 的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的 叫做向量的长度或 .
2. 空间向量的表示
空间向量用字母 表示，也用 表示，有向线段的 表示空间向量的 ，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 ，其模记为 或 .
3. 几类特殊向量
特殊向量 定义
零向量 长度为 的向量，记为
单位向量 模为 的向量
相反向量 与a长度 而方向 的向量，记为－a
共线向量 或 平 行 向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量. 规定：零向量与任意向量 .
相等向量 方向 且模 的向量
例1　(1)给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为 .
(2)如图所示，在分别以长方体ABCD－A'B'C'D'的顶点为起点和终点的向量中：
①试写出与向量相等的所有向量；
②试写出向量的所有相反向量.
[反思感悟]　解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
(2)注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②虽然单位向量的方向不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同.若两个向量的模相等，方向相反，则它们为相反向量.
知识点二　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加 法 a＋b=
减 法 a－b=
数 乘 当λ＞0时，λa=λ； 当λ＜0时，λa=λ； 当λ=0时，λa=
运 算 律 交换律：a＋b= ； 结合律：a＋(b＋c)= ， λ(μa)= ； 分配律：(λ＋μ)a= ， λ(a＋b)=
例2　(1)如图所示，已知长方体ABCD－A'B'C'D'.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果.
①；②.
(2)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱B1C1的中点，=2.设=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量和.
[反思感悟]　解决条件求值问题的两个技巧
知识点三　空间向量共线与共面的充要条件
例3　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.证明：四边形EFGH是梯形.
[反思感悟]　对于空间内三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明P，A，B三点共线
(1)存在实数λ，使=λ成立.
(2)对空间内任一点O，有=xy(x＋y=1).
例4　如图所示，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，证明：E，F，G，H四点共面.
[反思感悟]　对于空间内四点P，M，A，B，可通过证明下列结论来证明P，M，A，B四点共面
(1)存在实数x，y，使=xy成立.(2)对空间内任一点O，有xy(x，y∈R).
(3)对空间内任一点O，有=xyz(x＋y＋z=1).
1. 化简，结果是( 　)
A.
B.
C. 0
D.
2. 下列条件中，空间点M，A，B，C一定共面的是( 　)
A. =2
B.
C. =0
D. =0
3. 已知四边形ABCD，O为空间内任意一点，且，则四边形ABCD是( 　)
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
4. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若=a，=b，=c，则= . 1.1 导学1　空间向量及其线性运算
知识点一　空间向量的有关概念
1. 空间向量
(1)定义：在空间，把具有　大小　和　方向　的量叫做空间向量.
(2)长度：空间向量的　大小　叫做向量的长度或　模　.
2. 空间向量的表示
空间向量用字母　a，b，c，…　表示，也用　有向线段　表示，有向线段的　长度　表示空间向量的　模　，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作 　，其模记为　|a|　或　||　.
3. 几类特殊向量
特殊向量 定义
零向量 长度为　0　的向量，记为　0　
单位向量 模为　1　的向量
相反向量 与a长度　相等　而方向　相反　的向量，记为－a
共线向量 或 平 行 向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相　平行　或　重合　的向量. 规定：零向量与任意向量　平行　.
相等向量 方向　相同　且模　相等　的向量
例1　(1)给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与是相等向量；④在空间四边形ABCD中，与是相反向量；⑤在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量一共有4个.其中正确命题的序号为　②③　.
【解析】 ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；③正确，与的模相等，方向相同；④错误，在空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC－A1B1C1中，与的模一定相等的向量是，一共有5个.
(2)如图所示，在分别以长方体ABCD－A'B'C'D'的顶点为起点和终点的向量中：
①试写出与向量相等的所有向量；
②试写出向量的所有相反向量.
解： ①与向量相等的所有向量(除它自身之外)有及.
②向量的相反向量有.
[反思感悟]　解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
(2)注意点：①零向量不是没有方向，它的方向是任意的.②虽然单位向量的方向不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量的模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同.若两个向量的模相等，方向相反，则它们为相反向量.
知识点二　空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加 法 a＋b=
减 法 a－b=
数 乘 当λ＞0时，λa=λ； 当λ＜0时，λa=λ； 当λ=0时，λa=　0　
运 算 律 交换律：a＋b=　b＋a　； 结合律：a＋(b＋c)=　(a＋b)＋c　， λ(μa)=　(λμ)a　； 分配律：(λ＋μ)a=　λa＋μa　， λ(a＋b)=　λa＋λb　
例2　(1)如图所示，已知长方体ABCD－A'B'C'D'.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果.
①；②.
解： ①.
②=().
向量如图所示.
(2)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱B1C1的中点，=2.设=a，=b，=c，试用向量a，b，c表示向量和.
解： 连接AB1，AC1，则=a＋c，=b＋c，∵D是棱B1C1的中点，∴()=ab＋c.∵=2，∴abc，则=abc.
[反思感悟]　解决条件求值问题的两个技巧
知识点三　空间向量共线与共面的充要条件
例3　如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.证明：四边形EFGH是梯形.
证明： ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴，则()=()=，∴∥，且||=||≠||.又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
[反思感悟]　对于空间内三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明P，A，B三点共线
(1)存在实数λ，使=λ成立.
(2)对空间内任一点O，有=xy(x＋y=1).
例4　如图所示，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，证明：E，F，G，H四点共面.
证明： 如图所示，连接PE，PF，PG，PH并延长，分别交AB，BC，CD，DA于点M，N，Q，R，
则M，N，Q，R分别为所在边的中点，作四边形MNQR，则该四边形为平行四边形，连接MQ，EG，EF，EH.
易知，∴()=()()=，
∴与共面，又它们有公共点E，∴E，F，G，H四点共面.
[反思感悟]　对于空间内四点P，M，A，B，可通过证明下列结论来证明P，M，A，B四点共面
(1)存在实数x，y，使=xy成立.(2)对空间内任一点O，有xy(x，y∈R).
(3)对空间内任一点O，有=xyz(x＋y＋z=1).
1. 化简，结果是(　C　)
A.
B.
C. 0
D.
2. 下列条件中，空间点M，A，B，C一定共面的是(　C　)
A. =2
B.
C. =0
D. =0
3. 已知四边形ABCD，O为空间内任意一点，且，则四边形ABCD是(　A　)
A. 平行四边形 B. 空间四边形
C. 等腰梯形 D. 矩形
4. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若=a，=b，=c，则= abc　.

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