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(共32张PPT)
一、 空间向量及其运算
导学2　空间向量的数量积运算
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
1. 空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间内任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作　a，b＞　
＜a，b＞
知识点一　空间向量的夹角及数量积概念
图示 　 　 　
范围 通常规定：　0　≤＜a，b＞≤　π　，
当＜a，b＞= 　时，a⊥b.
0
π

2. 空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则　|a||b|cos＜a，b＞　叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b=|a||b|cos＜a，b＞.
(2)特别地，零向量与任意向量的数量积为　0　.　
|a||b|cos＜a，b＞
0
例1　如图所示，已知四面体ABCD的所有棱长
都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中
点.求：
(1)·；(2)·；(3)·；
(4)·；(5)·.
解： ∵四面体ABCD的所有棱长都等于a，
∴任意两条棱所在直线的夹角为，
∵E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，|EF|=|FG|=，
(1)·=a×a×cos.
(2)·=a×a×cos=.
(3)·×a×cos π=.
(4)∵EF∥BD，∴直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又∠CBD=，∴·×a×cos.
(5)∵FG∥AC，∴直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角，∴·×a×cos=.
[反思感悟]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，将其转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式求解.
知识点二
知识点二　空间向量数量积的运算性质及运算律
性质 a⊥b 　a·b=0　；
a·a=|a||a|cos＜a，a＞=　|a|2　=　a2　
运 算 律 (λa)·b=　λ(a·b)　
a·b=　b·a　(交换律)
a·(b＋c)=　a·b＋a·c　(分配律)
a·b=0
|a|2
a2
λ(a·b)
b·a
a·b＋a·c
例2　(1)如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的
棱长为1，设=a，=b，=c，求：
①a·(b＋c)；
②a·(a＋b＋c)；
③(a＋b)·(b＋c).
解： ①在正方体中，AB⊥AA'，AB⊥AD，故a·(b＋c)=a·b＋a·c=0.
②由①知，a·(a＋b＋c)=a·a＋a·(b＋c)=a2=1.
③由①及AD⊥AA'知，(a＋b)·(b＋c)=a·(b＋c)＋b2＋b·c=b2=1.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，
AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=
∠DAA'=60°.
求：①·；②AB'的长；③AC'的长.
解： ①·=||·||cos 60°=5×4×=10.
②∵，∴=()2=()2=2·=25＋2×10＋16=61，∴||=，即AB'的长为.
③∵，
∴=()2=2(···)=16＋9＋25＋2 =85，∴||=，即AC'的长为.
[反思感悟]　1. 利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角时常用的方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围.②先求a·b，再利用公式cos＜a·b＞=求cos＜a，b＞，最后确定＜a，b＞.
2. 求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示.
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.
(3)利用|a|=，通过计算求出|a|，即得所求距离.
知识点三
知识点三　投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b(直线l)平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c=
　|a|cos
＜a，b＞
————
向量a在直线l上的投影向量
|a|cos

＜a，b＞
作法 图形表示 符号表示
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量
例3　(1)(2024·江苏连云港检测)已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是(　 　)
A. a B. a
C. a D. a
【解析】 b在a上的投影向量是··= |b|cos 135°·=5×·=a.
A
(2)在等腰梯形ABCD中，=2，则向量在
向量上的投影向量为(　 　)
A. B.
C. D. ||
【解析】 由=2，可知AB∥DC，且AB=2DC，如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE=AB，∴向量在向量上的投影向量为.
C
[反思感悟]　根据投影的定义可得|b|cos＜a，b＞=，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量.
知识点四
知识点四　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题
例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，=a，
=b，=c，CA=CB=CC1=1，＜a，b＞=＜a，c
＞=，＜b，c＞=，N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置；若不存在，请说明理由.
解： (1)=()=ab－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设=λ (λ∈[0，1])，显然=λ=λb，=c－a＋λb.∵AM⊥ A1N，∴⊥ ·=0，即(c－a＋λb)·=0，c·ac·b－c2a2a·b＋c·aλa·b
λb2－λb·c=0.∵CA=CB=CC1=1，＜a，b＞=＜a，c＞=，
＜b，c＞=，∴有c·a－c2a2a·bλb2=0，即×1×1×12×12×1×1×λ·12=0，解得λ=，∴当C1M=C1B1时，AM⊥A1N.
[反思感悟]　用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证有关向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题.
随堂巩固
1. 已知向量a，b，且|a|=4，|b|=3，a·b=－6，则向量a在b上的投影向量是(　 　)
A. －2 B. －2b
C. D. b
D
2. 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2i－j＋k，b=i＋j－3k，则a·b=(　 　)
A. －2 B. －1
C. ±1 D. 2
A
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，＜＞=(　 　)
30° B. 60°
C. 90° D. 120°
D
4. 如图所示，在 ABCD中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，则线段PC的长为　7　.
71.1 导学2　空间向量的数量积运算
知识点一　空间向量的夹角及数量积概念
1. 空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间内任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作　＜a，b＞　
图示 　　　
范围 通常规定：　0　≤＜a，b＞≤　π　， 当＜a，b＞= 　时，a⊥b.
2. 空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则　|a||b|cos＜a，b＞　叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b=|a||b|cos＜a，b＞.
(2)特别地，零向量与任意向量的数量积为　0　.　
例1　如图所示，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.求：
(1)·；(2)·；(3)·；
(4)·；(5)·.
解： ∵四面体ABCD的所有棱长都等于a，
∴任意两条棱所在直线的夹角为，
∵E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，|EF|=|FG|=，
(1)·=a×a×cos.
(2)·=a×a×cos=.
(3)·×a×cos π=.
(4)∵EF∥BD，∴直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，又∠CBD=，∴·×a×cos.
(5)∵FG∥AC，∴直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角，∴·×a×cos=.
[反思感悟]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，将其转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式求解.
知识点二　空间向量数量积的运算性质及运算律
性质 a⊥b 　a·b=0　； a·a=|a||a|cos＜a，a＞=　|a|2　=　a2　
运 算 律 (λa)·b=　λ(a·b)　
a·b=　b·a　(交换律)
a·(b＋c)=　a·b＋a·c　(分配律)
例2　(1)如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，设=a，
=b，=c，求：
①a·(b＋c)；
②a·(a＋b＋c)；
③(a＋b)·(b＋c).
解： ①在正方体中，AB⊥AA'，AB⊥AD，故a·(b＋c)=a·b＋a·c=0.
②由①知，a·(a＋b＋c)=a·a＋a·(b＋c)=a2=1.
③由①及AD⊥AA'知，(a＋b)·(b＋c)=a·(b＋c)＋b2＋b·c=b2=1.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.
求：①·；②AB'的长；③AC'的长.
解： ①·=||·||cos 60°=5×4×=10.
②∵，∴=()2=()2=2·=25＋2×10＋16=61，∴||=，即AB'的长为.
③∵，
∴=()2=2(···)=16＋9＋25＋2=85，∴||=，即AC'的长为.
[反思感悟]　1. 利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角时常用的方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围.②先求a·b，再利用公式cos＜a·b＞=求cos＜a，b＞，最后确定＜a，b＞.
2. 求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示.
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.
(3)利用|a|=，通过计算求出|a|，即得所求距离.
知识点三　投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b(直线l)平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c= 　|a|cos ＜a，b＞
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量
例3　(1)(2024·江苏连云港检测)已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是(　A　)
A. a B. a
C. a D. a
【解析】 b在a上的投影向量是··=|b|cos 135°·=5×·=a.
(2)在等腰梯形ABCD中，=2，则向量在向量上的投影向量为
(　C　)
A. B.
C. D. ||
【解析】 由=2，可知AB∥DC，且AB=2DC，如图所示，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则AE=AB，∴向量在向量上的投影向量为.
[反思感悟]　根据投影的定义可得|b|cos＜a，b＞=，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量.
知识点四　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题
例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，=a，=b，=c，CA=CB=CC1=1，＜a，b＞=＜a，c＞=，＜b，c＞=，N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置；若不存在，请说明理由.
解： (1)=()=ab－c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，设=λ (λ∈[0，1])，显然=λ=λb，=c－a＋λb.∵AM⊥A1N，∴⊥ ·=0，即(c－a＋λb)·=0，c·ac·b－c2a2a·b＋c·aλa·bλb2－λb·c=0.∵CA=CB=CC1=1，＜a，b＞=＜a，c＞=，
＜b，c＞=，∴有c·a－c2a2a·bλb2=0，即×1×1×12×12×1×1×λ·12=0，解得λ=，∴当C1M=C1B1时，AM⊥A1N.
[反思感悟]　用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证有关向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题.
1. 已知向量a，b，且|a|=4，|b|=3，a·b=－6，则向量a在b上的投影向量是
(　D　)
A. －2 B. －2b
C. D. b
2. 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2i－j＋k，b=i＋j－3k，则a·b=(　A　)
A. －2 B. －1
C. ±1 D. 2
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，＜＞=(　D　)
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
4. 如图所示，在 ABCD中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，则线段PC的长为　7　. 1.1 导学2　空间向量的数量积运算
知识点一　空间向量的夹角及数量积概念
1. 空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间内任取一点O，作=a，=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作
图示 　　　
范围 通常规定： ≤＜a，b＞≤ ， 当＜a，b＞= 时，a⊥b.
2. 空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作a·b.
即a·b=|a||b|cos＜a，b＞.
(2)特别地，零向量与任意向量的数量积为 .　
例1　如图所示，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点.求：
(1)·；(2)·；(3)·；
(4)·；(5)·.
[反思感悟]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，将其转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
(4)代入公式求解.
知识点二　空间向量数量积的运算性质及运算律
性质 a⊥b ； a·a=|a||a|cos＜a，a＞= =
运 算 律 (λa)·b=
a·b= (交换律)
a·(b＋c)= (分配律)
例2　(1)如图所示，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，设=a，
=b，=c，求：
①a·(b＋c)；
②a·(a＋b＋c)；
③(a＋b)·(b＋c).
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=90°，∠BAA'=∠DAA'=60°.
求：①·；②AB'的长；③AC'的长.
[反思感悟]　1. 利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)求两个向量的夹角时常用的方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围.②先求a·b，再利用公式cos＜a·b＞=求cos＜a，b＞，最后确定＜a，b＞.
2. 求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示.
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.
(3)利用|a|=，通过计算求出|a|，即得所求距离.
知识点三　投影向量
作法 图形表示 符号表示
向量a在向量b上的投影向量 将向量a，b(直线l)平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量c c=
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量 分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量
例3　(1)(2024·江苏连云港检测)已知|a|=3，|b|=5，设a，b的夹角为135°，则b在a上的投影向量是( 　)
A. a B. a
C. a D. a
(2)在等腰梯形ABCD中，=2，则向量在向量上的投影向量为
( 　)
A. B.
C. D. ||
[反思感悟]　根据投影的定义可得|b|cos＜a，b＞=，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影向量.
知识点四　利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题
例4　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，=a，=b，=c，CA=CB=CC1=1，＜a，b＞=＜a，c＞=，＜b，c＞=，N是AB的中点.
(1)用a，b，c表示向量.
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置；若不存在，请说明理由.
[反思感悟]　用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；
(2)用已知向量表示所证有关向量；
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
(4)将向量问题回归到几何问题.
1. 已知向量a，b，且|a|=4，|b|=3，a·b=－6，则向量a在b上的投影向量是
( 　)
A. －2 B. －2b
C. D. b
2. 已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2i－j＋k，b=i＋j－3k，则a·b=( 　)
A. －2 B. －1
C. ±1 D. 2
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，＜＞=( 　)
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
4. 如图所示，在 ABCD中，AD=4，CD=3，∠ADC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，则线段PC的长为 .

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