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(共20张PPT)
二、 空间向量基本定理
导学1　空间向量基本定理
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　空间向量基本定理
1. 分向量
如果i，j，k是空间三个　两两垂直　的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xi＋yj＋zk，称　xi，yj，zk　分别为向量p在i，j，k上的分向量.
两两垂直
xi，yj，zk
2. 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c　不共面　，那么对任意一个空间向量p，存在　唯一　的有序实数组(x，y，z)，使得　p=xa＋yb＋zc　.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个　基底　，a，b，c都叫做　基向量　.空间任意三个　不共面　的向量都可以构成空间的一个基底.
不共面
唯一
p=xa＋yb＋zc
基底
基向量
不共面
知识点二
知识点二　空间向量正交分解
1. 单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量　两两垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用　{i，j，k}　表示.
2. 空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个　 　的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
1
{i，j，k}
两两垂直
知识点三
知识点三　空间向量的基底
例1　(1)已知M，A，B，C为空间的四个点，且任意三点不共线，O为空间中一点，下列可能使构成空间的一个基底的关系式是 (　 　)
A.
B.
C.
D. =3
C
【解析】 对于A，由=xyz(x＋y＋z=1)，得M，A，B，C四点共面，则共面，故不能构成空间的一个基底；对于B，D，易知一定共面，故不能构成空间的一个基底.
(2)(多选)设{a，b，c}是空间的一个基底，若x=a＋b，y=b＋c，z=c＋a，则下列向量可以构成空间的一个基底的是(　 　)
A. a，b，x B. x，y，z
C. b，c，z D. x，y，a＋b＋c
BCD
【解析】 ∵x=a＋b，∴a，b，x共面，故a，b，x不能构成空间的一个基底，A错误；假设x，y，z共面，则存在λ，μ∈R，使得z=λx＋μy，即c＋a=λ(a＋b)＋μ(b＋c)=λa＋(λ＋μ)b＋μc，∴方程组无解，∴假设不成立，即x，y，z不共面，∴x，y，z可以构成空间的一个基底，B正确；同理可得b，c，z可以构成空间的一个基底，x，y，a＋b＋c也可以构成空间的一个基底，C，D正确.
知识点四
知识点四　用基底表示空间向量
例2　如图所示，在三棱柱ABC－A'B'C'中，
已知=a，=b，=c，M，N分别是BC'，
B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量
.
解： 连接A'N(图略).()=()(a＋b＋c).
()=()=abc.
[延伸探究]　若把本例中的“=a”改为“=a”，其他条件不变，则结果是什么？
解： ∵M为BC'的中点，N为B'C'的中点，∴()= ab.
连接AB'，AC'(图略)，()=()= ()b＋ac.
随堂巩固
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是(　 　)
A.
B.
C.
D.
C
2. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=，向量b=，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　 　)
A. B.
C. D. 或
C
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{}为基底，=xyz，则(　 　)
A. x=y=z= B. x=y=z=1
C. x=y=z= D. x=y=z=2
B
4. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于
的表达式中：
①；②；
③；④().
正确的个数是　3　.
31.2 导学1　空间向量基本定理
知识点一　空间向量基本定理
1. 分向量
如果i，j，k是空间三个 的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xi＋yj＋zk，称 分别为向量p在i，j，k上的分向量.
2. 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得 .
我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做 .空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底.
知识点二　空间向量正交分解
1. 单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示.
2. 空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点三　空间向量的基底
例1　(1)已知M，A，B，C为空间的四个点，且任意三点不共线，O为空间中一点，下列可能使构成空间的一个基底的关系式是 ( 　)
A.
B.
C.
D. =3
(2)(多选)设{a，b，c}是空间的一个基底，若x=a＋b，y=b＋c，z=c＋a，则下列向量可以构成空间的一个基底的是( 　)
A. a，b，x B. x，y，z
C. b，c，z D. x，y，a＋b＋c
知识点四　用基底表示空间向量
例2　如图所示，在三棱柱ABC－A'B'C'中，已知=a，=b，=c，M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
[延伸探究]　若把本例中的“=a”改为“=a”，其他条件不变，则结果是什么？
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是( 　)
A.
B.
C.
D.
2. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=，向量b=，则与a，b不能构成空间基底的向量是( 　)
A. B.
C. D. 或
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{}为基底，=xyz，则( 　)
A. x=y=z= B. x=y=z=1
C. x=y=z= D. x=y=z=2
4. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于的表达式中：
①；②；③；④().
正确的个数是 . 1.2 导学1　空间向量基本定理
知识点一　空间向量基本定理
1. 分向量
如果i，j，k是空间三个　两两垂直　的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xi＋yj＋zk，称　xi，yj，zk　分别为向量p在i，j，k上的分向量.
2. 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c　不共面　，那么对任意一个空间向量p，存在　唯一　的有序实数组(x，y，z)，使得　p=xa＋yb＋zc　.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个　基底　，a，b，c都叫做　基向量　.空间任意三个　不共面　的向量都可以构成空间的一个基底.
知识点二　空间向量正交分解
1. 单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量　两两垂直　，且长度都为　1　，那么这个基底叫做单位正交基底，常用　{i，j，k}　表示.
2. 空间向量的正交分解
把一个空间向量分解为三个　两两垂直　的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
知识点三　空间向量的基底
例1　(1)已知M，A，B，C为空间的四个点，且任意三点不共线，O为空间中一点，下列可能使构成空间的一个基底的关系式是 (　C　)
A.
B.
C.
D. =3
【解析】 对于A，由=xyz(x＋y＋z=1)，得M，A，B，C四点共面，则共面，故不能构成空间的一个基底；对于B，D，易知一定共面，故不能构成空间的一个基底.
(2)(多选)设{a，b，c}是空间的一个基底，若x=a＋b，y=b＋c，z=c＋a，则下列向量可以构成空间的一个基底的是(　BCD　)
A. a，b，x B. x，y，z
C. b，c，z D. x，y，a＋b＋c
【解析】 ∵x=a＋b，∴a，b，x共面，故a，b，x不能构成空间的一个基底，A错误；假设x，y，z共面，则存在λ，μ∈R，使得z=λx＋μy，即c＋a=λ(a＋b)＋μ(b＋c)=λa＋(λ＋μ)b＋μc，∴方程组无解，∴假设不成立，即x，y，z不共面，∴x，y，z可以构成空间的一个基底，B正确；同理可得b，c，z可以构成空间的一个基底，x，y，a＋b＋c也可以构成空间的一个基底，C，D正确.
知识点四　用基底表示空间向量
例2　如图所示，在三棱柱ABC－A'B'C'中，已知=a，=b，=c，M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
解： 连接A'N(图略).()=()(a＋b＋c).
()=()=abc.
[延伸探究]　若把本例中的“=a”改为“=a”，其他条件不变，则结果是什么？
解： ∵M为BC'的中点，N为B'C'的中点，∴()=ab.
连接AB'，AC'(图略)，()=()=()b＋ac.
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基底的是(　C　)
A.
B.
C.
D.
2. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a=，向量b=，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　C　)
A. B.
C. D. 或
3. 在正方体ABCD－A'B'C'D'中，O1，O2，O3分别是AC，AB'，AD'的中点，以{}为基底，=xyz，则(　B　)
A. x=y=z= B. x=y=z=1
C. x=y=z= D. x=y=z=2
4. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于的表达式中：
①；②；③；④().
正确的个数是　3　.

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