资源简介

1.2 导学2　空间向量基本定理的应用
知识点一　平行、垂直关系的证明
例1　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2MA1，B1N=2NC1.用空间向量解决如下问题：
(1)若∠BAA1=∠CAA1，AB=AC，证明：BC⊥AA1；
(2)证明：MN∥平面ACC1A1.
证明： (1)由题意得，且∠BAA1=∠CAA1，AB=AC，∴·=()···=||·||·cos∠CAA1－||·||·cos∠BAA1=0，∴⊥，即BC⊥AA1.
(2)由题意得()，∴共面，又MN 平面ACC1A1，AA1∩AC=A，AA1 平面ACC1A，AC 平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1.
[反思感悟]　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
知识点二　垂直、夹角问题
例2　已知正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别是BC，AD的中点.
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
证明： (1)记=a，=b，=c，这三个向量不共面，则{a，b，c}为空间的一个基底，
且|a|=|b|=|c|=1，＜a，b＞=＜b，c＞=＜c，a＞=60°，∴a·b=b·c=c·a=.
∵()=abc，=－a＋c，
∴··(－a＋c)=a2a·ba·ca·cb·cc2==0，
∴⊥，即EF⊥BC.
(2)∵()=ac，
∴||=.
又=b－c，∴··(b－c)=a·bc·ba·cc2==，
又||=1，∴cos＜＞==，故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
[反思感悟]　求夹角、证明线线垂直的方法：利用数量积定义可得cos＜a，b＞=，求出＜a，b＞，进而求得线线角，其中两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
知识点三　距离、长度问题
例3　(2024·湖州中学检测)在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB=2AM，CN=ND，求MN的长.
解： ∵()()=，
∴||2=···a2a2a2a2a2a2=a2，故||=a，即MN=a.
[反思感悟]　用基向量法解决长度问题的步骤
(1)设出基向量；
(2)用基向量表示出相关向量；
(3)用|a|=求长度.
1. 在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD的位置关系是(　C　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 无法判断位置关系
2. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是(　C　)
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 105°
3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为(　A　)
A. a B. a
C. a D. a
4. (2024·嘉兴一中检测)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，则线段AC1的长度是 　. 1.2 导学2　空间向量基本定理的应用
知识点一　平行、垂直关系的证明
例1　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2MA1，B1N=2NC1.用空间向量解决如下问题：
(1)若∠BAA1=∠CAA1，AB=AC，证明：BC⊥AA1；
(2)证明：MN∥平面ACC1A1.
[反思感悟]　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
知识点二　垂直、夹角问题
例2　已知正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别是BC，AD的中点.
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
[反思感悟]　求夹角、证明线线垂直的方法：利用数量积定义可得cos＜a，b＞=，求出＜a，b＞，进而求得线线角，其中两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
知识点三　距离、长度问题
例3　(2024·湖州中学检测)在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB=2AM，CN=ND，求MN的长.
[反思感悟]　用基向量法解决长度问题的步骤
(1)设出基向量；
(2)用基向量表示出相关向量；
(3)用|a|=求长度.
1. 在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD的位置关系是( 　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 无法判断位置关系
2. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是( 　)
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 105°
3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为( 　)
A. a B. a
C. a D. a
4. (2024·嘉兴一中检测)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，则线段AC1的长度是 . (共19张PPT)
二、 空间向量基本定理
导学2　空间向量基本定理的应用
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　平行、垂直关系的证明
例1　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，
N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2MA1，B1N=
2NC1.用空间向量解决如下问题：
(1)若∠BAA1=∠CAA1，AB=AC，证明：BC⊥
AA1；
(2)证明：MN∥平面ACC1A1.
证明： (1)由题意得，且∠BAA1=∠CAA1，AB= AC，∴·=()···= ||·||·cos∠CAA1－||·||·cos∠BAA1=0，∴⊥，即BC⊥AA1.
(2)由题意得()，∴共面，又MN 平面ACC1A1，AA1∩AC=A，AA1 平面ACC1A，AC 平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A1.
[反思感悟]　证明平行、共面问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行.
(2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行.
知识点二
知识点二　垂直、夹角问题
例2　已知正四面体A－BCD的棱长为1，E，F分别是BC，AD的中点.
(1)证明：EF⊥BC；
(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.
证明： (1)记=a，=b，=c，这三个向量不共面，则{a，b，c}为空间的一个基底，且|a|=|b|=|c|=1，＜a，b＞=＜b，c＞=＜c，a＞=60°，∴a·b=b·c=c·a=.
∵()=abc，=－a＋c，
∴··(－a＋c)=a2a·ba·ca·cb·cc2==0，
∴⊥，即EF⊥BC.
(2)∵()=ac，
∴||=.
又=b－c，∴··(b－c) =a·bc·ba·cc2==，
又||=1，∴cos＜＞==，故异面直线AE与CD所成角的余弦值为.
[反思感悟]　求夹角、证明线线垂直的方法：利用数量积定义可得cos＜a，b＞=，求出＜a，b＞，进而求得线线角，其中两直线垂直可作为求夹角的特殊情况.
知识点三
知识点三　距离、长度问题
例3　(2024·湖州中学检测)在正四面体ABCD中，
棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB
=2AM，CN=ND，求MN的长.
解： ∵()() =，
∴||2=···a2a2a2a2 a2a2=a2，故||=a，即MN=a.
[反思感悟]　用基向量法解决长度问题的步骤
(1)设出基向量；
(2)用基向量表示出相关向量；
(3)用|a|=求长度.
随堂巩固
1. 在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD的位置关系是
(　　　)
A. 相交 B. 平行
C. 垂直 D. 无法判断位置关系
C
2. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是(　　　)
A. 60° B. 75°
C. 90° D. 105°
C
3. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB=a，则MN的长为(　　　)
A. a B. a
C. a D. a
A
4. (2024·嘉兴一中检测)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1 =60°，则线段AC1的长度是 　.

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