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1.3 导学1　空间直角坐标系
知识点一　求空间点的坐标
例1　在正四棱锥P－ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点.
(1)如图1所示，以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标；
图1
(2)如图2所示，以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标.
图2
解： 设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.
(1)连接OB(图略)，∵点B在Oxy平面内，且底面正方形的中心为O，边长为2，∴=i＋j，∴向量的坐标为(1，1，0)，即点B的坐标为(1，1，0)，同理可得点A的坐标为(1，－1，0)，点C的坐标为(－1，1，0)，点D的坐标为(－1，－1，0).∵点P在z轴的正半轴上，正四棱锥P－ABCD的高为2，∴=2k，∴向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2).
连接OF(图略)，∵F为侧棱PB的中点，∴()=(i＋j＋2k)=ij＋k，∴向量的坐标为，即点F的坐标为，同理可得点E的坐标为.
综上，A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，E，F.
(2)∵底面正方形ABCD的中心为O，边长为2，∴OA=，又点A在x轴的正半轴上，∴i，即点A的坐标为(，0，0)，同理可得点B的坐标为(0，，0)，点C的坐标为(，0，0)，点D的坐标为(0，，0).
∵点P在z轴的正半轴上，正四棱锥P－ABCD的高为2，∴=2k，∴向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2).连接OE(图略)，∵E为侧棱PA的中点，∴()=(i＋2k)=i＋k，
∴向量的坐标为，即点E的坐标为，同理可得点F的坐标为.
综上，A(，0，0)，B(0，，0)，C(，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，2)，E，F.
[反思感悟]　1. 建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.
2. 求点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标为(x，y，z).
知识点二　空间点的对称问题
例2　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴的对称点P1的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点P3的坐标.
解： (1)∵点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，∴对称点P1的坐标为(－2，－1，－4).
(2)∵点P关于Oxy平面对称后，它的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，∴对称点P2的坐标为(－2，1，－4).
(3)设P3(x，y，z)，连接PP3，则M为线段PP3的中点，x=2×2－(－2)=6，y=2×(－1)－1=－3，z=2×(－4)－4=－12，∴P3(6，－3，－12).
[反思感悟]　空间中点的对称问题的解题策略
(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，只有掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.
知识点三　求空间向量的坐标
例3　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.
解： 建立如图所示的空间直角坐标系，
设=i，=j，=k，=4i=(4，0，0)，=4j＋4k=(0，4，4)，
∴=－4i＋4j＋4k=(－4，4，4).
[反思感悟]　用坐标表示空间向量的步骤
1. 已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是
(　D　)
A. (3，0，－4) B. (－3，0，4)
C. (－4，0，－3) D. (3，0，4)
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，1)与点B(1，－1，1)关于(　D　)
A. 原点对称 B. Oxy平面对称
C. Oyz平面对称 D. Oxz平面对称
3. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　C　)
A. (1，0，0) B. (1，0，1)
C. (1，1，1) D. (1，1，0)
4. 如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则的坐标是 　. 1.3 导学1　空间直角坐标系
知识点一　求空间点的坐标
例1　在正四棱锥P－ABCD中，O为底面中心，底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的中点.
(1)如图1所示，以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标；
图1
(2)如图2所示，以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标.
图2
[反思感悟]　1. 建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.
2. 求点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标为(x，y，z).
知识点二　空间点的对称问题
例2　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴的对称点P1的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点P3的坐标.
[反思感悟]　空间中点的对称问题的解题策略
(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，只有掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.
知识点三　求空间向量的坐标
例3　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标.
[反思感悟]　用坐标表示空间向量的步骤
1. 已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是
( 　)
A. (3，0，－4) B. (－3，0，4)
C. (－4，0，－3) D. (3，0，4)
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，1)与点B(1，－1，1)关于( 　)
A. 原点对称 B. Oxy平面对称
C. Oyz平面对称 D. Oxz平面对称
3. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( 　)
A. (1，0，0) B. (1，0，1)
C. (1，1，1) D. (1，1，0)
4. 如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则的坐标是 . (共25张PPT)
三、 空间向量及其运算的坐标表示
导学1　空间直角坐标系
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
例1　在正四棱锥P－ABCD中，O为底面中心，
底面边长和高都是2，E，F分别是侧棱PA，PB的
中点.
(1)如图1所示，以O为坐标原点，分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直
角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标；
图1
知识点一　求空间点的坐标
(2)如图2所示，以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，E，F的坐标.
图2
解： 设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位坐标向量.
(1)连接OB(图略)，∵点B在Oxy平面内，且底面正方形的中心为O，边长为2，∴=i＋j，∴向量的坐标为(1，1，0)，即点B的坐标为(1，1，0)，同理可得点A的坐标为(1，－1，0)，点C的坐标为(－1，1，0)，点D的坐标为(－1，－1，0).∵点P在z轴的正半轴上，正四棱锥P－ABCD的高为2，∴=2k，∴向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2).
连接OF(图略)，∵F为侧棱PB的中点，∴()=(i＋j＋2k)=ij＋k，∴向量的坐标为，即点F的坐标为，同理可得点E的坐标为.
综上，A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，2)，E，F.
(2)∵底面正方形ABCD的中心为O，边长为2，∴OA=，又点A在x轴的正半轴上，∴i，即点A的坐标为(，0，0)，同理可得点B的坐标为(0，，0)，点C的坐标为(，0，0)，点D的坐标为(0，，0).
∵点P在z轴的正半轴上，正四棱锥P－ABCD的高为2，∴=2k，∴向量的坐标为(0，0，2)，即点P的坐标为(0，0，2).连接OE(图略)，∵E为侧棱PA的中点，∴()= (i＋2k)=i＋k，
∴向量的坐标为，即点E的坐标为，同理可得点F的坐标为.
综上，A(，0，0)，B(0，，0)，C(，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，2)，E，F.
[反思感悟]　1. 建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.
2. 求点M的坐标的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足为M'，求M'的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求点M在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标为(x，y，z).
知识点二
知识点二　空间点的对称问题
例2　在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴的对称点P1的坐标；
(2)求点P关于Oxy平面的对称点P2的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点P3的坐标.
解： (1)∵点P关于x轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，∴对称点P1的坐标为(－2，－1，－4).
(2)∵点P关于Oxy平面对称后，它的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，∴对称点P2的坐标为(－2，1，－4).
(3)设P3(x，y，z)，连接PP3，则M为线段PP3的中点，x=2×2－(－2)=6，y=2×(－1)－1=－3，z=2×(－4)－4=－12，∴P3(6，－3，－12).
[反思感悟]　空间中点的对称问题的解题策略
(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，只有掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.
知识点三
知识点三　求空间向量的坐标
例3　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，
建立适当的空间直角坐标系，求向量
的坐标.
解： 建立如图所示的空间直角坐标系，
设=i，=j，=k，=4i=(4，0，0)，=4j＋4k=(0，4，4)，
∴=－4i＋4j＋4k=(－4，4，4).
[反思感悟]　用坐标表示空间向量的步骤
随堂巩固
1. 已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是(　　　)
A. (3，0，－4) B. (－3，0，4)
C. (－4，0，－3) D. (3，0，4)
D
2. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1，1，1)与点B(1，－1，1)关于(　　　)
A. 原点对称 B. Oxy平面对称
C. Oyz平面对称 D. Oxz平面对称
D
3. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为
1，则点B1的坐标是(　　　)
A. (1，0，0)
B. (1，0，1)
C. (1，1，1)
D. (1，1，0)
C
4. 如图所示，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E=A1B1，则的坐标是 　.

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