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1.3 导学2　空间向量运算的坐标表示
1. 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b
减法 a－b
数乘 λa ，λ∈R
数量积 a·b=
2. 空间向量平行、垂直、模长、夹角
平行 a∥b
垂直 a⊥b
模 |a|
夹角 cos＜a，b＞
3. 空间中两点间的距离公式.
在空间直角坐标系中，设P1(a1，b1，c1)，P2(a2，b2，c2)，则P1，P2两点间的距离P1P2=||= 　.
知识点一　空间向量的坐标运算
例1　(1)在空间直角坐标系中，A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).
①求2·；
②若点M满足，求点M的坐标；
③若p=，q=，求(p＋q)·(p－q).
(2)(人教A版选择性必修第一册第23页第5题)已知a=(2，－3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2).求：
①a·(b＋c)；②a＋6b－8c.
[反思感悟]　空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
知识点二　空间向量的平行与垂直
例2　(1)已知空间内三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a=，b=.
①若|c|=3，c∥，求c；②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是否存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE？请说明理由.
[反思感悟]　利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题.
知识点三　空间向量的模(长度)、夹角问题
例3　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
[反思感悟]　利用空间向量的坐标运算求夹角与模(长度)的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与模(长度)问题.
1. 已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为( 　)
A. (－1，3，－3) B. (9，1，1)
C. (1，－3，3) D. (－9，－1，－1)
2. 已知向量a=(0，－1，1)，b=(4，1，0)，|λa＋b|=，且λ＞0，则λ等于( 　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
3. 已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( 　)
A. 1 B.
C. D.
4. 已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为 . (共25张PPT)
三、 空间向量及其运算的坐标表示
导学2　空间向量运算的坐标表示
空间向量与立体几何
第一章
1. 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b 　(a＋b，a＋b，a＋b)　
减法 a－b 　(a－b，a－b，a－b)　
数乘 λa 　(λa，λa，λa)　，λ∈R
数量积 a·b=　ab＋ab＋ab　
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
2. 空间向量平行、垂直、模长、夹角
平行 a∥b 　a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)　
垂直 a⊥b 　a1b1＋a2b2＋a3b3=0　
模 |a| ——————
夹角 cos＜a，b＞
——————————————
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a1b1＋a2b2＋a3b3=0


3. 空间中两点间的距离公式.
在空间直角坐标系中，设P1(a1，b1，c1)，P2(a2，b2，c2)，则P1，P2两点间的距离P1P2=||= —————— ——————　.

知识点一
识点一　空间向量的坐标运算
例1　(1)在空间直角坐标系中，A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).
①求2·；
②若点M满足，求点M的坐标；
③若p=，q=，求(p＋q)·(p－q).
(2)(人教A版选择性必修第一册第23页第5题)已知a=(2，－3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2).求：
①a·(b＋c)；②a＋6b－8c.
解： (1)①∵A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5)，
∴=(－3，5，－4)，=(－1，0，9)，∴=(－4，5，5).又=(－4，5，5)，=(3，－5，4)，∴2=(－10，15，－3).又=(－3，5，－4)，=(1，0，－9)，∴·=－3＋0＋36=33.
②由①知，(－3，5，－4)(1，0，－9)=，
若设M(x，y，z)，则=(x－1，y＋2，z－4)，
于是解得
故M.
③由①知，p==(－1，0，9)，q==(－4，5，5)，∴(p＋q)·(p－q)=|p|2－|q|2=82－66=16.
(2)①∵b=(2，0，3)，c=(0，0，2)，∴b＋c=(2，0，5)，又a=(2，－3，1)，∴a·(b＋c)=2×2＋(－3)×0＋1×5=9.
②∵a=(2，－3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2)，
∴a＋6b－8c=(2，－3，1)＋6(2，0，3)－8(0，0，2)=(2，－3，1)＋(12，0，18)－(0，0，16)=(14，－3，3)
[反思感悟]　空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
知识点二
知识点二　空间向量的平行与垂直
例2　(1)已知空间内三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a=，b=.
①若|c|=3，c∥，求c；②若ka＋b与ka－2b互相
垂直，求k.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=
BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是
否存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE？请说明理由.
解： (1)①∵=(－2，－1，2)，且c∥，∴设c=λ=(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，∴|c|==3|λ|=3，解得λ=±1，∴c=(－2，－1，2)，或c=(2，1，－2).
②∵a==(1，1，0)，b==(－1，0，2)，∴ka＋b=(k－1，k，2)，ka－2b=(k＋2，k，－4).
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)=0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)=2k2＋k－10=0，解得k=2，或k=.
(2)假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.如图所示，以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
依题意可设AB=BC=a，AA1=b，EC=t，则D1(0，0，b)，A(a，0，0)，E(0，a，t)，
设P(x，a－x，b)，则有=(x，a－x，0)，=(－a，a，t)，
由·=x×(－a)＋(a－x)×a＋0×t=0，得x=，即P，此时P为A1C1的中点，
∴在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.
[反思感悟]　利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题.
知识点三
知识点三　空间向量的模（长度）、夹角问题
例3　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱
A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.于是AM=.
(2)由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，∴，||=，
||=，∴·=0×01×1=，∴cos＜＞=，∴BE1与DF1所成角的余弦值是.
[反思感悟]　利用空间向量的坐标运算求夹角与模(长度)的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与模(长度)问题.
随堂巩固
1. 已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为(　　　)
A. (－1，3，－3) B. (9，1，1)
C. (1，－3，3) D. (－9，－1，－1)
B
2. 已知向量a=(0，－1，1)，b=(4，1，0)，|λa＋b|=，且λ＞0，则λ等于(　　　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
C
3. 已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　　)
A. 1 B.
C. D.
D
4. 已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为　60°　.
60°1.3 导学2　空间向量运算的坐标表示
1. 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b 　(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)　
减法 a－b 　(a1－b1，a2－b2，a3－b3)　
数乘 λa 　(λa1，λa2，λa3)　，λ∈R
数量积 a·b=　a1b1＋a2b2＋a3b3　
2. 空间向量平行、垂直、模长、夹角
平行 a∥b 　a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)　
垂直 a⊥b 　a1b1＋a2b2＋a3b3=0　
模 |a|
夹角 cos＜a，b＞
3. 空间中两点间的距离公式.
在空间直角坐标系中，设P1(a1，b1，c1)，P2(a2，b2，c2)，则P1，P2两点间的距离P1P2=||= 　.
知识点一　空间向量的坐标运算
例1　(1)在空间直角坐标系中，A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).
①求2·；
②若点M满足，求点M的坐标；
③若p=，q=，求(p＋q)·(p－q).
(2)(人教A版选择性必修第一册第23页第5题)已知a=(2，－3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2).求：
①a·(b＋c)；②a＋6b－8c.
解： (1)①∵A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5)，
∴=(－3，5，－4)，=(－1，0，9)，∴=(－4，5，5).又=(－4，5，5)，=(3，－5，4)，∴2=(－10，15，－3).又=(－3，5，－4)，=(1，0，－9)，∴·=－3＋0＋36=33.
②由①知，(－3，5，－4)(1，0，－9)=，
若设M(x，y，z)，则=(x－1，y＋2，z－4)，
于是解得
故M.
③由①知，p==(－1，0，9)，q==(－4，5，5)，∴(p＋q)·(p－q)=|p|2－|q|2=82－66=16.
(2)①∵b=(2，0，3)，c=(0，0，2)，∴b＋c=(2，0，5)，又a=(2，－3，1)，∴a·(b＋c)=2×2＋(－3)×0＋1×5=9.
②∵a=(2，－3，1)，b=(2，0，3)，c=(0，0，2)，
∴a＋6b－8c=(2，－3，1)＋6(2，0，3)－8(0，0，2)=(2，－3，1)＋(12，0，18)－(0，0，16)=(14，－3，3)
[反思感悟]　空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示，然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.
知识点二　空间向量的平行与垂直
例2　(1)已知空间内三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4).设a=，b=.
①若|c|=3，c∥，求c；②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC，E是侧棱CC1上的任意一点，在线段A1C1上是否存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE？请说明理由.
解： (1)①∵=(－2，－1，2)，且c∥，∴设c=λ=(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，∴|c|==3|λ|=3，解得λ=±1，∴c=(－2，－1，2)，或c=(2，1，－2).
②∵a==(1，1，0)，b==(－1，0，2)，∴ka＋b=(k－1，k，2)，ka－2b=(k＋2，k，－4).
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)=0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)=2k2＋k－10=0，解得k=2，或k=.
(2)假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.如图所示，以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
依题意可设AB=BC=a，AA1=b，EC=t，则D1(0，0，b)，A(a，0，0)，E(0，a，t)，
设P(x，a－x，b)，则有=(x，a－x，0)，=(－a，a，t)，
由·=x×(－a)＋(a－x)×a＋0×t=0，得x=，即P，此时P为A1C1的中点，
∴在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P总垂直于AE.
[反思感悟]　利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题.
知识点三　空间向量的模(长度)、夹角问题
例3　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的长；
(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.
解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为.
于是AM=.
(2)由已知，得B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1，∴，||=，||=，∴·=0×01×1=，∴cos＜＞=，∴BE1与DF1所成角的余弦值是.
[反思感悟]　利用空间向量的坐标运算求夹角与模(长度)的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与模(长度)问题.
1. 已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为(　B　)
A. (－1，3，－3) B. (9，1，1)
C. (1，－3，3) D. (－9，－1，－1)
2. 已知向量a=(0，－1，1)，b=(4，1，0)，|λa＋b|=，且λ＞0，则λ等于(　C　)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
3. 已知向量a=(1，1，0)，b=(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　D　)
A. 1 B.
C. D.
4. 已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为　60°　.

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