资源简介

1.4 导学1　空间中点、直线和平面的向量表示
知识点一　空间中点的向量表示
例1　(1)已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为( 　)
A. B.
C. D.
(2)已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，在直线AB上取P，Q两点，位置如图所示，求满足下列条件的点P和点Q的坐标.
①AP∶PB=1∶2；②AQ∶QB=2∶1.
[反思感悟]　求空间中点的坐标时，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.
知识点二　求直线的方向向量
例2　(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为( 　)
A. B.
C. D.
(2)(2024·学军中学检测)在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE=3EP，设=a，=b，=c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量.
[反思感悟]　关于直线的方向向量的理解
(1)直线上任意两个不同的点构成的向量都可作为直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
知识点三　求平面的法向量
例3　(2024·温州中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
[反思感悟]　利用待定系数法求法向量的步骤
1. 若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( 　)
A. (－3，0，－6) B. (9，0，－6)
C. (－2，0，2) D. (－2，1，3)
2. 已知直线l的一个方向向量为m=(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于( 　)
A. 0 B. 2
C. D. 3
3. 若n=(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( 　)
A. (0，－3，1) B. (2，0，1)
C. (－2，－3，1) D. (－2，3，－1)
4. (多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，下列向量可以作为平面ABC法向量的是( 　)
A. B.
C. D.(共25张PPT)
四、 空间向量的应用
导学1　空间中点、直线和平面的向量表示
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　空间中点的向量表示
例1　(1)已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为(　　　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且，∴，即(x－4，y－1，z－3)=(－2，－6，－2)，∴
∴因此点C的坐标为.
(2)已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，在直线AB上取P，Q两点，位置如图所示，求满足下列条件的点P和点Q的坐标.
①AP∶PB=1∶2；②AQ∶QB=2∶1.
解： ①由已知，得=2，即=2()，则.
设点P的坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)=(2，4，0)(1，3，3)，即x=，y=1=，z=0＋1=1，∴点P的坐标为
②∵AQ∶QB=2∶1，∴=－2，∴=－2()，则=2，
设点Q的坐标为(x'，y'，z')，则(x'，y'，z')=－(2，4，0)＋2(1，3，3)=(0，2，6)，∴点Q的坐标为(0，2，6).
[反思感悟]　求空间中点的坐标时，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.
知识点二
知识点二　求直线的方向向量
例2　(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　　)
A. B.
C. D.
A
【解析】 =(1，2，3)，(1，2，3)=，又与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故是直线l的一个方向向量.
(2)(2024·学军中学检测)在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE=3EP，设=a，=b，=c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量.
解： 如图所示，
()=()=
abc.
故直线AE的一个方向向量是abc.
[反思感悟]　关于直线的方向向量的理解
(1)直线上任意两个不同的点构成的向量都可作为直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
知识点三
知识点三　求平面的法向量
例3　(2024·温州中学检测)如图所示，在四棱锥
P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的
空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解： ∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A为坐
标原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是=(1，，0).
设n=(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则即
∴令y=－1，则x=z=，∴平面ACE的一个法向量为n=(，－1，).
[反思感悟]　利用待定系数法求法向量的步骤
随堂巩固
1. 若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　　)
A. (－3，0，－6) B. (9，0，－6)
C. (－2，0，2) D. (－2，1，3)
B
2. 已知直线l的一个方向向量为m=(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　　)
A. 0 B. 2
C. D. 3
A
3. 若n=(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　　)
A. (0，－3，1) B. (2，0，1)
C. (－2，－3，1) D. (－2，3，－1)
D
4. (多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，下列向量可以作为平面ABC法向量的是(　　　)
A. B.
C. D.
BC1.4 导学1　空间中点、直线和平面的向量表示
知识点一　空间中点的向量表示
例1　(1)已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】 设C(x，y，z)，∵C为线段AB上一点且，∴，即(x－4，y－1，z－3)=(－2，－6，－2)，∴
∴因此点C的坐标为.
(2)已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，在直线AB上取P，Q两点，位置如图所示，求满足下列条件的点P和点Q的坐标.
①AP∶PB=1∶2；②AQ∶QB=2∶1.
解： ①由已知，得=2，即=2()，则.
设点P的坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)=(2，4，0)(1，3，3)，即x=，y=1=，z=0＋1=1，∴点P的坐标为.
②∵AQ∶QB=2∶1，∴=－2，∴=－2()，则=2，
设点Q的坐标为(x'，y'，z')，则(x'，y'，z')=－(2，4，0)＋2(1，3，3)=(0，2，6)，∴点Q的坐标为(0，2，6).
[反思感悟]　求空间中点的坐标时，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，然后列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点的坐标.
知识点二　求直线的方向向量
例2　(1)若点A，B在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　A　)
A. B.
C. D.
【解析】 =(1，2，3)，(1，2，3)=，又与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故是直线l的一个方向向量.
(2)(2024·学军中学检测)在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE=3EP，设=a，=b，=c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量.
解： 如图所示，()=()=abc.
故直线AE的一个方向向量是abc.
[反思感悟]　关于直线的方向向量的理解
(1)直线上任意两个不同的点构成的向量都可作为直线的方向向量.
(2)直线的方向向量不唯一.
知识点三　求平面的法向量
例3　(2024·温州中学检测)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=AP=1，AD=，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
解： ∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴AB，AD，AP两两垂直.如图所示，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是=(1，，0).
设n=(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则即
∴令y=－1，则x=z=，∴平面ACE的一个法向量为n=(，－1，).
[反思感悟]　利用待定系数法求法向量的步骤
1. 若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　B　)
A. (－3，0，－6) B. (9，0，－6)
C. (－2，0，2) D. (－2，1，3)
2. 已知直线l的一个方向向量为m=(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　A　)
A. 0 B. 2
C. D. 3
3. 若n=(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　D　)
A. (0，－3，1) B. (2，0，1)
C. (－2，－3，1) D. (－2，3，－1)
4. (多选)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，下列向量可以作为平面ABC法向量的是(　BC　)
A. B.
C. D.

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