资源简介

1.4 导学2　空间中直线、平面的平行
知识点一　直线与直线平行
例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在DD1上，且SD1=2SD，N，R分别为A1D1，BC的中点.证明：MN∥RS.
[反思感悟]　利用向量法证明线线平行的两种途径
(1)分别求出两条直线的方向向量，利用方向向量共线证明线线平行.
(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.
知识点二　直线与平面平行
例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
[反思感悟]　利用空间向量证明线面平行常用的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，从而转化为证明线线平行，可利用线面平行判定定理来证明.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，最后证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
知识点三　平面与平面平行
例3　(人教A版选择性必修第二册第43页第12题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E=A1F=A1G=1；点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP=CQ=CR=1.证明：平面EFG∥平面PQR.
[反思感悟]　证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明.
1. 已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( 　)
A. x=6，y=15
B. x=3，y=
C. x=3，y=15
D. x=6，y=
2. 已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( 　)
A. (4，2，－2) B. (2，0，4)
C. (2，－1，－5) D. (4，－2，2)
3. 已知线段AB的两端点坐标分别为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则直线AB( 　)
A. 与坐标平面Oxy平行
B. 与坐标平面Oyz平行
C. 与坐标平面Ozx平行
D. 与坐标平面Oyz相交
4. 已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m= . 1.4 导学2　空间中直线、平面的平行
知识点一　直线与直线平行
例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在DD1上，且SD1=2SD，N，R分别为A1D1，BC的中点.证明：MN∥RS.
证明： 方法一　如图所示，建立空间直角坐标系，
根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S.则分别为MN，RS的方向向量，∴，
∴，∴∥，∵M RS，∴MN∥RS.
方法二　设=a，=b，=c，则c－ab，b－ac，∴，∴∥.
∵R MN，∴MN∥RS.
[反思感悟]　利用向量法证明线线平行的两种途径
(1)分别求出两条直线的方向向量，利用方向向量共线证明线线平行.
(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.
知识点二　直线与平面平行
例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
证明： 如图所示，D是坐标原点，建立空间直角坐标系，
设PD=DC=a，连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E.
方法一　设平面BDE的法向量为n=(x，y，z)，
又，则有即
即令z=1，则∴n=(1，－1，1)，
又=(a，0，－a)，∴n·=a－a=0，∴n⊥.
又PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
方法二　∵四边形ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴.又=(a，0，－a)，∴=2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得=λμ，即(a，0，－a)=λμ，
则有解得，
∴=，又PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
[反思感悟]　利用空间向量证明线面平行常用的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，从而转化为证明线线平行，可利用线面平行判定定理来证明.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，最后证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
知识点三　平面与平面平行
例3　(人教A版选择性必修第二册第43页第12题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E=A1F=A1G=1；点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP=CQ=CR=1.证明：平面EFG∥平面PQR.
解： 构建以D为原点，为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，如下图所示，
设AB=a，BC=b，BB1=c(a，b，c＞1)，又A1E=A1F=A1G=1，CP=CQ=CR=1，
∴E(b，0，c－1)，F(b，1，c)，G(b－1，0，c)，P(0，a，1)，Q(0，a－1，0)，R(1，a，0)，∴=(0，1，1)，=(－1，0，1)，=(0，－1，－1)，=(1，0，－1)，设m=(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则令x=1，m=(1，－1，1)，
设n=(i，j，k)是平面PQR的一个法向量，则令i=1，n=(1，－1，1)，
∴平面EFG，平面PQR的法向量共线，故平面EFG∥平面PQR.
[反思感悟]　证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明.
1. 已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　D　)
A. x=6，y=15
B. x=3，y=
C. x=3，y=15
D. x=6，y=
2. 已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　D　)
A. (4，2，－2) B. (2，0，4)
C. (2，－1，－5) D. (4，－2，2)
3. 已知线段AB的两端点坐标分别为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则直线AB(　B　)
A. 与坐标平面Oxy平行
B. 与坐标平面Oyz平行
C. 与坐标平面Ozx平行
D. 与坐标平面Oyz相交
4. 已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m=　－8　. (共22张PPT)
四、 空间向量的应用
导学2　空间中直线、平面的平行
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　直线与直线平行
例1　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，点M在棱BB1上，且BM=2MB1，点S在DD1上，且SD1=2SD，N，R分别为A1D1，BC的中点.证明：MN∥RS.
证明： 方法一　如图所示，建立空间直角
坐标系，
根据题意得M，N(0，2，2)，
R(3，2，0)，S.则分别为MN，RS的方向向量，∴，
∴，∴∥，∵M RS，∴MN∥RS.
方法二　设=a，=b，=c，则c－ab，b－ac，∴，∴∥.
∵R MN，∴MN∥RS.
[反思感悟]　利用向量法证明线线平行的两种途径
(1)分别求出两条直线的方向向量，利用方向向量共线证明线线平行.
(2)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系.
知识点二
知识点二　直线与平面平行
例2　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
证明： 如图所示，D是坐标原点，建立空
间直角坐标系，
设PD=DC=a，连接AC，交BD于点G，连接
EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，
P(0，0，a)，E.
方法一　设平面BDE的法向量为n=(x，y，z)，
又，则有即
即令z=1，则∴n=(1，－1，1)，
又=(a，0，－a)，∴n·=a－a=0，∴n⊥.
又PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
方法二　∵四边形ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴.又=(a，0，－a)，∴=2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
方法三　假设存在实数λ，μ使得=λμ，即(a，0，－a)=λμ，
则有解得，
∴=，又PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
[反思感悟]　利用空间向量证明线面平行常用的三种方法
(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示.
(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，从而转化为证明线线平行，可利用线面平行判定定理来证明.
(3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，最后证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
知识点三
知识点三　平面与平面平行
例3　(人教A版选择性必修第二册第43页第12题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E=A1F=A1G=1；点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP=CQ=CR=1.证明：平面EFG∥平面PQR.
解： 构建以D为原点，
为x，y，z轴正方向的空间直角坐标系，
如下图所示，
设AB=a，BC=b，BB1=c(a，b，c＞1)，
又A1E=A1F=A1G=1，CP=CQ=CR=1，
∴E(b，0，c－1)，F(b，1，c)，G(b－1，0，c)，P(0，a，1)，Q(0，a－1，0)，R(1，a，0)，∴=(0，1，1)，=(－1，0，1)，=(0，－1，－1)，=(1，0，－1)，设m=(x，y，z)是平
面EFG的一个法向量，则令x=1，m=(1，－1，1)，
设n=(i，j，k)是平面PQR的一个法向量，则令i=1，n=(1，－1，1)，
∴平面EFG，平面PQR的法向量共线，故平面EFG∥平面PQR.
[反思感悟]　证明面面平行问题的方法
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)将面面平行转化为线线平行，然后用向量共线进行证明.
随堂巩固
1. 已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y) 分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　　)
A. x=6，y=15
B. x=3，y=
C. x=3，y=15
D. x=6，y=
D
2. 已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　　)
A. (4，2，－2) B. (2，0，4)
C. (2，－1，－5) D. (4，－2，2)
D
3. 已知线段AB的两端点坐标分别为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则直线AB(　　　)
A. 与坐标平面Oxy平行
B. 与坐标平面Oyz平行
C. 与坐标平面Ozx平行
D. 与坐标平面Oyz相交
B
4. 已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m=　－8　.
－8

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