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(共24张PPT)
四、 空间向量的应用
导学3　空间中直线、平面的垂直
空间向量与立体几何
第一章
知识点一
知识点一　直线与直线垂直
例1　(人教A版选择性必修第二册第42页第5题)
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E
在BD上，且BE=BD，点F在CB1上，且CF=CB.
证明：(1)EF⊥BD；(2)EF⊥CB1.
解： (1)如图所示，建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为3，则D(0，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)，∵BE=BD，CF=CB1，∴E(2，2，0)，F(1，3，1)，
∴=(－1，1，1)，=(3，3，0)，∴
·=－1×3＋1×3＋1×0=0，∴EF⊥BD.
(2)由(1)可知=(3，0，3)，∴·=
－1×3＋1×3＋1×0=0，∴EF⊥CB1.
[反思感悟]　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
知识点二
知识点二　直线与平面垂直
例2　(1)(人教A版选择性必修第二册第32页例4)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，证明：直线A1C⊥平面BDD1B1.
证明： 设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a＋b－c，=b－a，=c.∵AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，∴a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.
在平面BDD1B1上，取为基向量，
则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λμ.
∴·=λ·μ·=λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c=0.
∴是平面BDD1B1的法向量，∴⊥平面BDD1B1，
∴直线A1C⊥平面BDD1B1.
(2)(2024·北仑中学检测)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.证明：AB1⊥平面A1BD.
证明： 如图所示，取BC的中点O，连接AO，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平
面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，∴=(1，2，)，=(－1，2，)，=(－2，1，0).∵·=1×(－1)＋2×2＋()×=0，·=1×(－2)＋2×1＋()×0=0，∴⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又BA1∩BD=B，∴AB1⊥平面A1BD.
[反思感悟]　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
知识点三
知识点三　平面与平面垂直
例3　(人教A版选择性必修第一册第33页练习第3题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点.证明：平面EAD1⊥平面EFD1.
证明： 如图所示，建立空间直角坐标系，
则E(0，1，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，
F=(－1，1，0)，=
(0，－1，1)，，
设平面EAD1的法向量为n=(x1，y1，z1)，则即令x1=1，则y1=z1=1，∴n=(1，1，1)；
设平面EFD1的法向量为m=(x2，y2，z2)，则即令x2=2，则y2=z2=－1，∴m=(2，－1，－1)；∵n·m=2×1＋1×(－1)＋1×(－1)=0，∴n⊥m，∴平面EAD1⊥平面EFD1.
[反思感悟]　利用空间向量证明面面垂直通常有两条途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
随堂巩固
1. 已知平面α的一个法向量为a=(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b=(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　　)
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
D
2. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是(　　　)
A. 垂直 B. 不垂直
C. 平行 D. 以上都有可能
A
3. 过点A(2，－5，1)且与向量a=(－3，2，1)垂直的向量(　　　)
A. 有且只有一个
B. 有无数个且共面
C. 只有两个且方向相反
D. 有无数个且共线
B
4. 已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　0　对.
01.4 导学3　空间中直线、平面的垂直
知识点一　直线与直线垂直
例1　(人教A版选择性必修第二册第42页第5题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=BD，点F在CB1上，且CF=CB.
证明：(1)EF⊥BD；(2)EF⊥CB1.
[反思感悟]　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
知识点二　直线与平面垂直
例2　(1)(人教A版选择性必修第二册第32页例4)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，证明：直线A1C⊥平面BDD1B1.
(2)(2024·北仑中学检测)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.证明：AB1⊥平面A1BD.
[反思感悟]　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
知识点三　平面与平面垂直
例3　(人教A版选择性必修第一册第33页练习第3题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点.证明：平面EAD1⊥平面EFD1.
[反思感悟]　利用空间向量证明面面垂直通常有两条途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
1. 已知平面α的一个法向量为a=(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b=(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于( 　)
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
2. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是( 　)
A. 垂直 B. 不垂直
C. 平行 D. 以上都有可能
3. 过点A(2，－5，1)且与向量a=(－3，2，1)垂直的向量( 　)
A. 有且只有一个
B. 有无数个且共面
C. 只有两个且方向相反
D. 有无数个且共线
4. 已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对. 1.4 导学3　空间中直线、平面的垂直
知识点一　直线与直线垂直
例1　(人教A版选择性必修第二册第42页第5题)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE=BD，点F在CB1上，且CF=CB.
证明：(1)EF⊥BD；(2)EF⊥CB1.
解： (1)如图所示，建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为3，则D(0，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)，∵BE=BD，CF=CB1，∴E(2，2，0)，F(1，3，1)，
∴=(－1，1，1)，=(3，3，0)，∴·=－1×3＋1×3＋1×0=0，∴EF⊥BD.
(2)由(1)可知=(3，0，3)，∴·=－1×3＋1×3＋1×0=0，∴EF⊥CB1.
[反思感悟]　证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
知识点二　直线与平面垂直
例2　(1)(人教A版选择性必修第二册第32页例4)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，证明：直线A1C⊥平面BDD1B1.
证明： 设=a，=b，=c，则{a，b，c}为空间的一个基底，且=a＋b－c，=b－a，=c.∵AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，∴a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.
在平面BDD1B1上，取为基向量，
则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ，μ)，使得=λμ.
∴·=λ·μ·=λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c=0.
∴是平面BDD1B1的法向量，∴⊥平面BDD1B1，
∴直线A1C⊥平面BDD1B1.
(2)(2024·北仑中学检测)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.证明：AB1⊥平面A1BD.
证明： 如图所示，取BC的中点O，连接AO，
∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，以O为原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，∴=(1，2，)，=(－1，2，)，=(－2，1，0).∵·=1×(－1)＋2×2＋()×=0，·=1×(－2)＋2×1＋()×0=0，∴⊥⊥，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又BA1∩BD=B，∴AB1⊥平面A1BD.
[反思感悟]　用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
(1)建立空间直角坐标系；
(2)将直线的方向向量用坐标表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
知识点三　平面与平面垂直
例3　(人教A版选择性必修第一册第33页练习第3题)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点.证明：平面EAD1⊥平面EFD1.
证明： 如图所示，建立空间直角坐标系，
则E(0，1，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，F=(－1，1，0)，=(0，－1，1)，，
设平面EAD1的法向量为n=(x1，y1，z1)，则即令x1=1，则y1=z1=1，∴n=(1，1，1)；
设平面EFD1的法向量为m=(x2，y2，z2)，则即令x2=2，则y2=z2=－1，∴m=(2，－1，－1)；∵n·m=2×1＋1×(－1)＋1×(－1)=0，∴n⊥m，∴平面EAD1⊥平面EFD1.
[反思感悟]　利用空间向量证明面面垂直通常有两条途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.
1. 已知平面α的一个法向量为a=(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b=(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　D　)
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
2. 已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n=(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是(　A　)
A. 垂直 B. 不垂直
C. 平行 D. 以上都有可能
3. 过点A(2，－5，1)且与向量a=(－3，2，1)垂直的向量(　B　)
A. 有且只有一个
B. 有无数个且共面
C. 只有两个且方向相反
D. 有无数个且共线
4. 已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有　0　对.

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